2018届高考数学二轮复习高考小题集训(四)理

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高考数学二轮复习分层特训卷方法技巧专练四

专练(四)技法14 函数方程思想1．已知在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动(包含端点)，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．[0,1] 答案：C 解析：解法一将正方形ABCD 放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.解法二 EM →·EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EB →＋12BC →·(EB →＋BC →)＝EB →2＋12BC →2＝EB →2＋12，又0≤|EB →|≤1，所以12≤EB →2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.2．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3 D.2π9答案：B解析：如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8π27.3．[2019·陕西西安二模]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈[1，t ]时，f (x －a )≤4x (a >0)恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9答案：D解析：作函数f (x )＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2的简图如图所示．由图象可知，当函数y ＝f (x －a )的图象经过点(1,4)时，有x ∈[1，t ]，f (x －a )≤4x (a >0)恒成立，此时t 取得最大值，由(1－a )2＋4(1－a )＋4＝4，得a ＝5或a ＝1(舍)，所以4t ＝(t －5＋2)2，所以t ＝1(舍)或t ＝9，故t ＝9.4．[2018·全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sinB ＝4a sin B sinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案：233解析：∵ b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴ 由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴ sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴ cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴ S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.5．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.则a n ＝________，b n ＝________.答案：3n －2 2n解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3，又因为q >0，所以q ＝2.所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8 ①.由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16 ②，联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为________．答案：53解析：取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a ，∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c－5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.7．已知函数f (x )＝lg 1＋2x＋4x·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ 解析：参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x·a a 2－a ＋1>0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，得1＋2x ＋4x·a >0，故a >－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数，因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋12x max ＝－34，所以a >－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 8．关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则a 的取值集合为________________________________________________________________________．答案：{2e}解析：关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－12x 2－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞. 因为g ′(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1x2，令φ(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则φ′(x )＝x (e x－1)．因为x ≥12，所以φ′(x )≥0，故φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－e2>0. 因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1211812e --＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}．9．[2018·全国卷Ⅱ节选]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.求l 的方程．解析：由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.10．已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k恒成立，求实数k 的最小值．解析：(1)因为a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，所以公差d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)由(1)知S n ＝n (n ＋1)，则b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则需使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.。

高考理科数学二轮考前复习：专题四高考解答题的审题与答题示范(四) 概率与统计类解答题

高考解答题的审题与答题示范(四)
概率与统计类解答题
［解题助思·快速切入］
[思维流程]——概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
[审题方法]——审图表、审数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在
审题时，认真观察分析图表、数据的特征的规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．［满分示例·规范答题］
典例
(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根
据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低
于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果
最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六
月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40) 天数21636257 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进
货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
审题
路线
确定X的取值→计算与X值对应的概率→列出X的分布列→求出数学期望
标准答案阅卷现场
(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，
500.①
由表格数据知辨表
第(1)问第(2)问
得①②③④⑤⑥⑦⑧。

(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案-

第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真题感悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考点整合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6，所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7，由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0，解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0，解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k2，直线l 与圆O 相切d ＝r 4m 2＝3(1＋k 2)， ∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1，此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |，且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2.从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12.答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________. 解析如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝ |FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x 得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0，解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1，故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值，即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小，也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程；(2)求OM →·ON →的取值范围.解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2，因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ，又点A 在第一象限，点B 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m 1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0，化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2，原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k 2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k 2， ∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m 21－4k2＝2，∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k 2－7. ∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：(高考22题) 12+4分项练12

12＋4分项练12 概率1．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48答案 B解析设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.80×P (B )＝0.60，故P (B )＝0.75.故选B.2．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512 B.712 C.13 D.12 答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.3．某个路口交通指示灯，红灯时间为40秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为30秒，绿灯和黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过10秒就可以通行的概率为( ) A.34 B.47 C.57 D.58 答案 D解析这是一个几何概型，试验人随机到达路口对应的几何区域看作一条长80的线段，到达路口时因为绿灯和黄灯时间可以通行，所以等待不超过10秒可看作一条长为50的线段，所以通行概率为58.4．已知随机变量X ～N (2,4)，随机变量Y ＝3X ＋1，则( ) A ．Y ～N (6,12) B ．Y ～N (6,37) C ．Y ～N (7,36) D ．Y ～N (7,12) 答案 C解析 X ＝2⇒Y ＝7，σ2(X )＝4⇒σ2(Y )＝9×4＝36，因此Y ～N (7,36)．故选C.5．(2017·辽宁省实验中学模拟)已知在椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)中，参数a ，b 都通过随机程序在区间(0，t )上随机选取，其中t >0，则椭圆的离心率在⎝⎛⎭⎫32，1内的概率为( )A.12B.13C.14D.23答案 A解析 ∵e ＝c a ∈⎝⎛⎭⎫32，1，∴34<c 2a 2<1，34<a 2－b 2a 2<1，－14<－b 2a2<0， 0<b 2a 2<14，0<b a <12，本题可视为二维几何概型，由于⎩⎪⎨⎪⎧0<a <t ，0<b <t 且a >b >0，满足b <12a 的概率为P ＝12×t ×t 212t2＝12.故选A.6．(2017·河北省石家庄二中模拟)在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是 ( ) A ．3 B ．4 C ．1 D.1516答案 A解析抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为C 34⎝⎛⎭⎫124＝14，因为ξ～B ⎝⎛⎭⎫16，14，所以ξ的方差是16×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝3，故选A. 7．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为12.构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，第n 次正面向上，－1，第n 次反面向上，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2≠0且S 8＝2时的概率为( ) A.43128 B.4364 C.13128 D.1364答案 C解析由题意知，当S 8＝2时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为S 2≠0，所以有两种情况：①前2次都正面向上，后6次中有3次正面向上，3次反面向上；②前2次都反面向上，后6次中有5次正面向上，1次反面向上，所以S 2≠0且S 8＝2时的概率为P ＝⎝⎛⎭⎫122C 36·⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫122C 56⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫121＝13128，故选C.8.(2017届辽宁省锦州市质检)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明. 下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2. 设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷 1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( ) A ．134 B ．866 C ．300 D ．500答案 A解析勾为a ，则股为3a ，则弦为2a ，则图中大四边形的面积为4a 2，小四边形的面积为(3－1)2a 2＝(4－23)a 2，由几何概型知，图钉落在黄色图形内的概率为(4－23)a 24a 2＝1－32，所以落在黄色图形内的图钉数大约为 1 000⎝⎛⎭⎫1－32≈134.故选A. 9．(2017届青海省西宁市一模)盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( ) A.35 B.59 C.25 D.110答案 B解析设“第一次摸出新球”为事件A ，“第二次摸出新球”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59，故选B. 10．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3.D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，∴D (2X －3)＝22D (X )＝4.11．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为( ) A.34 B.916 C.32D.23答案 B解析如图，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为A 1B 1C 1D 1E 1F 1.设AB ＝a ，由已知得∠AOB ＝60°，则OA ＝a ，∠AOM ＝30°，则OM ＝OA cos ∠AOM ＝a ·cos 30°＝3a 2，即中间的正六边形的边长为3a2；以此类推，最小的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为OB 1＝32OM ＝32·3a 2＝3a4，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P ＝111111A B C D E F ABCDEFS S 边边正六形正六形＝12·3a 4·3a 4·32·612·a ·a ·32·6＝916，故选B.12．甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是12，则下列结论中正确的是( )①第一局甲就出局的概率是13；②第一局有人出局的概率是12；③第三局才有人出局的概率是364；④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是13；⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于11 000.A ．①②B ．②④⑤C ．③D ．④答案 C解析三人各掷硬币一次，每一次掷硬币都有2种结果，所有的结果共有23＝8(种)．由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止．①当甲掷得的结果与其他二人不同时，有正反反，反正正，共有2种结果，故第一局甲就出局的概率是14，①错误；②第一局有人出局时，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，6种结果，故第一局有人出局的概率是34，②错误；③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，故第三局才有人出局的概率是28×28×68＝364，③正确；④由于直到第九局才有人出局，则前八局无人出局，则甲出局的概率是⎝⎛⎭⎫288×68×13＝149，④错误；⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人出局，故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为1－68－28×68－⎝⎛⎭⎫282×68－⎝⎛⎭⎫283×68－⎝⎛⎭⎫284×68＝145<11 000，⑤错误． 13．(2017届江苏省盐城市三模)甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．答案 89解析只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知，这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率P ＝1－13×3＝89.14．公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机率不高于0.022 8来设计的．设男子身高X 服从正态分布N (170,72)(单位：cm)，参考以下概率P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________ cm. 答案 184解析由题意知，利用P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，男子身高X 服从正态分布N (170,72)，可得车门的高度至少为170＋2×7＝184(cm)．15．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞(如图)，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________．答案 78解析四枚硬币的全部的摆法有24＝16(种)，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反正反，反正反正，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16－2＝14(种)，所以概率为P ＝1416＝78.16．(2017·湖北省黄冈市质检)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y )，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈________.(用分数表示) 答案7825解析由题意得200对都小于1的正实数对(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<1，x ＋y >1，0<x ，y <1，因为统计两数能与l 构成钝角三角形的数对(x ，y )的个数m ＝56，所以m 200＝14π·12－12×121×1，即56200＝14π－12，π＝7825.。

2018届高考数学理科二轮总复习高考23题逐题特训四数列2 含解析精品

(四)数列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． (1)解因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1.因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1，两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3.故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1，两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1.当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d . 故数列{b n }是公差为32d 的等差数列． (3)证明由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n .当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1，两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1，即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列，所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )，另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2.又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )，所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b n a n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1). 因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0，所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14. 综上可知，S n ＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3.即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)，∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列，又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0，∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *. 此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．。

