第二章 随机变量及其概率分布
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E1 一口袋中装有4只白球、5只红球,从中任取3只.设取得的 白球个数为ξ,则对应于试验的所有可能结果,ξ可能取的值是
0,1,2,3.
E2 某电话交换台在单位时间内收到的电话呼唤次数设为ξ, 则对应于试验的所有可能结果,ξ可能取的值是0,1,2,….
E3 抛掷一枚硬币,出现“正面朝上”可用ξ=1表示,出现“反 面朝上”可用ξ=0表示.
率分布(简称为分布). 随机变量ξ的分布表明了ξ取值的统计规律,即ξ取哪些值,取这 些值的概率是多少.通常将P({ξ∈S})简记为P{ξ∈S}. 定义3 设ξ为一随机变量,x(-∞<x<+∞)为实数,则事件{ξ<x} 的概率P{ξ<x}是x的实函数,记为F(x),即
F(x)=P{ξ<x}, 称函数F(x)为随机变量ξ的概率分布的分布函数,简称为ξ的分
离散型随机变量ξ可能取的值为a1<a2<…<ak<…,且ξ取这些值 的概率为
又pk满足: (1) pk≥0(非负性); (2) pk=1(归一性), 则称(1)式的一列等式为ξ的分布列(或称为分布密度或概率
函数). 为直观起见,常将ξ的取值及其对应的概率用下列表格表示:
例1 在第一节例2中,抽得白球数ξ的分布列为
的定义,容易知道ξ的分布函数为
其中的和式是对一切满足ak<x所对应的pk求和,即F(x)为累加 概率. 例2 设随机变量ξ的分布列为
求a的值. 解 根据分布列的归一性,得
所以
a=
.
最后指出,如果一个函数的定义域是由有限个或可数无穷多 个实数组成的集合,函数值总在[0,1]上且函数值的总和等于 1,则这个函数一定是某一个离散型随机变量的分布列.
解 设ξ表示被取出的200件产品中所含的次品数,由于这批产品的 件数很多,取走200件可以认为并不影响留下部分的次品率,所以, 可以认为抽样是有放回的.于是根据模型2,ξ~B(200,0.04),其分布列
为 P{ξ=k}= (0.04)k×(1-0.04)200-k (k=0,1,2,…,200). 于是,所求概率为
例3 一个足球队要经过四轮比赛才能出线,设球队每轮被淘 汰的概率p= .以ξ表示球队结束比赛时的比赛次数,求ξ的分 布列.
解 ξ的所有可能取值为1,2,3,4.记 Ak={球队通过第k轮比赛} (k=1,2,3,4), 则有
二、 常用的离散型分布
本节按照分布列的类型来讨论一些常用的离散型分布.一般 地,如果一种分布有着广泛的现实背景,或者在理论上起着重 要的作用,那么这种分布就是重要的.因此,对于一种分布,我
们要从它的实际背景(来源)、特殊性质及其实践中的应用三 方面来掌握它.
1. 二项分布 如果随机变量ξ的分布列为
其中0<p<1,则称ξ服从参数为n,p的二项分布,记为ξ~B(n,p),并记 b(k;n,p)= pk(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n).
显然有 (1) b(k;n,p)= pk(1-p)n-k≥0;
图 2-2
图 2-3
最后需要指出的是,如果将随机变量的分布函数定义为 F(x)=P{ξ≤x}, 则可易知,F(x)是右连续的,请读者在阅读其他参考书时要特 别注意这一点.
习 题 2-1 1. 随机变量与普通变量有何不同? 2. 设一口袋中装着依次标有-1,2,2,2,3,3数字的6个球,从这口袋中任取1个 球,求取得的球上标明的数字ξ的分布函数.
概率论与数理统计_97 8-7-301-10707-2-1-1
主编
第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 随机变量的数字特征 第四章 多维随机变量 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 样本与抽样分布 第七章 参 数 估 计
第八章 假 设 检 验 第九章 一元线性回归分析 *第十章 概率论与数理wenku.baidu.com计的软件实现 附录 习题答案
从ξ的分布列可以求得任意一个比较复杂的事件的概率.例如
P{0.5<ξ<2.5}=P{ξ=1或ξ=2}=P{ξ=1}+P{ξ=2}= + = .
