锐角三角函数教案(教学设计)

锐角三角函数

【教学目标】

1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算。

2．感知当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。

3．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

4．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

【教学重点】

1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算。

2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

【教学难点】

1．当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定值的事实。

2．30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。

【教学过程】

一、寻疑之自主学习

1．活动

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？

思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？_____；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？_____。

结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值_____。

答案：100米

2a m

1

2

思考2：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？

C B

A

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值_____。

答案：是定值

2

2

2．通过自主练习寻找疑问

（1）在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个_____。

答案：固定值

（2）在直角三角形ABC 中，

23

B ∠=的对边斜边若直角三角形DEF 中∠D =∠B ，则D ∠=的对边斜边_____。 答案：23

（3）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =513

，则sin B 等于（ ）。

答案：D

二、解惑之例题解析

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin A和sin B的值。

解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得：222

AB BC AC

+=，AB=5，

∴sin A=BC

AB

=

3

5

，

sin B=AC

AB

=

4

5

。

（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得222

AC AB BC

=-，AC=12，

∴sin A=BC

AB

=

5

13，

sin B=AC

AB

=

12

13。

例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A、cos A、tan A的值。解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得222

AC AB BC

=-，AC=8，

∴sin A=BC

AB

=

3

5

，

cos B=AC

AB

=

4

5

，

A

B

C

13

5

A

B

C

3

4

例3：如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠

P AB=38.5°，∠PBA=26.5。请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置。（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）

解：设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置。

设PD=x米，

∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°，

在Rt△PAD中，tan

x

PBD

AD

∠=

，∴

5

tan38.50.804

x x

AD x

===

︒，

在Rt△PBD中，tan

x

PBD

DB

∠=

，∴

2

tan26.50.50

x x

DB x

===

︒，

又∵AB=80.0米，∴5

280.0

4

x x

+=

，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，

∴DB=2x=49.2米。

答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米。

三、作业设置

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，

AE=6，cos A=3

5

。

求：（1）DE，CD的长. （2）tan∠DBC的值。