[配套K12]2018届高考数学二轮复习疯狂专练24 模拟训练四理

模拟训练四1．[2017·庄河高级中学]设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112i z =-（i 是虚数单位），则2iz 为（） A ．2i -- B ．2i -+ C．12i-+D ．12i --【答案】B【解析】由题意可得：212i z =--，212i 2i i iz --∴==-+．本题选择B 选项． 2．[2017·庄河高级中学]已知集合{}lg 0A x x =≥，{}24xB x =≤，()(){}420C x x x =-+≤，则“x A B ∈”是“x C ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可得：{}1A x x =≥，{}2B x x =≤，{}24C x x =-≤≤，则{}12A B x x =≤≤，则“x A B ∈”是“x C ∈”充分不必要条件．本题选择A 选项．3．[2017·庄河高级中学]已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2223x y +-=相切，则双曲线的离心率为（）A B ．13CD 【答案】D【解析】由双曲线的方程可得其渐近线为0bx ay ±=，渐近线与圆相切，则圆心()0,2到直线0bxay +=的距离为=2a c∴=，c e a ==．本题选择D 选项．一、选择题（5分/题）4．[2017·庄河高级中学]已知某次数学考试的成绩服从正态分布()2102,4N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附：()0.6826P X μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P X μσμσ-<+=≤，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23% C．1.3%D ．0.13%【答案】D【解析】∵数学考试的成绩服从正态分布()2102,4N ，∴102μ=，4σ=，∴390μσ-=，3114μσ+=，∵变量在()3,3μσμσ-+内取值的概率约为09974．，∴成绩在()90,114内的考生所占百分比约为9974%．，∴成绩在114分以上的考生所占的百分比为()19974%2013%÷-=．．，本题选择D 选项． 5．[2017·庄河高级中学]已知平面向量a ，b 夹角为1a =，1b =，2a b -=（）A ．1BC ．2D 【答案】A 【解析】根据条件：111a b ⋅=⨯⨯，∴()222124414a ba ab b -=-⋅+=-⨯+∴21a b -=，故选A ．6．[2017·庄河高级中学]执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a =（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：3m =，4n =，0i =；执行第一次循环：11i i =+=，7a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第二次循环：12i i =+=，10a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第三次循环：13i i =+=，13a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第四次循环：14i i =+=，16a mi n =+=，此时满足判断条件，跳出循环，输出16a =．本题选D ．7．[2017·庄河高级中学]已知α为第二象限角，sin 410απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则t a n 2α的值为（） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：()sin sin cos cos sin sin cos 444210αααααπππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，则：1s i n c o s5αα+=，据此有：22222sincoscos sin 122225sin cos 22αααααα+-=+，222tantan 11225tan 12ααα-+=+，解得：tan22α=或1tan23α=-，α为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2．本题选C ．8．[2017·庄河高级中学]已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且575S =，若()1mx -的展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（） A ．4 B ．6 C ．5 D ．7【答案】B【解析】由等差数列的求和公式结合性质可得：53575S a ==，315a ∴=，由二项式展开式的通项公式：()()11r rrm rrr m m T C x C x -+=⨯⨯-=-，令2r =可得：215mC =，解得：6m =．本题选择B 选项．9．[2017·庄河高级中学]一个几何体的三视图如图所示，其中正侧视和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形：俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的表面积为（）A ．243π+B ．420π+C．616π+D ．83+【答案】C【解析】由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为2正方体，的半球，所以几何体的表面积为2212252246162⎡⎤⨯⨯+π⨯-⨯+⨯π⨯=π+⎢⎥⎣⎦．本题选择C 选项．10．[2017·庄河高级中学]已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫ ⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为（） A ．2 B ．4C ．10D ．16【答案】B【解析】函数图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：1sin 2ϕ=，结合2ϕπ<可得：6ϕπ=，由：()12f x f π⎛⎫ ⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立可得：()21262k k ωπππ⨯+=π+∈Z ，解得：()244k k ω=+∈Z ，令0k =可得：min 4ω=．本题选B ．11．[2017·庄河高级中学]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（）A ．3 B．2+C．2+D．3+【答案】C【解析】由题意可得：sin 2sin cos 0B C A +=，()sin 2sin cos 0A C C A ++=，sin cos 3cos sin A C A C =-，tan 3tan A C =-，cos 02bA c-=<，tan 0C ∴>，据此可得：()2tan tan 2tan 2tan tan 11tan tan 13tan 3tan tan A C CB AC A C CC C+=-+=-==-++，由均值不等式的结论：213tan tan C C=+，当且仅当tan C =时等号成立，此时角B 取得最大值．据此可知：tan B =，tan A =tan C =即ABC △是顶角为120︒的等腰三角形，结合余弦定理可得ABC △的周长为2．本题选择C 选项． 12．[2017·庄河高级中学]若对x ∀，y ∈R ，有()()()2f x y f x f y +=+-，则函数()()221xg x f x x =++的最大值与最小值的和为（） A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵函数()y f x =，对任意x ，y ∈R ，都有()()()2f x y f x f y +=+-，∴令0x y ==时，()()()0002f f f =+-，∴()02f =，令y x =-时，()()()02f f x f x =+--，∴()()4f x f x +-=，令()()2h x f x =-，则()()0h x h x +-=，即()h x 为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，考查函数()21xk x x =+，该函数为奇函数，它的最大值与最小值互为相反数，函数()()()22g x h x g x =++，据此可得：函数()()221xg x f x x =++的最大值与最小值的和为4．本题选A ．13．[2017·庄河高级中学]设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则14log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．【答案】-【解析】由题意：144log 3log 30=-<，则：()()4log 311444log 3log 3log 32f f f +⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭． 14．[2017·庄河高级中学]设变量,x y 满足约束条件2020(0)x y x y y m m +-⎪⎩-->⎧⎨⎪≥≤≤，则目标函数2z x y =-的最大值为____．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()2,0处取得最大值：2202z =-⨯=．二、填空题（5分/题）15．[2017·庄河高级中学]设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，5MF =，若y 轴上存在点()0,2A ，使得AM AF ⊥，则p 的值为__________．【答案】2和8【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点(0)2，，设()M x y ，，由抛物线性质52p MF x =+=，可得52px =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为552222p p -+=，已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0)2，，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．16．[2017·庄河高级中学]已知()333e xx f x x x =-+-，()()21g x x a =-++，[]10,2x ∃∈，[]20,2x ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】110,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】原问题等价于()()min min f x g x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤，由函数的解析式可得：()()1133e xf x x x ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭，[]0,2x ∈，1330e xx ∴++>，据此可得：()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增，函数()f x 的最小值为()111ef =-，由二次函数的性质可得函数()g x 的最小值为()29g a =-+，据此可得不等式：119ea --+≤，解得：110ea-≥，即实数a的取值范围是110,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

2018届高考数学理二轮专题复习：高考小题集训四含答案精品

A. B.
C．2 D．3
解析：取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PA|＝ |PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为 .
答案：B
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝，则函数y＝f(x)在[2,4]上的大致图象是()
解析：当2≤x<3时，0≤x－2<1，又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝2x－4，当3≤x≤4时，1≤x－2≤2，又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝－2(x－2)2＋4(x－2)＝－2x2＋12x－16，所以f(x)＝，
A．2 B．2＋
C．3＋ D．3＋
解析：如图所示，根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥D′－ABCD(正视的方向是 )，正方体的棱长为1，四棱锥D′－ABCD的表面积S＝S四边形ABCD＋S△D′AB＋S△D′BC＋S△D′DC＋S△D′DA＝1＋＋＋＋＝2＋ .
答案：B
12．(2017·广西三市第一次联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为()
答案：B
3．定义新的运算＝ad－bc，则满足＝4＋2i(i为虚数单位)的复数z＝()
A．1－3i B．1＋3i
C．3＋i D．3－i
解析：由于＝zi＋z＝4＋2i，所以z＝＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.

高考数学二轮复习考前专题四数列、推理与证明第1讲等差数列与等比数列讲学案理(2021学年)

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第１讲等差数列与等比数列1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一等差数列、等比数列的运算1.通项公式等差数列:a n=a1+(n－1)d；等比数列:ａn=ａ1·q n-1.2.求和公式等差数列：S n＝错误!＝nａ１＋错误!d;等比数列:S n＝错误!＝错误!(q≠１)．3.性质若ｍ+n＝p+q，在等差数列中a m＋aｎ=a p+a q;在等比数列中a m·a n＝a p·ａｑ。

例1 （１）（2017届吉林二调)错误!是公差不为0的等差数列,满足a错误!＋a错误!＝a错误!+a 错误!，则该数列的前10项和S10等于( )Ａ.－10 Ｂ.-5 Ｃ．0 D。

5答案C解析由题意,得ａ错误!-a错误!＝a错误!-a错误!,即错误!错误!=错误!错误!，即-3d错误!＝d错误!，又因为d≠0,所以ａ4+ａ7＝a6＋ａ５=0,则该数列的前10项和S10=＼f(1０ａ１+a１0，2）=５错误!＝0。

故选C.(2)(20１7届武汉武昌区调研)设公比为q(q＞０)的等比数列错误!的前n项和为Sｎ，若S2＝３a+２,Ｓ４＝3a4+2,则a1等于( ）２A.－2 Ｂ.－１C。