由此可见,知道了离散型随机变量的分布列,不仅掌握了它取 各个值的概率,而且也掌握了它在各个范围内取值的概率(等 于它取这个范围内的各个可能值的概率之和).所以,分布列能 全面地描述离散型随机变量取值的统计规律性. 在知道了离散型随机变量的分布列(即(1)式)后,由分布函数
总之,F(x)的表达式为 F(x)= 其图形如图2-1所示.
图 2-1
• E1 一口袋中装有4只白球、5只红球,从中 任取3只.设取得的白球个数为ξ.
例2 求试验E1中随机变量ξ的分布函数. 解 由古典概型概率的计算公式易得,ξ分别取值0,1,2,3的概 率依次为
因此,当x≤0时,{ξ<x}是不可能事件,所以 F(x)=P{ξ<x}=0;
从上例知道,当n很大时,按公式(3)计算有关二项分布的概率是 比较困难的.下面给出当n很大而p很小时,二项分布的近似计算公
式. 定理(泊松(Poisson)定理) 设离散型随机变量ξn~B(n,pn),即b(k;n,pn) =P{ξn=k}= (1-pn)n-k (k=0,1,…,n).如果npn→λ(n→∞时)是一个常 数,则
ξ=ξ(e).
以后我们用希腊小写字母ξ,η,ζ等表示随机变量,而用英文小 写字母表示数量.
随机变量与普通实函数不同,这主要体现在它有以下三个特 征:
(1) 随机变量ξ的定义域是基本空间U,而U不一定是实数集;
(2) 随机变量ξ的取值具有随机性,即ξ取哪个值在试验之前无 法知道;
(3) 随机变量ξ具有统计规律性,即ξ取某个值或ξ在某一区间 内取值的概率是完全确定的.
当0<x≤1时,{ξ<x}={ξ=0},所以 F(x)=P{ξ<x}=P{ξ=0}= ; 当1<x≤2时,{ξ<x}={ξ=0或ξ=1}={ξ=0}+{ξ=1},所以 F(x)=P{ξ<x}=P{ξ=0}+P{ξ=1}= + = ; 当2<x≤3时,{ξ<x}={ξ=0或ξ=1或ξ=2}={ξ=0}+{ξ=1}+{ξ=2}, 所以 F(x
二、 随机变量的分布函数
为了全面地描述随机变量ξ,我们不仅要知道它可能取的值是 哪一些,而且还要知道它取这些值的概率是多少,即需要知道 ξ的分布规律.为此,对于任一实数集S,可用{ξ∈S}代表一个随 机事件,即基本空间U内所有能使ξ(e)∈S的基本事件e组成的 集合所代表的随机事件.
定义2 对于随机变量ξ,当实数集S确定后,事件{ξ∈S}的概率 P({ξ∈S})也随之确定,我们称这种对应关系为随机变量ξ的概
开半闭区间[a,b)内取值的概率等于分布函数在[a,b)上的增量 (这正是可用ξ的分布函数表达分布的原因所在); (4) P{ξ≥x}=1-P{ξ<x}=1-F(x).
例1 求试验E5中随机变量ξ的分布函数. 解 由于陀螺的均匀性和刻度的均匀性,根据几何概率的定 义,对于区间[0,1)内的任一区间[a,b)有
泊松定理的证明
(证明从略) 显然,泊松定理的条件npn→λ(λ为常数)意味着当n很大时,pn一定很 小.故泊松定理表明,当n很大,pn很小时,有以下近似公式:
实际应用中,当n≥10且p≤0.1时,就可以利用公式(5)作近似计 算.例如,利用公式(5)可以计算例4中的概率P{ξ≥2}的近似值,因为 n=200很大,p=0.04又比较小,故
E4 测试灯泡的使用寿命,设其寿命为ξ(单位: h),则对应于试 验的所有可能结果,ξ可能取值的范围是区间[0,+∞)内任一数
值.
E5 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[0,1)上的诸数 值,在桌面上旋转这陀螺,当它停转时其圆周上触及桌面的刻 度设为ξ,则对应于试验的所有可能结果,ξ可能取值的范围是 区间[0,1).
以上几例,不论试验结果是否与数量有直接关系,都可用一个 数量ξ来表示,而且这个数量ξ有着共同的特点: ξ都是随试验 结果的变化而变化的,而且试验结果一旦确定,ξ的值也随之
确定.因此ξ是试验结果(基本事件e)的函数.
