数理统计小论文

应用数理统计小论文

题目基于方差分析膨胀剂掺量对混凝土收缩率的影响

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`基于方差分析膨胀剂掺量对

混凝土收缩率的影响

摘要：随着混凝土技术向低水灰比、高强、和流动性方向发展，混凝土脆性增大，收缩开裂加剧，严重影响了混凝土结构的耐久性和使用寿命，已成为工程中所面临的严峻问题之一，目前常采用掺加膨胀剂等手段来补偿收缩。为了了解膨胀剂掺量对混凝土的收缩率影响是否显著，本文采用方差分析进行处理。方差分析是数理统计中一种重要的分析思想，是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。针对设计试验得到的数据，进行方差分析，通过手工计算以及采用SPSS软件处理。由结果的一致性，得到膨胀剂掺量对混凝土收缩率影响显著的结论。

关键词：混凝土；膨胀剂；收缩；方差分析；SPSS软件

一问题提出与分析

众所周知，混凝土是土木工程结构中的首选材料，由于具有原材料资源丰富易得、制备工艺简单、价格合理并具有较稳定的物理力学性能和耐久性等特点，被广泛应用于工业与民用的土建工程、水利工程、地下工程、公路、铁路、桥梁等工程中。作为建筑工程的主要材料，混凝土性能的好坏直接关联到结构安全的与否。目前混凝土建筑物每年的投资达数千亿美元，与此同时，由于混凝土耐久性问题给各国带来的损失也是相当惊人的，而且影响时间长，涉及面广。

混凝土材料有很多特性，其中一个很重要的问题是混凝土的收缩徐变特性，本文只考虑膨胀剂对混凝土收缩率的影响。混凝土材料存在的一个很重要的问题就是开裂，但最常见的是在限制条件下因收缩而引起的开裂。混凝土收缩是指在混凝土凝结初期或硬化过程中出现的体积缩小现象（用收缩率来衡量）。影响混凝土收缩的因素有很多：用水量、水泥的品种、集料的大小、添加剂的用量以及环境与养护等[1]。

从有水泥混凝土以来，裂缝问题一直困扰人们，不少学者想尽不同的办法从不同的角度来解决裂缝问题，但从国内外的情况来看，膨胀混凝土是解决这一问题最有效的办法之一。膨胀混凝土是一种特种混凝土，一般是采用膨胀水泥来配制或者通过在普通混凝土配制时加入一定量的混凝土膨胀剂。膨胀剂掺入到混凝土中,通过产生一定的限制膨胀,补偿混凝土的收缩,有利于提高混凝土的抗渗防裂。但是膨胀剂掺量对混凝土收缩率的影响是否显著没有明显的数据支撑，以及最优的掺量是多少研究不是很多。

本文针对膨胀剂掺量对混凝土的收缩率影响是否显著开展相关分析。对同一水平膨胀剂掺量做3次试验，一共有4个水平。由试验得到的数据进行单因素方差分析，由手工计算的同时进行SPSS软件计算，验证结论的一致性。

二 数学模型、原理及算法 数据采用方差分析进行处理。方差分析是数理统计中一种重要的分析思想，就是根据试验结果进行分析，鉴别各有关因素对试验结果的影响程度的有效方法。方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验通过方差分析，判定某一因子是否显著，当因子显著时，我们可以绘出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。

本文采用的是单因素方差分析。单因素方差分析所讨论的是在一个总体标准差皆相等的条件下，解决一个总体平均数是否相等的问题[2]。

2.1 数学模型

设因素A 取r 个不同的水平A 1，A 2，... A r ，这相当于有r 个总体X 1，X 2，... X r ，假设),...2,1,,...2,1)(,(~2i i ij n j r i X ==σμ，且所有的ij X 相互独立。ij X 就是在水平A i 下进行第j 次重复试验的结果数据，在实际问题中X ij 就是一个具体的数值，而在作统计分析时则把ij X 看成随机变量。

令),,2,1,,2,1(r i n j X i i ij ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-=με

则ij ε是在水平i A 下第j 次重复试验的误差，是不可观测的随机误差。i μ是总体i X 的期望值，其实际意义是水平i A 下试验结果数据的理论均值。于是把ij X 表示为：

ij i ij X εμ+=， ),0(~2σεN ij 且相互独立。我们要检验的假设为：

r H μμμ⋅⋅⋅==210:，记r i i i ⋅⋅⋅=-=,2,1,μμα

于是假设等价于0:210==⋅⋅⋅==r H ααα

2.2 统计分析

现假设：r H μμμ⋅⋅⋅==210: 个不相等中至少有所有的2:1μH 。

定义：

A r i e n j ij i T S S X X n S i +=-=∑∑==11

2)(

21211)(i r

i i r i j i ij e S n X X S i n ∑====∑∑-= 21112

)()(X X n X X S i r

i i r i j i A i n -=∑∑-=∑=== 其中S T 为总的偏差平方和，简称总的平方和，反映了全体样本的波动程度的大小。Se 为误差平方和，反映了样本内的随机波动。S A 为因素的平方和，当H 0成立时，它的大小反映了误差的波动，当H 0不成立时，它的大小除反映误差

波动外，主要还是反映了因素A 的不同水平效应差异所引起的波动。

当H 0成立时，有

[][]1)/(/)1/(,)(2=--=-r n S E r S E r

n S E e A A σ 而当H 0不成立时，有

[][]1)/(/)1/(>--r n S E r S E e A 因此，H 0成立时,其比值应该接近于1；H 0不成立时,其比值明显比1偏大。故用)/(1r

n S r S F e A --=作为H 0的检验统计量。而在H 0成立的条件下，有 ),1(~)

/()1/(r n r F r n S r S F e A ----= 所以对于给定的显著水平α，检验规则为：

当),1(1r n r F F -->-α时，拒绝H 0，认为影响显著，否则接受H 0。上述分析结果排成表，为方差分析表。

三 实验数据收集及预处理

数据来自于重庆大学廖建平同学的课外论文，我选取了其中的部分数据。取了其中的12次试验。为了控制为单因素水平，尽量使其他因素影响一致，减少其他因素的干扰，为了减小误差，所制成的混凝土构件的尺寸均一样，大小为515mm×100mm×100mm 。

试验中膨胀剂掺量水平为0%、3%、6% 、10% ，共四水平。试件在温度20± 2度，湿度在90%以上条件下进行标准养护0d 、1d 、2d 、3 d 、5d 、7 d 、14 d 、28 d 、45d 。试验过程中，对不同龄期的混凝土试件使用SP540型混凝土收缩膨胀仪进行测量（以28d 的收缩率为分析数据）。为了排除偶然因素的影响，每种水平均制了3个构件，测量时每个构件测量三次，取其平均值为其缩量值。收缩率的公式为：S=∆L/L 0×100% 。其中S 为收缩率，L ∆为变形量，L 为构件原长。

实验测得的数据如表2所示：