2018届高考数学(理)小题集训4含答案

2018届高考数学（理）小题集训41．[2017·庄河高级中学]设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112i z =-（i 是虚数单位），则2iz 为（） A ．2i -- B ．2i -+C ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】由题意可得：212i z =--，212i 2i i iz --∴==-+．本题选择B 选项． 2．[2017·庄河高级中学]已知集合{}lg 0A x x =≥，{}24x B x =≤，()(){}420C x x x =-+≤，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可得：{}1A x x =≥，{}2B x x =≤，{}24C x x =-≤≤，则{}12A B x x = ≤≤，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”充分不必要条件．本题选择A 选项．3．[2017·庄河高级中学]已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2223x y +-=相切，则双曲线的离心率为（）A ．B ．13C D 【答案】D【解析】由双曲线的方程可得其渐近线为0bx ay ±=，渐近线与圆相切，则圆心()0,2到直线0bx ay +==2a c ∴=c e a ==．本题选择D 选项．4．[2017·庄河高级中学]已知某次数学考试的成绩服从正态分布()2102,4N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附：()0.6826P X μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P X μσμσ-<+=≤，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．1.3%D ．0.13%【答案】D【解析】∵数学考试的成绩服从正态分布()2102,4N ，∴102μ=，4σ=，∴390μσ-=，3114μσ+=，∵变量在()3,3μσμσ-+内取值的概率约为09974．，∴成绩在()90,114内的考生所占百分比约为9974%．，∴成绩在114分以上的考生所占的百分比为()19974%2013%÷-=．．，本题选择D 选项．5．[2017·庄河高级中学]已知平面向量a ，b 夹角为）A ．1B C ．2D 【答案】A【解析】A ．6．[2017·庄河高级中学]执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a =（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：3m =，4n =，0i =；执行第一次循环：11i i =+=，7a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第二次循环：12i i =+=，10a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第三次循环：13i i =+=，13a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第四次循环：14i i =+=，16a mi n =+=，此时满足判断条件，跳出循环，输出16a =．本题选D ．7．[2017·庄河高级中学]已知α为第二象限角，sin 410απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：)sin sin cos cos sin sin cos 444210αααααπππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，则：1sin cos 5αα+=，据此有：22222sincoscos sin 122225sin cos 22αααααα+-=+，222tantan 11225tan 12ααα-+=+，解得：tan 22α=或1tan23α=-，α为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2．本题选C ．8．[2017·庄河高级中学]已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且575S =，若()1mx -的展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（） A ．4 B ．6 C ．5 D ．7【答案】B【解析】由等差数列的求和公式结合性质可得：53575S a ==，315a ∴=，由二项式展开式的通项公式：()()11rrr m r r r m m T C x C x -+=⨯⨯-=-，令2r =可得：215mC =，解得：6m =．本题选择B 选项． 9．[2017·庄河高级中学]一个几何体的三视图如图所示，其中正侧视和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形：俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的表面积为（）A ．243π+B ．420π+C ．616π+ D．8 【答案】C【解析】由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为2所以几何体的表面积为2212252246162⎡⎤⨯⨯+π⨯-⨯+⨯π⨯=π+⎢⎥⎣⎦．本题选择C 选项．10．[2017·庄河高级中学]已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为（）A ．2B ．4C ．10D ．16【答案】B【解析】函数图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：1sin 2ϕ=，结合2ϕπ<可得：6ϕπ=，由：()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立可得：()21262k k ωπππ⨯+=π+∈Z ，解得：()244k k ω=+∈Z ，令0k =可得：min 4ω=．本题选B ．11．[2017·庄河高级中学]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（） A ．3 B．2+C．2+D．3+【答案】C【解析】由题意可得：sin 2sin cos 0B C A +=，()sin 2sin cos 0A C C A ++=，sin cos 3cos sin A C A C =-，tan 3tan A C =-，cos 02bA c-=< ，tan 0C ∴>，据此可得：()2tan tan 2tan 2tan tan 11tan tan 13tan 3tan tan A C CB AC A C CC C+=-+=-==-++，由均值不等式的结论：213tan tan C C=+，当且仅当tan C =时等号成立，此时角B 取得最大值．据此可知：tan B =，tan A =tan C =，即ABC △是顶角为120︒的等腰三角形，结合余弦定理可得ABC △的周长为2C 选项．12．[2017·庄河高级中学]若对x ∀，y ∈R ，有()()()2f x y f x f y +=+-，则函数()()221xg x f x x =++的最大值与最小值的和为（） A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵函数()y f x =，对任意x ，y ∈R ，都有()()()2f x y f x f y +=+-，∴令0x y ==时，()()()0002f f f =+-，∴()02f =，令y x =-时，()()()02f f x f x =+--，∴()()4f x f x +-=，令()()2h x f x =-，则()()0h x h x +-=，即()h x 为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，考查函数()21xk x x =+，该函数为奇函数，它的最大值与最小值互为相反数，函数()()()22g x h x g x =++，据此可得：函数()()221xg x f x x =++的最大值与最小值的和为4．本题选A ．13．[2017·庄河高级中学]设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则14log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．【答案】-【解析】由题意：144log 3log 30=-<，则：()()4log 311444log 3log 3log 32f f f +⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭．14．[2017·庄河高级中学]设变量,x y 满足约束条件2020(0)x y x y y m m +-⎪⎩-->⎧⎨⎪≥≤≤，则目标函数2z x y =-的最大值为____．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()2,0处取得最大值：2202z =-⨯=．15．[2017·庄河高级中学]设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，5MF =，若y 轴上存在点()0,2A ，使得AM AF ⊥，则p 的值为__________．【答案】2和8【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点(0)2，，设()M x y ，，由抛物线性质52pMF x =+=，可得52px =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为552222p p -+=，已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0)2，，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =． 16．[2017·庄河高级中学]已知()333exx f x x x =-+-，()()21g x x a =-++，[]10,2x ∃∈，[]20,2x ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】110,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】原问题等价于()()min min f x g x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤，由函数的解析式可得：()()1133e x f x x x ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭，[]0,2x ∈ ，1330ex x ∴++>，据此可得：()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增，函数()f x 的最小值为()111ef =-，由二次函数的性质可得函数()g x 的最小值为()29g a =-+，据此可得不等式：119ea --+≤，解得：110e a -≥，即实数a 的取值范围是110,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

2018届高三数学理二轮复习高考小题专攻练 4 含解析

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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=错误！未找到引用源。

.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.±错误！未找到引用源。

D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+错误！未找到引用源。

d,所以S n=错误！未找到引用源。

2018届高考数学二轮复习选修4-4 第一节坐标系专题

坐标系专题[基础达标](25分钟55分)一、选择题(每小题5分，共10分)1ρ=4cos2θ2-2，则其直角坐标方程为()A.x2+(y+1)2=1B.(x+1)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1C【解析】由ρ=4cos2θ2-2，得ρ=2(cosθ+1)-2=2cos θ，即x2+y2=2x，得(x-1)2+y2=1.2.在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x2+y2=16变换为椭圆x'2+y'216=1，则此伸缩变换公式是()A.x=14x'y=y'B.x=4x'y=y'C.x=2x'y=y'D.x=4x'y=8y'B【解析】设此伸缩变换为x'=λx(λ>0)，y'=μy(μ>0)，代入x'2+y'216=1，得(λx)2+(μy)216=1，即16λ2x2+μ2y2=16，与x2+y2=16比较得16λ2=1(λ>0)，μ2=1(μ>0)，故λ=14，μ=1，即所求变换为x'=14x，y'=y.二、填空题(每小题5分，共15分)3.在极坐标系中，曲线ρ=2上到直线ρcos θ-π4=1的距离为1的点的个数是.3【解析】极坐标方程ρ=2转化成直角坐标方程为x2+y2=4，直线ρcos θ-π4=1转化成直角坐标方程为x+y-=0，则圆心到直线的距离d=22=1，所以圆上到直线的距离为1的点的个数为3.4O 为极点，设点A 3，π6 ，B 4，2π3，则三角形AOB 的面积为 .6 【解析】极坐标系内，O 为极点，点A 3，π6 ，B 4，2π3，∠AOB=2π3−π6=π2，则三角形AOB 为直角三角形，它的面积为12×3×4=6.5.[2015·广东高考]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin θ-π4= 2，点A 的极坐标为A 2 2，7π4，则点A 到直线l 的距离为 .5 22【解析】由2ρsin θ-π4 = 2可得2ρsin θcos π4-2ρcos θsin π4= 2，整理有y-x=1，即x-y+1=0，而点A 2 2，7π4的直角坐标为(2，-2)，那么点A 到直线l 的距离为d=12+(-1)=5 22.三、解答题(共30分)6.(10分ρ=3cos θ与直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值. 【解析】由ρ=3cos θ得ρ2=3ρcos θ，则圆ρ=3cos θ的直角坐标方程为x 2+y 2=3x ，即 x -32 2+y 2=94，直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为2x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以|2×32+4×0+a | 22=32，解得a=-3±3 5.7.(10分)在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ=12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ=12cos θ-π6 上的动点，求PQ 的最大值. 【解析】对曲线C 1的极坐标方程进行转化： ∵ρ=12sin θ，∴ρ2=12ρsin θ，∴x 2+y 2-12y=0，即x 2+(y-6)2=36. 对曲线C 2的极坐标方程进行转化：∵ρ=12cos θ-π6，∴ρ2=12ρcosθcosπ6+sinθsinπ6.∴x2+y2-63x-6y=0，即(x-33)2+(y-3)2=36.∴PQ max=6+6+(33)2+32=18.8.(10分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，π6，半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|=3∶2，求动点P 的轨迹方程.【解析】(1)由已知得圆心C的直角坐标是C332，32，则圆C的直角坐标方程为 x-3322+ y-322=9，即为x2+y2-33x-3y=0，化为极坐标方程为ρ2=33ρcosθ+3ρsin θ，化简得ρ=6cos θ-π6.(2)设点P的极坐标为(ρ，θ)，因为点P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|=3∶2，所以点Q的坐标为35ρ，θ .由于点Q在圆C上，所以35ρ=6cos θ-π6，即ρ=10cos θ-π6，故点P的轨迹方程为ρ=10cos θ-π6.[高考冲关](20分钟35分)1.(5分)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sin θ，过点4，π6作曲线C的切线，切线长为() A.4 B.7C.22D.23C【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4y，即为x2+(y-2)2=4，点4，π6的直角坐标为(23，2)，该点到圆心的距离为23，所以切线长为(23)2-4=22.2.(10分)已知半圆C：(x-2)2+y2=4(y≥0)，直线l：x-2y-2=0.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出半圆C与直线l的极坐标方程；(2)记A为半圆C直径的右端点，半圆C与直线l交于点M，且M为圆弧AB的中点，求|OB|.【解析】(1)将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入已知，分别得半圆C和直线l的极坐标方程为半圆C：ρ=4cos θ0≤θ≤π2，直线l：ρcosθ-2ρsin θ-2=0.(2)依题意，l经过半圆C的圆心C(2，0).设点B的极角为α，且易知l OB∥l，则tan α=12，进而求得cosα=255，由C的极坐标方程得|OB|=4cos α=855.3.(10分C的方程为ρ2=31+2sinθ，点R2π4.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标.【解析】(1)∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x 23+y2=1，点R的直角坐标为R(2，2).(2)设P(cos α，sin α)，根据题意可得|PQ|=2-cos α，|QR|=2-sin α，∴|PQ|+|QR|=4-2sin(α+60°)，当α=30°时，|PQ|+|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为32，12.4.(10分曲线C：ρ=2a cos θ(a>0)，l：ρcos θ-π3=32，C与l有且仅有一个公共点.(1)求a；(2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=π3，求|OA|+|OB|的最大值.【解析】(1)曲线C是以(a，0)为圆心，a为半径的圆；l的直角坐标方程为x+3y-3=0.由题可知直线l与圆C相切，则|a-3|2=a，解得a=1.(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+π3，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos θ+π3=3cos θ-3sin θ=23cos θ+π6，当θ=-π6时，|OA|+|OB|取得最大值23.。