定义1 根据试验结果取值的变量ξ称为随机变量.或者,如果 对于试验E的基本空间U的任一元素e,都唯一地对应着一实 数值ξ,则称ξ为试验E的一个随机变量,记为
第二章 随机变量及其概率分布
为了引进微积分的方法和工具,使我们更加深入 、全面地研究随机现象,揭示客观存在着的统计 规律性,从本章开始引入随机变量的概念,并介绍 有关随机变量的一些基本知识.本章与下一章 “随机变量的数字特征”构成概率论的主体.
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
在随机现象中,有许多试验的结果是直接用数量表示的, 也有一些实验,其结果乍看起来与数量没有关系,但是我们仍 可以设法用数量来描述.
布函数. 从以上定义容易看出,分布函数有如下性质: (1) ξ的分布函数F(x)是一个普通实值函数,其定义域为(-∞,+ ∞); (2) F(x)=P{ξ<x}=P{ξ∈(-∞,x)}表示ξ在区间(-∞,x)内取值的 概率; (3) P{a≤ξ<b}=P{ξ<b}-P{ξ<a}=F(b)-F(a).这表明ξ在任一半
(2) b(k;n,p)=
pk(1-p)n-k=1.
这说明b(k;n,p)满足非负性和归一性.因此,(3)式确是某一离散型随 机变量的分布列.那么二项分布的现实背景或实际模型是什么呢? 在伯努利概型中由二项概率公式易知,事件A在n次重复独立试验 中发生的次数ξ就服从二项分布.具体举出以下两个实际模型:
P{a≤ξ<b}=
=b-a.
对于数轴上任一区间I(未必有I⊂[0,1)),由于ξ取[0,1)以外的值 的概率为0,所以
P{ξ∈I}=S(I),
其中S(I)为区间I∩[0,1)的长度.
下面计算ξ的分布函数.
当x≤0时,(-∞,x)∩[0,1)=∅,所以 F(x)=P{ξ<x}=P(∅)=0; 当0<x≤1时,(-∞,x)∩[0,1)=[0,x),所以 F(x)=P{ξ<x}=x; 当1<x时,(-∞,x)∩[0,1)=[0,1),所以 F(x)=P{ξ<x}=1.
3. 从一个含有4个红球、2个白球的口袋中任意地取出5个球,求取得红球 的个数ξ的分布函数. 4. 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[0,3)上的诸数字,旋转这陀 螺,求它停下时其圆周上触及桌面点的刻度ξ的分布函数.
第二节 离散型随机变量
一、 离散型分布的概念
定义 若随机变量ξ所有可能取的值是有限个或可数无穷多 个数值,则称ξ为离散型随机变量,ξ的分布称为离散型分布.设
F(x)=P{ξ<x}=P{ξ=0}+P{ξ=1}+P{ξ=2}= + + = ; 当3<x时,{ξ<x}是必然事件,所以 F(x)=P{ξ<x}=1. 总之,F(x)的表达式为
F(x)=
它的图形如图2-2所示,是一阶梯形曲线,在x=0,1,2,3处F(x)为 左连续,依次具有跃度 , , 和 .
模型1 设在试验E中,事件A出现的概率为p(0<p<1),将E独立地重
复n次,ξ为A在这n次试验中出现的次数,则ξ~B(n,p).
模型2 在次品率为p(0<p<1)的一大批产品中,有放回地任取n件,ξ 为取得的次品件数,则ξ~B(n,p).
例4 在一大批次品率为p=4%的产品中任取200件检验,求其中至 少有2件次品的概率.
从以上两例又容易知道,分布函数还有以下性质: (5) F(x)单调非减,即若x1<x2,则 F(x1)≤F(x2); (6) F(x)是左连续的,即 F(x0-0)= F(x)=F(x0), x0∈(-∞,+∞); (7) F(x)的图形有两条渐近线(如图2-3所示)
F(-∞)= F(x)=0 和 F(+∞)= F(x)=1.
于是,查附表1,得
2. 泊松分布 如果随机变量ξ的分布列为
泊松分布简介
则称ξ服从参数为λ的泊松分布,记作ξ~P(λ). 容易验证泊松分布的分布列满足非负性和归一性:
(1) e-λ≥0 (k=0,1,2,…);
(2)
e-λ=e-λ
=1.
由泊松定理可以看到,泊松分布是二项分布当n→∞(np→λ为常数) 时的极限分布,它是一个重要的离散型分布.服从泊松分布的离散 型随机变量很多,例如,一段时间内来到某商店的顾客人数;一定容 积内的细菌数;田间一定面积内的杂草数;一段时间内电话交换台 接到的呼唤次数;一定长度棉纱上的疵点(杂质)数等都服从泊松分 布.
0,1,2,3.
E2 某电话交换台在单位时间内收到的电话呼唤次数设为ξ, 则对应于试验的所有可能结果,ξ可能取的值是0,1,2,….
E3 抛掷一枚硬币,出现“正面朝上”可用ξ=1表示,出现“反 面朝上”可用ξ=0表示.
率分布(简称为分布). 随机变量ξ的分布表明了ξ取值的统计规律,即ξ取哪些值,取这 些值的概率是多少.通常将P({ξ∈S})简记为P{ξ∈S}. 定义3 设ξ为一随机变量,x(-∞<x<+∞)为实数,则事件{ξ<x} 的概率P{ξ<x}是x的实函数,记为F(x),即
F(x)=P{ξ<x}, 称函数F(x)为随机变量ξ的概率分布的分布函数,简称为ξ的分
离散型随机变量ξ可能取的值为a1<a2<…<ak<…,且ξ取这些值 的概率为
又pk满足: (1) pk≥0(非负性); (2) pk=1(归一性), 则称(1)式的一列等式为ξ的分布列(或称为分布密度或概率
函数). 为直观起见,常将ξ的取值及其对应的概率用下列表格表示:
例1 在第一节例2中,抽得白球数ξ的分布列为
的定义,容易知道ξ的分布函数为
其中的和式是对一切满足ak<x所对应的pk求和,即F(x)为累加 概率. 例2 设随机变量ξ的分布列为
求a的值. 解 根据分布列的归一性,得
所以
a=
.
最后指出,如果一个函数的定义域是由有限个或可数无穷多 个实数组成的集合,函数值总在[0,1]上且函数值的总和等于 1,则这个函数一定是某一个离散型随机变量的分布列.
解 设ξ表示被取出的200件产品中所含的次品数,由于这批产品的 件数很多,取走200件可以认为并不影响留下部分的次品率,所以, 可以认为抽样是有放回的.于是根据模型2,ξ~B(200,0.04),其分布列
为 P{ξ=k}= (0.04)k×(1-0.04)200-k (k=0,1,2,…,200). 于是,所求概率为
例3 一个足球队要经过四轮比赛才能出线,设球队每轮被淘 汰的概率p= .以ξ表示球队结束比赛时的比赛次数,求ξ的分 布列.
解 ξ的所有可能取值为1,2,3,4.记 Ak={球队通过第k轮比赛} (k=1,2,3,4), 则有
二、 常用的离散型分布
本节按照分布列的类型来讨论一些常用的离散型分布.一般 地,如果一种分布有着广泛的现实背景,或者在理论上起着重 要的作用,那么这种分布就是重要的.因此,对于一种分布,我
们要从它的实际背景(来源)、特殊性质及其实践中的应用三 方面来掌握它.
1. 二项分布 如果随机变量ξ的分布列为
其中0<p<1,则称ξ服从参数为n,p的二项分布,记为ξ~B(n,p),并记 b(k;n,p)= pk(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n).
显然有 (1) b(k;n,p)= pk(1-p)n-k≥0;
图 2-2
图 2-3
最后需要指出的是,如果将随机变量的分布函数定义为 F(x)=P{ξ≤x}, 则可易知,F(x)是右连续的,请读者在阅读其他参考书时要特 别注意这一点.
习 题 2-1 1. 随机变量与普通变量有何不同? 2. 设一口袋中装着依次标有-1,2,2,2,3,3数字的6个球,从这口袋中任取1个 球,求取得的球上标明的数字ξ的分布函数.
概率论与数理统计_97 8-7-301-10707-2-1-1
主编
第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 随机变量的数字特征 第四章 多维随机变量 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 样本与抽样分布 第七章 参 数 估 计
第八章 假 设 检 验 第九章 一元线性回归分析 *第十章 概率论与数理wenku.baidu.com计的软件实现 附录 习题答案
从ξ的分布列可以求得任意一个比较复杂的事件的概率.例如
P{0.5<ξ<2.5}=P{ξ=1或ξ=2}=P{ξ=1}+P{ξ=2}= + = .
由此可见,知道了离散型随机变量的分布列,不仅掌握了它取 各个值的概率,而且也掌握了它在各个范围内取值的概率(等 于它取这个范围内的各个可能值的概率之和).所以,分布列能 全面地描述离散型随机变量取值的统计规律性. 在知道了离散型随机变量的分布列(即(1)式)后,由分布函数
总之,F(x)的表达式为 F(x)= 其图形如图2-1所示.