专题04平面向量(练) 2018年高考数学二轮复习讲练测Word版含解析(江苏版)

2018高三二轮复习之讲练测之练案【苏教版数学】专题三三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017北京，理6 改编】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的_____条件（在充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件选择）【答案】充分而不必要条件【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选填充分而不必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2. 【2017课标3，理12 改编】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD，则λ+μ的最大值为______【答案】3 【解析】所以z的最大值为3.【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b|= .【答案】23【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= 所以|2|1223a b +==.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.4. 【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是 . 【答案】33【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ ＝，其中θ是a 与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a a a · ，·cos a b a bθ= ，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程.5. （2016年高考江苏卷）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅=== ,22414FO BC BF CF -⋅==-, 因此22513,BC 82FO == ，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅===【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BC BA CA -⋅=6. 【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.2.练模拟1.【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试数学试题】直角ABC ∆中， 2AB AC ==， D 为AB 边上的点，且2ADDB =，则CD CA ⋅= ______；若CD xCA yCB =+ ，则xy =________．【答案】 4 29【解析】建立直角坐标系，设()()()40,0,2,0,0,2,,03A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭ ，所以CD CA ⋅=()4,20,243⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，由CD xCA yCB =+ 得 ()()44212,20,22,22,222,,33339x y y x y y x xy ⎛⎫-=-+-∴=-=--∴=== ⎪⎝⎭2. 【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三校内第一次诊断考试数学】已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1i =， n θ是向量n OA与i 的夹角，则201612122016cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为_________．【答案】20162017【解析】1,1n OA n n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以()2222111cos 1111n n n n n n θ+==++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，因[]0,n θπ∈，故()()()2222211sin 11111n n n n n n n θ⎛⎫+ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭，所以()cos 111sin 11n n n n n n θθ==-++，故所求之和为11111120161223201620172017-+-++-= ，填20162017．3. 【辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测（一）数学理】已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点， P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+（）的最小值是__________．【答案】-1【解析】以A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()0,0,2,0,0,2A B C ，则(),P x y ，()()(),,2,,,2PA x y PB x y PC x y ==-=-，利用向量的坐标运算法则有：()()()2211,22,2222122PA PB PC x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，当12x y ==，即点P 坐标为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭时， PA PB PC ⋅+ （）取得最小值是1-.4. 【湖南师范大学附属中学2018届高三上学期月考（五）理】已知向量,a b 夹角为3π， 2b =，对任意x R ∈，有b xa a b +≥-，则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】725. 【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考数学（理）】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（1）若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角；（2）若2AB OB ≥对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）向量OA 与OB 的夹角为3π；（2）3λ≥．.3.练原创1.已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得AO xAB yAC =+，且21x y +=，则cos BAC ∠= . 【答案】23【解析】试题分析：设AC 中点为M ，222ACAO xAB y xAB y AM =+=+,所以B,O,M 三点共线，所以23AM AB =，也就是2cos 3BAC ∠=．。

高考数学二轮复习选择填空狂练二十四模拟训练四理

模拟训练四一、选择题1． [2018·衡水中学 ]设会合 A x y log 22x ， B x x23x 2 0 ，则e A B（）A ．,1 B ．,1C． 2,D． 2,2． [2018·衡水中学 ]在复平面内，复数23iz对应的点的坐标为2, 2 ，则 z 在复平面内对应的点32i位于（）A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3． [2018·衡水中学 ]已知△ ABC 中， sin A2sin Bcos C0 ，则 tan A 的最大值是（）A ．323C．343 3B ．3D ．34． [2018·衡水中学 ]设 A x, y 0x m,0y 1， s为 e 1 n的睁开式的第一项（ e 为自然对数的底数），m n s ，若任取a, b A ，则知足 ab1的概率是（）A ．2B ．2C．e 2D ．e 1 e e e e5． [2018 ·衡水中学 ]函数 y x4lg x的图象大概是（）xA．B．C．D．6． [2018 ·衡水中学]已知一个简单几何的三视图以下图，若该几何体的体积为24π48 ，则该几何体的表面积为（）A ． 24π 48B．24π90641C． 48π 48D．24π6664117． [2018 ·衡水中学 ]已知 a 1717， b log16 17 ， c log1716，则 a ， b ， c 的大小关系为（）A ． a b cB ． a c b C． b a c D ． c b a8． [2018 ·衡水中学 ]履行以下程序框图，则输出结果为（）A ． 20200B ． 5268.5C． 5050 D ． 5151x2y21 a b 0的右极点为 A ，右焦点为 F ， B 为椭圆在第二象限9． [2018 ·衡水中学 ]如图，设椭圆 E : 22a b上的点，直线BO 交椭圆E于点 C ，若直线BF均分线段 AC 于M，则椭圆E的离心率是（）A ．1B ．2C．1D ．1 233410． [2018衡·水中学 ]设函数 f x 为定义域为R 的奇函数，且 f x f 2x ，当 x0,1 时， f x sin x ，则函数 g x cos πx f x在区间5,9上的全部零点的和为（）22A ． 6B ． 7C． 13D．1411． [2018衡·水中学 ]已知函数 f x2sin x ，此中 f ' x为函数 f x 的导数，求2019 x1f 2018f2018 f ' 2019 f '2019（）A．2B．2019C．2018D．012．[2018 衡·水中学 ]已知直 l : y ax 1a a R，若存在数 a 使得一条曲与直l 有两个不一样的交点，且以两个交点端点的段度恰巧等于a，称此曲直l 的“ 曲” ，下边出的四条曲方程：① y223y2 4 ；④ y2 4 x ．2 x 1 ；② x 1y 1 1 ；③ x2此中直 l 的“ 曲”的条数（）A ． 1B ． 2C． 3 D ． 4二、填空题x 2 y 2 0x 3y413．[2018 衡·水中学 ]已知数 x ，y足 2 x y 4 0，且m，数 m 的取范 _______．y x1x114．[2018 衡·水中学 ]双曲x2y21的左右焦点分F1、 F2， P 是双曲右支上一点， I △PF1 F2的内a2 b 2心， PI 交x于Q点，若F1Q PF2，且 PI : IQ2:1，双曲的离心率 e 的 __________ ．15．[2018 衡·水中学 ]若平面向量e1，e2足e13e1e2 2 ，e1在e2方向上投影的最大是 ________．16．[2018 衡·水中学 ]察以下各式：13 1 ；2335；337911 ；4313151719 ；⋯若 m3 m N *按上述律睁开后，等式右含有“2017” 个数，m 的 __________．答案与分析一、选择题1．【答案】 B【分析】 Ax y log 22 xx x 2 ， Bx x 2 3x2 0x 1 x2 ，则 e A Bx x 1 ，应选 B ．2．【答案】 D【分析】设 z xyi x, yR ，23i z 2i 2 3i xyiixyixy1 i2 2i ，32i3 2i∴ x 2 ， y 1 ，∴ z 在复平面内对应的点位于第四象限，应选D ．3．【答案】 A【分析】 ∵ sin A 2sin B cos C 0 ， sin B C2sin B cos C 0 ，∴ 3sin B cos C cosB sin C 0 ， cosC0 ， cos B 0 ，化为 3tan B tanC ．可得 B 为锐角， C 为钝角．∴ tan Atan BCtan B tan C 1 2tan B12 2 33 ，1 tan B tanC3tan 2B3tan B23tan B当且仅当 tan B3 时取等号．∴ tan A 的最大值是 3，应选 A ．334．【答案】 C【分析】由题意， s C 0n e ne n ，∴ mn se ，则 A x, y 0 x m,0y 1 x, y 0 x e,0y 1 ，画出 Ax, y 0xe,0y1 表示的平面地区，任取 a, bA ，则知足ab 的平面地区为图中暗影部分，以下图：1计算暗影部分的面积为e1 dx x ln x 1ee 1 ln e ln1 e 2 ，S 暗影11x所求的概率为 P S暗影e 2，应选 C．S矩形e 5．【答案】 D【分析】函数 y x4 lg x是偶函数，清除 B ．x当 x10 时， y1000 ，对应点在 x 轴上方，清除A，当 x0 时， y x3 lg x ， y 3 x2 lg x x2 lg e 可知 x 1是函数的一个极值点，清除C．e应选 D．6．【答案】 D【分析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其几何体的体积为V11π 3r213r3r4r24 π 48 ，r2，342因此 S 112816611π 610 1 π621 6 210018 2222426624π 641 ，应选D．7．【答案】 A1111 1 ，【分析】由题易知： a17171， b log1617log 1617,1， c log17 16log17160,2222∴a b c ，应选 A ．8．【答案】 C【分析】由题意得：S Sk2 ，1 k则输出的 S 1 223242529829921002S3711199502025050 ，应选 C．29．【答案】 C【分析】如图，设AC 中点为M，连结 OM ，则 OM 为 △ABC 的中位线，于是△ OFM ∽△ AFB ，且OF OM1 FAAB，2即c 1可得 ec1．故答案为1，应选 C ．ac2a3310．【答案】 A【分析】由题意，函数 f x f x ， f x f 2 x ，则 fx f 2 x ，可得 f x 4 f x ，即函数的周期为4，且 yf x 的图象对于直线 x 1 对称．g xcos πxf x 在区间5 , 9 上的零点，即方程 cos πx f x 的零点，分别画ycos πx 与2 2y f x 的函数图象，两个函数的图象都对于直线 x 1 对称，方程 cos πxf x 的零点对于直线x 1 对称，由图象可知交点个数为 6 个，可得全部零点的和为6，应选 A ．11．【答案】 A【分析】由题意易得 f x f x2 ，∴函数 fx 的图象对于点0,1 中心对称，∴ f 2018 f 2018 2 ，由 f xfx2 可得 f x 1fx1 0 ，∴ yf x1 为奇函数，∴ y f x1 的导函数为偶函数，即 yf ' x 为偶函数，其图象对于y 轴对称，∴f ' 2019f '20190 ，∴ f 2018f 2018 f ' 2019f ' 2019 2 ，应选 A ．12．【答案】 C【分析】由 y ax 1 a a x 1 1，可知直线 l 过点 A 1,1 ．对于①， y2 x 1 ，图象是极点为 1,0 的倒 V 型，而直线 l 过极点 A 1,1．因此直线 l 不会与曲线 y 2 x 1有两个交点，不是直线 l 的“绝对曲线 ”；对于②， x 2y 12A 为圆心，半径为 1 的圆，11是以因此直线 l 与圆总有两个交点，且距离为直径 2，因此存在 a2 ，使得圆22x 1 y 11 与直线 l 有两个不一样的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰巧等于 a ．因此圆x2y2是直线 l 的“绝对曲111线”；对于③，将 y ax1 a 代入 x23y2 4 ，得 3a2 1 x26a 1 a x 3 1a 20 ．46a 1a， x1 x2 3 1a24x1 x2．3a213a21若直线 l 被椭圆截得的线段长度是 a ，22a22则a2a216a 1a431a4，化简得6a2．3a 213a21a213a 21a 2 6 a22令 f a， f 10 ， f 30 ．a213a21a 2 6 a22因此函数 f a在 1,3 上存在零点，即方程有根．a 213a21而直线过椭圆上的定点1,1 ，当 a1,3 时知足直线与椭圆订交．故曲线 x23y2 4 是直线的“绝对曲线”；对于④，把直线y ax1 a 代入 y2 4 x ，得 a2 x22a2a2 4 x20 ，1 a2a 22a 4a12∴ x1 x2， x1 x2．a 2a2若直线 l 被椭圆截得的弦长是a，则 a2 1 a 22 1 a 22a 22a 42a12x1x2 4 x1 x24a 2a2化为 a616a216a160 ，令 f a a616a216a 16 ，而 f1150， f2160 ．∴函数 f a 在区间 1,2内有零点，即方程f a0有实数根，当 a1,2时，直线知足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能知足题意的曲线有②③④．应选C．二、填空题13．【答案】2,7【分析】如图，作出可行域：mx 3y 4 1 3 y1 ， y1表示可行域上的动点与定点 1, 1 连线的斜率，x 1 x 1 x 1明显最大值为 k A2 ，最小值为 k B1，∴ m1 3 y 12,7 ，3x 1 故答案为 2,7 ．14．【答案】32【分析】可设 PF 1 m ， PF 2n ， F 1F 2 2c ，由 I 为 △PF 1 F 2 的心里，可得m PI 2 ，则 QF 11QF 1IQm ，2若 F 1QPF 21 m ，2QF 1 m 1 m又PQ 为F 1PF 2 的角均分线，可得2 ，则 n 4c m ，QF 2n2c 1m2又 m n2a ， n1 2 a ，m ，解得 m 4a ， n22a 2 ，即 c3a ，则 ec 3 ． 2c 2a2a2故答案为 3．215．【答案】4 23【分析】由 e 13e 1 e 2 2 ，可得e 1 2，∴ 4 36 6 e 1 e 2 cos e 22 ，9e 12 6e 1 e 2e 22432 2e 1 在 e 2 方向上投影为 e 1 cose 21 e 2321 2 32 4 2 ，6 e 26e 263故最大值为4 2 ．316．【答案】 45【分析】由题意可得第 n 个式子的左侧是 n 3 ，右侧是 n 个连续奇数的和，设第n 个式子的第一个数为a n，则有 a2a1312，a3a27 3 4 ，，a n a n 1 2 n 1 ，以上 n 1 个式子相加可得n 1 22n1a n a12，故 a n n2n 1 ，可得a451981， a462071，故可知 2017 在第 45 个式子，故答案为45．。

2018届二轮(理) 高考小题集训(二) 专题卷(全国通用)4

当直线过点A(2,1)时，z有最小值
，且对任意正整数m，k，总有
3)
的图象，如图所示：
在定义域内的零点个数为2.
函数f(x)＝ln(|x|－1)＋x
本题考查函数的图象．函数f(x)＝ln(|x|－1)＋x，当
在(1，＋∞)上单调递增，观察各选项只有
执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于
)
327
上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足<0时，一定有()
)<0
＝2x，显然满足f(x＋y)
，根据指数函数的性质，当x<0
某市物价部门对该市5家商场某商品一天的销售量及价家商场的售价x(单位：元)和销售量
99.51010.5
解析：由题意可知，x －＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，y －＝
11＋10＋8＋6＋5
5
＝8，故样本点的中心为(10,8)，将其代入线性回归方程y ^＝－3.2x ＋a ^，解得a ^
＝40.
答案：40
16．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是2，且顶点A 1在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的中心，则三棱锥A 1－ABC 的体积为________．
解析：连接AO ，因为△ABC 是正三角形，O 为正三角形ABC 的中心，A 1O ⊥
平面ABC ，且三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是2，所以AO ＝6
3
，A 1O ＝
AA 2
1－AO 2＝233，所以V 三棱锥A 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×34×(2)2×
233
＝13
. 答案：1
3。

高考数学二轮复习“12+4”小题提速练四

“12＋4”小题提速练(四)一、选择题1．(湖州模拟)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25,则z ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D 由已知可得z ＝253－4i ＝253＋4i3－4i 3＋4i＝3＋4i,故选D. 2．(贵阳模拟)设集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0},B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0,则A ∪B ＝( ) A ．(－2,1) B ．(－2,3) C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B A ＝{x |－2<x <1},B ＝{x |－1<x <3},A ∪B ＝{x |－2<x <3},故选B. 3．(张掖模拟)已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2＝( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．－10解析：选B ∵a 1,a 3,a 4成等比数列,∴a 23＝a 1a 4,∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6),∴a 1＝－8,∴a 2＝－8＋2＝－6. 4．(唐山模拟)执行如图所示的程序框图,当输入的n 为7时,输出的S 的值是( )A ．14B ．210C ．42D ．840解析：选B n ＝7,S ＝1,7<5？,否,S ＝7×1＝7,n ＝6,6<5？,否,S ＝6×7＝42,n ＝5,5<5？,否,S ＝5×42＝210,n ＝4,4<5？,是,退出循环,输出的S 的值为210,选B.5．(河北五个一名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落在阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数约为( )A ．3 333B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 题图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝23,正方形的面积为1,设落在阴影部分的点的个数为n ,由几何概型的概率计算公式可知,231＝n10 000,n ≈6 667,故选B.6．已知函数f (x )＝2x －1,则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞,1)上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．函数f (x )的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x 轴解析：选A 由题知,函数f (x )＝2x －1的图象是由函数y ＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的,可得函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称,选项A 正确；函数f (x )在(－∞,1)上是减函数,选项B 错误；易知函数f (x )＝2x －1的图象不关于直线x ＝1对称,选项C 错误；由函数f (x )的单调性及函数f (x )的图象,可知函数f (x )的图象上不存在两点A,B,使得直线AB∥x 轴,选项D 错误．故选A.7．已知双曲线C ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5,左、右焦点分别为F 1,F 2,则双曲线C 上满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 构成的图形的面积为( )A.285 B ．565C.745D.965解析：选D 由题意得m >0,m ＋m 2＋4m＝5,解得m ＝2,所以双曲线C ：x 22－y 28＝1,设M(x 0,y 0),则x 202－y 208＝1,因为MF 1―→·MF 2―→＝0,所以x 20＋y 20＝10,故y 0＝±4105,x 0＝±3105,所以满足条件的点M 共有四个,构成一个矩形,长为8105,宽为6105,故面积为965.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形,则双曲线C 的离心率为( )A.52B ．62C. 3D. 5解析：选B 设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1,F 2,虚轴的一个端点为A,则∠F 1A F 2＝120°,得cb＝t an 60°,即c ＝3b ,a ＝2b ,所以双曲线C 的离心率e ＝62. 9．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”．“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C 由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图,可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱,正方体的体积为23＝8,半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π,因此该不规则几何体的体积为8－π,故选C.10．(西安三模)已知O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→),λ∈[0,＋∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选C 设BC 的中点为D ,则由OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→),可得AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)＝2λAD ―→,所以点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上,所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.11．已知三棱锥SABC 的每个顶点都在球O 的表面上,SA ⊥底面ABC ,AB ＝AC ＝4,BC ＝215,且二面角SBCA 的正切值为4,则球O 的表面积为( )A ．240πB ．248πC ．252πD ．272π解析：选D 取BC 的中点D ,连接SD,AD ,易知AD ⊥BC ,SD ⊥BC ,所以∠SDA 是二面角SBCA 的平面角,于是有t an ∠SDA＝4,即SA ＝4AD ＝442－152＝4.在△ABC 中,sin∠ABC ＝AD AB ＝14,由正弦定理得△ABC 的外接圆半径r ＝AC 2si n ∠ABC＝8. 可将三棱锥SABC 补形成一个直三棱柱ABCSB′C′,其中该直三棱柱的底面为△ABC ,高为SA ＝4,因此三棱锥SABC 的外接球的半径R ＝22＋82＝68,因此三棱锥SABC 的外接球的表面积为4πR 2＝272π,选D.12．(武昌模拟)已知函数f (x )＝l n xx－kx 在区间[e 41,e]上有两个不同的零点,则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e ，12e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14e ，12e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，14eD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1e 解析：选A 令f (x )＝l n x x－kx ＝0,则k ＝l n x x2,令g(x )＝l n x x2,则g′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l n x x 2′＝1－2l n x x3,令g′(x )＝0,解得x ＝e 21∈[e 41,e]．因为当x ∈(e 41,e 21)时,g′(x )>0,所以g(x )在(e 41,e 21)上单调递增；当x ∈(e 21,e)时,g′(x )<0,所以g(x )在(e 21,e)上单调递减．所以当x ＝e 21时,g(x )取得最大值g(e 21)＝l n e 21e 212＝12e .由题意函数f (x )＝l n x x －kx 在区间[e 41,e]上有两个不同的零点,知直线y ＝k 与g(x )＝l n x x2的图象在区间[e 41,e]上有两个不同的交点,又g(e 41)＝l n e 41e 412＝14e,g(e)＝l n e e 2＝1e 2,因为1e 2<14e,所以14e≤k <12e ,故选A.二、填空题13．若f (x )＝x 2－2x －4l n x ,则f ′(x )>0的解集为________．解析：f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－x －2x (x >0),由f ′(x )>0得2x 2－x －2x>0,解得－1<x <0或x >2,又x >0,∴f ′(x )>0的解集为{x |x >2}．答案：(2,＋∞)14．已知圆O ：x 2＋y 2＝4,若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P,Q 两点,且满足直线OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,则直线l 的斜率为________．解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0),代入圆的方程,化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2k b 1＋k 2,x 1x 2＝b 2－41＋k 2,k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 2＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k b b 2－4＋b 21＋k 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4,由k OP ·k OQ ＝k 2,得b 2－4k 2b 2－4＝k 2,解得k ＝±1. 答案：±115．(高三·南宁、柳州联考)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{a n }满足a 1＝x ,a 5＝y ,其前n 项和为S n ,则S 5－S 2的最大值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．因为a 1＝x ,a 5＝y ,所以公差d ＝y －x4,S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝3(a 5－d )＝34x ＋94y .设z ＝34x ＋94y ,作出直线34x ＋94y ＝0,平移该直线,当该直线经过点B (2,3)时,z 取得最大值334,即S 5－S 2的最大值为334. 答案：33416．(高三·湘东五校联考)已知f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12,其中ω>0,f (x )的最小正周期为4π.(1)则函数f (x )的单调递增区间是________________；(2)锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,若(2a －c)cos B ＝b cos C,则f (A)的取值范围是____________．解析：f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵f (x )的最小正周期为4π,∴2ω＝2π4π＝12,可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.(1)令2k π－π2≤12x ＋π6≤2k π＋π2,k ∈Z ,可得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3,k ∈Z ,∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3,k ∈Z .(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ,∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C , ∴2sin A cos B ＝sin A , 又sin A ≠0,∴cos B ＝12,B ＝π3,∵三角形ABC 为锐角三角形, ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2,∴π4<12A ＋π6<5π12,22<f (A )<6＋24. 答案：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3,k ∈Z(2)⎝⎛⎭⎪⎫22，6＋24。