图 2-1
• E1 一口袋中装有4只白球、5只红球,从中 任取3只.设取得的白球个数为ξ.
例2 求试验E1中随机变量ξ的分布函数. 解 由古典概型概率的计算公式易得,ξ分别取值0,1,2,3的概 率依次为
因此,当x≤0时,{ξ<x}是不可能事件,所以 F(x)=P{ξ<x}=0;
从上例知道,当n很大时,按公式(3)计算有关二项分布的概率是 比较困难的.下面给出当n很大而p很小时,二项分布的近似计算公
式. 定理(泊松(Poisson)定理) 设离散型随机变量ξn~B(n,pn),即b(k;n,pn) =P{ξn=k}= (1-pn)n-k (k=0,1,…,n).如果npn→λ(n→∞时)是一个常 数,则
ξ=ξ(e).
以后我们用希腊小写字母ξ,η,ζ等表示随机变量,而用英文小 写字母表示数量.
随机变量与普通实函数不同,这主要体现在它有以下三个特 征:
(1) 随机变量ξ的定义域是基本空间U,而U不一定是实数集;
(2) 随机变量ξ的取值具有随机性,即ξ取哪个值在试验之前无 法知道;
(3) 随机变量ξ具有统计规律性,即ξ取某个值或ξ在某一区间 内取值的概率是完全确定的.
当0<x≤1时,{ξ<x}={ξ=0},所以 F(x)=P{ξ<x}=P{ξ=0}= ; 当1<x≤2时,{ξ<x}={ξ=0或ξ=1}={ξ=0}+{ξ=1},所以 F(x)=P{ξ<x}=P{ξ=0}+P{ξ=1}= + = ; 当2<x≤3时,{ξ<x}={ξ=0或ξ=1或ξ=2}={ξ=0}+{ξ=1}+{ξ=2}, 所以 F(x
二、 随机变量的分布函数
为了全面地描述随机变量ξ,我们不仅要知道它可能取的值是 哪一些,而且还要知道它取这些值的概率是多少,即需要知道 ξ的分布规律.为此,对于任一实数集S,可用{ξ∈S}代表一个随 机事件,即基本空间U内所有能使ξ(e)∈S的基本事件e组成的 集合所代表的随机事件.
定义2 对于随机变量ξ,当实数集S确定后,事件{ξ∈S}的概率 P({ξ∈S})也随之确定,我们称这种对应关系为随机变量ξ的概
开半闭区间[a,b)内取值的概率等于分布函数在[a,b)上的增量 (这正是可用ξ的分布函数表达分布的原因所在); (4) P{ξ≥x}=1-P{ξ<x}=1-F(x).
例1 求试验E5中随机变量ξ的分布函数. 解 由于陀螺的均匀性和刻度的均匀性,根据几何概率的定 义,对于区间[0,1)内的任一区间[a,b)有
泊松定理的证明
(证明从略) 显然,泊松定理的条件npn→λ(λ为常数)意味着当n很大时,pn一定很 小.故泊松定理表明,当n很大,pn很小时,有以下近似公式:
实际应用中,当n≥10且p≤0.1时,就可以利用公式(5)作近似计 算.例如,利用公式(5)可以计算例4中的概率P{ξ≥2}的近似值,因为 n=200很大,p=0.04又比较小,故
E4 测试灯泡的使用寿命,设其寿命为ξ(单位: h),则对应于试 验的所有可能结果,ξ可能取值的范围是区间[0,+∞)内任一数
值.
E5 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[0,1)上的诸数 值,在桌面上旋转这陀螺,当它停转时其圆周上触及桌面的刻 度设为ξ,则对应于试验的所有可能结果,ξ可能取值的范围是 区间[0,1).
以上几例,不论试验结果是否与数量有直接关系,都可用一个 数量ξ来表示,而且这个数量ξ有着共同的特点: ξ都是随试验 结果的变化而变化的,而且试验结果一旦确定,ξ的值也随之
确定.因此ξ是试验结果(基本事件e)的函数.
定义1 根据试验结果取值的变量ξ称为随机变量.或者,如果 对于试验E的基本空间U的任一元素e,都唯一地对应着一实 数值ξ,则称ξ为试验E的一个随机变量,记为
第二章 随机变量及其概率分布
为了引进微积分的方法和工具,使我们更加深入 、全面地研究随机现象,揭示客观存在着的统计 规律性,从本章开始引入随机变量的概念,并介绍 有关随机变量的一些基本知识.本章与下一章 “随机变量的数字特征”构成概率论的主体.