(江苏专用)高考数学二轮复习第一篇第4练数学文化试题理-人教版高三全册数学试题

第4练数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.《X邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为________.答案16 29解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.答案 2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为________.答案 5或32解析当n ＝5时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝________.答案 4解析当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件，当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4.5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 答案 6解析由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6.6.(2018·某某)我国古代数学著作《X 邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________，y ＝________.答案 8 11解析方法一由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步. 答案 6解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.答案 34解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为________.答案 92解析类比祖暅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图1的面积为92.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________. 答案258解析由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258. 11.我国古代数学名著《X 邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为________尺. 答案 21.2解析设谷堆的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，r ≈9. 粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h ，h ≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R 尺. 则R 2＝(h －R )2＋r 2，解得R ≈10.6(尺).∴2R ≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确的式子的序号是________. 答案 ②④解析 ①由题图知2a 1>2a 2,2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确. ②∵a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确.④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22. 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2，即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1， ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1，即c 1a 2>a 1c 2，∴④正确. ③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2， ∴③不正确.正确式子的序号是②④. 考点三概率统计与推理证明中的数学文化方法技巧 (1)概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1560石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为________石. 答案 195解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为32256×1 560＝195(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________. 答案 49解析三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n (如：在3阶幻方中，N 3＝15)，则N 10＝________.答案 505解析 n 阶幻方共有n 2个数，其和为1＋2＋…＋n 2＝n 2()n 2＋12，∵n 阶幻方共有n 行，∴每行的和为n 2(n 2＋1)2n＝n (n 2＋1)2，即N n ＝n (n 2＋1)2，∴N 10＝10×(102＋1)2＝505.16.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为________.答案2129解析如图所示，设水深为x 尺，由题意得(x ＋2)2＝x 2＋52，求解关于实数x 的方程，可得x ＝214，即水深为214尺，又葭长为294尺，则所求问题的概率为P ＝2129.17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________. 答案甲解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲 √ × × × 乙 √ × √ √ 丙 × × √ √ 丁×√×√由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《X 邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”________. 答案778解析设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金. 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前5天共分发了________升大米. 答案 3300解析设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300.3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢. 答案 4解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n－12－1＝2n－1；同理，小老鼠前n 天打洞的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸).5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为________.答案 78解析模拟程序的运行，可得当i ＝1时，S ＝2S －1，i ＝1满足条件i <3，执行循环体；当i ＝2时，S ＝2(2S －1)－1，i ＝2满足条件i <3，执行循环体；当i ＝3时，S ＝2[2(2S －1)－1]－1，i ＝3不满足条件i <3，退出循环体，输出S ＝0，∴2[2(2S －1)－1]－1＝0，∴S ＝78. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是________.答案 25解析不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为32＋12＝10，小正方形边长为2，故概率为2×210×10＝25. 7.欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为________.答案 14π解析由题意可得直径为4 cm 的圆的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π(cm 2)，而边长为1 cm 的正方形的面积为1×1＝1(cm 2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P ＝14π. 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为________平方尺.答案 138π解析设四棱锥的外接球半径为r ，则(2r )2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.答案 510解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.10.《书章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，甲所得为________钱.答案 43解析设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1.则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝4a 3＝43. 11.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米约_____斛.(古制1丈＝10尺，1斛≈1.62立方尺，圆周率π≈3)答案 2700解析由题意，得2πr ＝54，r ≈9，圆柱形容器体积为πr 2h ≈3×92×18，所以此容器约能装3×92×181.62＝2700(斛)米. 12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：(1)b 2018是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________.(用k 表示)答案 (1)5045 (2)5k (5k －1)2解析由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知，b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 018＝b 2×1 009＝a 5×1 009＝a 5 045，即b 2 018是数列{a n }中的第5 045项.。

江苏高考2018年数学二轮复习限时集训全册配套练习及预测试题有答案(共22份)

专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第77页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B ＝________.{x|－1＜x＜2} [集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故答案为：{x|－1＜x＜2}．]2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．必要不充分[充分性不成立，如y＝x2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．]3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}，则A∩(∁R B) ＝________.{1,2,3,4} [集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}＝{x|x(x－4)＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，∴∁R B＝{x|0≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{1,2,3,4}．故答案为：{1,2,3,4}．]4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n＋a n＋1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的________条件．充分不必要[若数列{a n}为等差数列，设其公差为d1，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n ＝2d1，所以数列{b n}是等差数列；若数列{b n}为等差数列，设其公差为d2，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝d2，不能推出数列{a n}为等差数列，所以“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的充分不必要条件．]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合A＝{x∈Z|－2＜x＜2}，B＝{x|y＝log2x2}，则A∩B ＝________.【导学号：56394004】{－1,1} [因为A＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝log2x2}＝{x|x≠0}，所以A∩B＝{－1,1}．]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的________条件 .充要[由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)(q 2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的充要条件．]7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |ax ＝1，a ∈R }，则使得B ⊆A 的a 的所有取值构成的集合是________．{－1,0,1} [因为B ⊆A ，所以B ＝∅，{－1}，{1}，因此a ＝－1,0,1.]8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n＋b (a ≠0，q ≠0,1)，则“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的________条件．充要 [当a ＋b ＝0时，a 1＝S 1＝aq ＋b ＝a (q －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，当n ＝1时，也成立，于是a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列；当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∵q ≠0，q ≠1，∴a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝q ，aq 2－aq aq ＋b＝q ，即aq －a ＝aq ＋b ，∴a ＋b ＝0，综上所述，“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的充要条件．]9．(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是________． ∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0 [命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0”．]10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：p 1：任意x ∈R,2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x＞x 2＋x ＋1.其中的真命题是________．p 1，p 4 [对于x ∈R,2x ＞0，p 1为真命题；x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，p 2为假命题；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝1＞2－3π2，p 3为假命题；x ＝－12时，cos x ＞cos π6＝32＞34＝x 2＋x ＋1，p 4为真命题．] 11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[1,2] [“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题等价于∀x ∈R,2x －2＞a 2－3a ，即－2≥a 2－3a ，解之得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．]12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合S ＝{0,1,2,3，…，n }，则集合S 中任意两个元素的差的绝对值的和为________．16n 3＋12n 2＋13n [设集合中第k 个元素，则其值为k －1. |(k －1)－k |＋|(k －1)－(k ＋1)|＋…＋|(k －1)－n | ＝1＋2＋…＋(n ＋1－k ) ＝n ＋1－kn ＋1－k ＋2，T n ＝12n 2·n ＋32n ·n ＋n －(1＋2＋…＋n )n －32(1＋2＋…＋n )＋12·(12＋22＋…＋n 2)＝n n ＋n ＋6＝16n 3＋12n 2＋13n .故答案是：16n 3＋12n 2＋13n .] 13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数a ＞1，b ＞1，则“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的________条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中之一填空)充要 [令f (x )＝ln x －x (x ＞1)，则f ′(x )＝1x－1＜0，因此a ＜b ⇔f (a )＞f (b )⇔ln a －a ＞ln b －b⇔ln a －ln b ＞a －b ，即“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的充要条件．] 14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0 ”．其中正确结论的个数是________．4 [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上单调递增，则当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，即x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0” 的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”正确；对于③，命题p ∧q 为真，则命题p ，q 均为真，命题p ∨q 为真，反过来，当命题p ∨q 为真时，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出命题p ∧q 为真，所以“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0 ”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，所以④正确．] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)＜－1成立，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围.【导学号：56394005】[解] 若p 为真：对∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立，设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， ∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，2分∴p 为真时：12≤m ≤32；若q 为真：∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1＞2成立，∴m ＜x 2－1x 成立.4分设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m ＜32，∴q 为真时，m ＜32，∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假，9分当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32，当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12或m ＞32，m ＜32 ，∴m ＜12，12分综上所述，m 的取值范围是m ＜12或m ＝32.14分16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2＜0}(m ＞0)． (1)若m ＝2，求A ∩B ；(2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．[解] 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m ＞0，所以B ＝(－3m ，m )，4分 (1)m ＝2时，B ＝{x |－6＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}.8分 (2)B ＝(－3m ，m )，要使B ⊆A ，10分只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2m ≤5⇒m ≤23，12分所以0＜m ≤23.综上，知m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.14分 17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |log 2x ＜log 23}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0，C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}． (1)求集合A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围． [解] (1)由log 2x ＜log 23，得0＜x ＜3. 2分由不等式x ＋2x －4＜0得(x －4)(x ＋2)＜0，所以－2＜x ＜4.5分所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}. 7分 (2)因为B ∪C ＝B ，所以C ⊆B ， 9分所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤4，a ≥－2.11分解得－2≤a ≤3.所以，实数a 的取值范围是[－2,3].14分18．(本小题满分16分)设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求k 的取值范围． [解] ∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k ＞0，2分由∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0得方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，4分 ∴Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52.6分 ∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，10分①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，12＜k ＜52，∴12＜k ＜52； 12分②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0， 14分综上可得k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 16分19．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立，若“p 且﹁q ”为真命题，求实数a 的取值范围． [解] 因为命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增，所以a ＞1.4分∴又因为命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立；所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝a －2＋a －＜0，综上所述：－2＜a ≤2，10分因为p 且﹁q 为真命题，∴p 真q 假，12分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ＞2，∴a ∈(2，＋∞).14分 ∴实数a 的取值范围为(2，＋∞).16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数；命题q ：若函数g (x )＝e x －x ＋a 在区间[0，＋∞)上没有零点．(1)如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【导学号：56394006】[解] (1)如果命题p 为真命题，∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立， 4分 ∴Δ＝4a 2－12≤0⇒a ∈[－3，3].7分(2)g ′(x )＝e x－1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴g (x )在区间[0，＋∞)上递增，9分若命题q 为真命题，g (0)＝a ＋1＞0⇒a ＞－1，11分由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －3≤a ≤3a ≤－1⇒a ∈[－3，－1]， 13分若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ＜－3或a ＞3a ＞－1⇒a ∈(3，＋∞)， 14分综上所述，a ∈[－3，－1]∪(3，＋∞). 16分专题限时集训(二) 函数 (对应学生用书第80页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14.] 2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f (x )＝8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝________.－2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－813＝－2.]3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )＝－x2的定义域是________．[－2,2] [由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．故答案为：[－2,2]．]4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．a ＜b ＜c [画图可得0＜a ＜b ＜1＜c .]5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (37.5)等于________．0.5 [∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，0≤x ≤1时，f (x )＝x ， ∴f (37.5)＝f (1.5)＝－f ()－0.5＝f ()0.5＝0.5.]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )＝1x －log 21＋ax1－x 为奇函数，则实数a ＝________.±1 [因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝1－x －log 21－ax 1＋x ＝－1x ＋log 21＋ax 1－x ，即1＋x 1－ax ＝1＋ax1－x ，所以a ＝±1.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (2 015)＝________. 1 [因为f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )⇒T ＝4，因此f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)；而f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (－1＋2)·f (－1)＝1⇒f 2(1)＝1，f (x )＞0⇒f (1)＝1，所以f (2 015)＝1.]8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，则f (log 23)＝________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，所以可设f (x )＋22x ＋1＝t (t 为常数)，即f (x )＝t －22x ＋1，又因为f (t )＝13，所以t －22t ＋1＝13，令g (x )＝x －22x ＋1，显然g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝13，所以t ＝1，f (x )＝1－22x ＋1，f (log 23)＝1－22log 23＋1＝12.]9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中最小值，设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为________． 3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由g (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，得x ＝－1或x ＝3，由f (x )＝|ln x |－1＝0，得x ＝e 或x ＝1e .∵g (e)＞0，∴当x ＞0时，函数h (x )的零点个数为3个．]10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522 [由f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f(－x )＋g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，即－f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，所以f (x )＝12(2－x －2x )，g (x )＝12(2－x ＋2x )．存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g x 0f x 0，设h (x )＝－g x fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则h (x )＝－12－2x＋22x12－x －2x＝22x ＋2－2x2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22－2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，设t ＝2x －2－x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，而h (x )＝t ＋2t ，易知y ＝t ＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，32上递增，因此y min ＝2＋22＝22，y max ＝22＋222＝522，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522，即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.] 11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，等价为函数f (x)与y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，则－14＜m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0，故答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________．(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，就是h (x )＝|f (x )|－3x 与y ＝－b 有3个交点，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤4，x 2－7x ，x ＞4，－3x－3x ，x ＜0，画出两个函数的图象如图：当x ＜0时，－3x－3x ≥6，当且仅当x ＝－1时取等号，此时－b ＞6，可得b ＜－6；当0≤x ≤4时，x －x 2≤14，当x ＝12时取得最大值，满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 .综上，b ∈(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. 故答案为：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中m ＞0，若函数y ＝f(f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．(0,1) [①当x ＜0时，f (f (x ))＝(－x ＋m )2－1，图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分，顶点为(0，m 2－1)；②当0≤x ＜1时，f (f (x ))＝－x 2＋1＋m ，图象为开口向下的抛物线在0≤x ＜1之间的部分，顶点为(0，m ＋1)．根据题意m ＞0，所以m ＋1＞1；③当x ≥1时，f (f (x ))＝(x 2－1)2－1，图象为开口向上的抛物线在x ＝1右侧的部分，顶点为(1，－1)．根据题意，函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，即f (f (x ))的图象与y ＝1有3个不同的交点．根据以上三种分析的情况：第③种情况x ＝1时，f (f (x ))＝－1，右侧为增函数，所以与y ＝1有一个交点；第②种情况，当x →1时，f (f (x ))→m ，所以与y ＝1有交点，需m ＜1；第①种情况，当x →0时，f (f (x ))→m 2－1，只要m 2－1＜1即可，又m ＞0，∴0<m ＜2，综上m 的取值范围为(0,1)．]14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．4 [当x ≥1时，ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1时函数是连续函数，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．(结合函数y ＝ln x x 2与y ＝18可知函数的图象有2个交点．)当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜0，1－12x，x ∈[0，，函数的图象与y ＝18的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R )．(1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.【导学号：56394012】[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R ，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，∴λ＝－1. 3分此时f (x )＝3x－3－x＞1，即3x －3－x－1＞0，解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞log 31＋52. 7分(2)由f (x )≤6得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3≤6，令t ＝3x∈[1,9]，原问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，10分令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，∵g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减． ∴当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27， ∴λ≤－27.14分16．