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
在随机现象中,有许多试验的结果是直接用数量表示的, 也有一些实验,其结果乍看起来与数量没有关系,但是我们仍 可以设法用数量来描述.
布函数. 从以上定义容易看出,分布函数有如下性质: (1) ξ的分布函数F(x)是一个普通实值函数,其定义域为(-∞,+ ∞); (2) F(x)=P{ξ<x}=P{ξ∈(-∞,x)}表示ξ在区间(-∞,x)内取值的 概率; (3) P{a≤ξ<b}=P{ξ<b}-P{ξ<a}=F(b)-F(a).这表明ξ在任一半
(2) b(k;n,p)=
pk(1-p)n-k=1.
这说明b(k;n,p)满足非负性和归一性.因此,(3)式确是某一离散型随 机变量的分布列.那么二项分布的现实背景或实际模型是什么呢? 在伯努利概型中由二项概率公式易知,事件A在n次重复独立试验 中发生的次数ξ就服从二项分布.具体举出以下两个实际模型:
P{a≤ξ<b}=
=b-a.
对于数轴上任一区间I(未必有I⊂[0,1)),由于ξ取[0,1)以外的值 的概率为0,所以
P{ξ∈I}=S(I),
其中S(I)为区间I∩[0,1)的长度.
下面计算ξ的分布函数.
当x≤0时,(-∞,x)∩[0,1)=∅,所以 F(x)=P{ξ<x}=P(∅)=0; 当0<x≤1时,(-∞,x)∩[0,1)=[0,x),所以 F(x)=P{ξ<x}=x; 当1<x时,(-∞,x)∩[0,1)=[0,1),所以 F(x)=P{ξ<x}=1.
3. 从一个含有4个红球、2个白球的口袋中任意地取出5个球,求取得红球 的个数ξ的分布函数. 4. 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[0,3)上的诸数字,旋转这陀 螺,求它停下时其圆周上触及桌面点的刻度ξ的分布函数.
第二节 离散型随机变量
一、 离散型分布的概念
定义 若随机变量ξ所有可能取的值是有限个或可数无穷多 个数值,则称ξ为离散型随机变量,ξ的分布称为离散型分布.设
F(x)=P{ξ<x}=P{ξ=0}+P{ξ=1}+P{ξ=2}= + + = ; 当3<x时,{ξ<x}是必然事件,所以 F(x)=P{ξ<x}=1. 总之,F(x)的表达式为
F(x)=
它的图形如图2-2所示,是一阶梯形曲线,在x=0,1,2,3处F(x)为 左连续,依次具有跃度 , , 和 .
模型1 设在试验E中,事件A出现的概率为p(0<p<1),将E独立地重
复n次,ξ为A在这n次试验中出现的次数,则ξ~B(n,p).
模型2 在次品率为p(0<p<1)的一大批产品中,有放回地任取n件,ξ 为取得的次品件数,则ξ~B(n,p).
例4 在一大批次品率为p=4%的产品中任取200件检验,求其中至 少有2件次品的概率.
从以上两例又容易知道,分布函数还有以下性质: (5) F(x)单调非减,即若x1<x2,则 F(x1)≤F(x2); (6) F(x)是左连续的,即 F(x0-0)= F(x)=F(x0), x0∈(-∞,+∞); (7) F(x)的图形有两条渐近线(如图2-3所示)
F(-∞)= F(x)=0 和 F(+∞)= F(x)=1.
于是,查附表1,得
2. 泊松分布 如果随机变量ξ的分布列为
泊松分布简介
则称ξ服从参数为λ的泊松分布,记作ξ~P(λ). 容易验证泊松分布的分布列满足非负性和归一性:
(1) e-λ≥0 (k=0,1,2,…);
(2)
e-λ=e-λ
=1.
由泊松定理可以看到,泊松分布是二项分布当n→∞(np→λ为常数) 时的极限分布,它是一个重要的离散型分布.服从泊松分布的离散 型随机变量很多,例如,一段时间内来到某商店的顾客人数;一定容 积内的细菌数;田间一定面积内的杂草数;一段时间内电话交换台 接到的呼唤次数;一定长度棉纱上的疵点(杂质)数等都服从泊松分 布.