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4x －3＞0，解得1＜x ＜3，所以A ＝(1,3)， 2分又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，5分当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1,2).7分 (2)首先要求m ＞0，9分而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1. 所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6 400万元，铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3＋20x 万元．设余下工程的总费用为f (x )万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)． (1)试将f (x )表示成x 的函数；(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．[解] (1)设需要修建k 个停靠站，则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k ＋1段， ∴(k ＋1)x ＝28⇒k ＝28x－1，3分∴f (x )＝6 400k ＋(k ＋1)(400x 3＋20x )＝6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x－1＋28x(400x 3＋20x )，化简得f (x )＝28×400x 2＋28×6 400x－5 840，7分(2)f (x )＝28×400x 2＋28×3 200x ＋28×3 200x－5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x－5 840＝128 560(万元)，当且仅当28×400x 2＝28×3 200x ，即x ＝2，k ＝28x－1＝13时取“＝”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0,2)．(1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个的解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，f (x )＝kx ＋3，即|x 2－1|＋x 2＝3.当0＜x ≤1时，|x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1＜x ＜2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解为 2. (2)当0＜x ≤1时，kx ＝－1，① 当1＜x ＜2时，2x 2＋kx －1＝0，② 若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1,2)，故k ＝0不合题意．若k ≠0，则①的解为x ＝－1k. (ⅰ)当－1k∈(0,1]时，k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8＞0，故方程②中一根在(1,2)内，一根不在(1,2)内．设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＞0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1，k ＞－72，又k ≤－1，故－72＜k＜－1.12分(ⅱ)当－1k ∉(0,1]时，即－1＜k ＜0或k ＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而x 1x 2＝－12＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－72＜k ＜－1.16分19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b. (1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的值； (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数．①存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围；②若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意x ∈R ，不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意，－3x＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍)或3x＝13，2分所以x ＝－1.4分(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得： (3a －b )(32x＋1)＋(2ab －6)·3x＝0，要使上式对任意的x 成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3(舍去)，所以a ＝1，b ＝3, 所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3.6分①f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2有： f (x 1)－f (x 2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－3x 1x 1＋x 2＋，因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )，所以t 2－2t ＞2t 2－k ，即t 2＋2t －k ＜0在t ∈R 上有解，所以Δ＝4＋4k ＞0，解得k ＞－1，所以k 的取值范围为(－1，＋∞). 10分②因为f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，所以g (x )＝3－x－3x3f x －2，即g (x )＝3x ＋3－x. 12分所以g (2x )＝32x＋3－2x＝(3x＋3－x )2－2.不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，即(3x＋3－x )2－2≥m ·(3x ＋3－x)－11，即m ≤3x ＋3－x＋93x ＋3－x 恒成立.14分令t ＝3x ＋3－x，t ≥2，则m ≤t ＋9t在t ≥2时恒成立，令h (t )＝t ＋9t ，h ′(t )＝1－9t2，t ∈(2,3)时，h ′(t )＜0，所以h (t )在(2,3)上单调递减， t ∈(3，＋∞)时，h ′(t )＞0，所以h (t )在(3，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (3)＝6，所以m ≤6，所以实数m 的最大值为6 .16分20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝x －a x . (1)若f (x )在x ＝1处取最值，求a 的值；(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x 2)在区间(0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，试确定函数m (x )＝f (x )－g (x )－6的零点个数，并说明理由.【导学号：56394013】[解] (1)f ′(x )＝2x －a x，由已知f ′(1)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2，经检验a ＝2满足题意，所以a ＝2.4分(2)h (x )＝f (x )＋g (x 2)＝x 2－a ln x ＋x 2－ax ＝2x 2－a (x ＋ln x )，h ′(x )＝4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，要使得h (x )＝2x 2－a (x ＋ln x )在区间(0,1]上单调递减，则h ′(x )≤0，即4x －a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ≤0在区间(0,1]上恒成立，6分因为x ∈(0,1]，所以a ≥4x2x ＋1，设函数F (x )＝4x2x ＋1，则a ≥F (x )max ，8分F (x )＝4x 2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x，因为x ∈(0,1]，所以1x∈[1，＋∞)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x min ＝2，所以F (x )max ＝2，所以a ≥2.10分(3)函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点．因为m (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －6，所以m ′(x )＝2x －2x－1＋1x＝2x 2－2－x ＋x x＝x －x x ＋2x ＋x ＋x.当x ∈(0,1)时，m ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时， m ′(x )＞0，所以m (x )min ＝m (1)＝－4＜0，14分m (e －2)＝－＋e ＋2e3e4＜0，m (e －4)＝1＋2e 8＋e42－e8＞0，m (e 4)＝e 4(e 4－1)＋2(e 2－7)＞0，故由零点存在定理可知：函数m (x )在(e－4,1)上存在一个零点，函数m (x )在(1，e 4)上存在一个零点，所以函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点. 16分专题限时集训(三) 导数 (对应学生用书第83页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ [因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以x 2＋1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，当且仅当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝103，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.] 2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋1)为偶函数，f (2)＝1，则不等式f (x )＜e x的解集为________． (0，＋∞) [令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，所以g (x )在定义域内为减函数，因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)⇒f (0)＝f (2)＝1⇒g (0)＝1，因此f (x )＜e x⇒g (x )＜1＝g (0)⇒x ＞0.]3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号：56394017】1ln 2 [∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.] 4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．5 [|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0⇒b ＋a 2－4ln a ＝0,2c －d ＋2＝0，所以(a －c )2＋(b －d )2表示直线2x －y ＋2＝0上点P 到曲线y ＝4ln x －x 2上点Q 距离的平方．由y ′＝4x－2x ＝2⇒x ＝1(负舍)得Q (1，－1)，所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋1＋2|52＝5.]5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋14，g (x )＝－ln x ，min{a ，b }表示a ，b 中的最小值，若函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－34 [f ′(x )＝3x 2＋m ，因为g (1)＝0，所以要使h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，需满足f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 3 ＜0，m ＜0，解得m ＞－54，－m 3＞12⇒－54＜m ＜－34.] 6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln(e x＋e －x)＋x 2，则使得f (2x )＞f (x ＋3)成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，易知函数y ＝e x ＋e －x 在x ∈(0，＋∞)是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在x ∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式f (2x )＞f (x ＋3)等价于|2x |＞|x ＋3|，解得x ＜－1或x ＞3.] 7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝3x 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是常数)，若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论中：①f (0)·f (1)≤0；②g (0)·g (1)≥0；③a 2－3b 有最小值．正确结论的个数为________．2 [由题意，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，若函数f (x )在(0,1)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0，所以g (0)·g (1)＝b ·(3＋2a ＋b )≥0，故②正确；不妨设f (x )＝x 3－2x 2－3x ＋5，则f (0)·f (1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故①错；画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0表示的平面区域，如图所示，令z ＝a 2－3b ，则b ＝13a 2－z 3，①当－z 3＞－3，即z ＜9时，抛物线b ＝13a 2－z 3与直线2a ＋b ＋3＝0有公共点，联立两个方程消去b 得a 2＋6a ＋9－z ＝0，z ＝(a ＋3)2≥0，所以0≤z ＜9；当－z3≤－3，即z ≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，z ≥0，所以z ＝a 2－3b 有最小值，故③正确．]8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )在点P (0,1－2a )处的切线l 与圆C ：x 2＋2x ＋y 2－12＝0的位置关系是________.相交 [由题意，得y ′＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )＋e x(2x ＋a )，所以y ′|x ＝0＝1－a ，所以直线l 的方程为y －(1－2a )＝(1－a )x ，即(1－a )x －y ＋1－2a ＝0.化圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝13，其圆心(－1,0)到直线l 的距离为－a－－0＋1－2a |－a 2＋－2＝|a |a 2－2a ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋12≤2＜13，所以直线l 与圆相交．]9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为________.【导学号：56394018】3 [因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg|x ＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点有3个．]10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12＜4x .若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [∵f (x )－2x 2＋f (－x )－2x 2＝0，设g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，∴g (x )为奇函数，又g ′(x )＝f ′(x )－4x ＜－12，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，从而在R 上是减函数，又f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2(－m )2，即g (m ＋1)≤g (－m )，∴m ＋1≥－m ，解得m ≥－12.]11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，则实数a 的值为________．1 [由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2·a －32＝π－32，解得a ＝1.]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )＝ln x x，关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e ，＋∞ [f (x )＝ln x x ⇒f ′(x )＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0＜x ≤e 时，f (x )≤1e ；当x ＞e 时，0＜f (x )＜1e ，因此g (t )＝t 2＋mt －1＝0有两个根，其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1e ，t 2∈(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，因为g (0)＝－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＞0⇒m ＞e －1e.]13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x ＞0，12x ＋1，x ≤0，若m＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围是________.[3－2ln 2,2) [如图，作出函数y ＝f (x )的图象，不妨设f (m )＝f (n )＝t ，由f (m )＝f (n )可知函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点，而x ≤0时，函数y ＝f (x )单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)，所以0＜t ≤1.又m ＜n ，所以m ≤0，n ＞0，由0＜t ≤1，得0＜ln(n ＋1)≤1，解得0＜n ≤e－1. 由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2；由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t－1；记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0＜t ≤1)，g ′(t )＝e t－2. 所以当0＜t ＜ln 2时，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减；当ln 2＜t ≤1时，g ′(t )＞0，函数g (t )单调递增．所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋1＝3－2ln 2；而g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1＜2，所以3－2ln 2≤g (t )＜2.]14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )＞－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )＜g (1－x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )＜g (1－x )⇔g (|2x |)＜g (|1－x |)⇔|2x |＜|1－x |⇔3x 2＋2x －1＜0⇔－1＜x ＜13.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位：千套)与销售价格(单位：元/套)满足关系式h (x )＝f (x )＋g (x )(3＜x ＜7，m 为常数)，其中f (x )与(x －3)成反比，g (x )与(x －7)的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套． (1)求h (x )的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x －3成反比，g (x )与x －7的平方成正比，所以可设：f (x )＝k 1x －3，g (x )＝k 2(x －7)2，k 1≠0，k 2≠0，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝k 1x －3＋k 2(x －7)2. 2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，所以，h (5)＝21，h (3.5)＝69，即⎩⎪⎨⎪⎧k 12＋4k 2＝21，2k 1＋494k 2＝69，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝10，k 2＝4， 6分所以，h (x )＝10x －3＋4(x －7)2(3＜x ＜7). 8分(2)由(1)可知，套题每日的销售量h (x )＝10x －3＋4(x －7)2，设每日销售套题所获得的利润为F (x )，则F (x )＝(x －3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －3＋x －2＝10＋4(x －7)2(x －3) ＝4x 3－68x 2＋364x －578，10分从而F ′(x )＝12x 2－136x ＋364＝4(3x －13)(x －7)，3＜x ＜7，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，133时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3，133上单调递增，12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7上单调递减，所以x ＝133≈4.3时，函数F (x )取得最大值，即当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处与直线y ＝3x －2相切，求a 的值； (2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2有两个零点x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的符号，并证明.【导学号：56394019】[解] (1)f ′(x )＝1＋a x，又∵f ′(1)＝3. 2分所以a ＝2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0，＋∞). 4分若a ＝0，则g (x )＝f (x )－kx 2＝x －kx 2. 令g (x )＝0，则x －kx 2＝0. 又据题设分析知k ≠0， ∴x 1＝0，x 2＝1k.又g (x )有两个零点，且都大于0， ∴a ＝0，不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1＝x 1＋a ln x 1－kx 21＝0，gx 2＝x 2＋a ln x 2－kx 22＝0，不妨设x 1＞x 2，x 1x 2＝t ，t ＞1.6分所以x 1－x 2＋a (ln x 1－ln x 2)＝k (x 1－x 2)(x 1＋x 2)．所以1＋ax 1－ln x 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)，7分又g ′(x )＝1＋a x－2kx ，所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1＋2a x 1＋x 2－k (x 1＋x 2)＝1＋2a x 1＋x 2－1－ax 1－ln x 2x 1－x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1－ln t t －1＝a x 2·1t －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －t ＋1－ln t .9分引入h (t )＝t －t ＋1－ln t (t ＞1)，则h ′(t )＝4t ＋2－1t＝－t －2t t ＋2＜0.所以h (t )在(0，＋∞)上单调递减. 10分而h (1)＝0，所以当t ＞1时，h (t )＜0. 易知x 2＞0，1t －1＞0，所以当a ＞0时，g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；当a ＜0时，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.14分17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1e ，由f ′(x )＞0得x ＞1e，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，1分当0＜t ≤1e 时，t ＋2＞1e ，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当t ＞1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，2分∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1e ，t ln t ，t ＞1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 4分设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0 )，h ′(x )＝x ＋x －x，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上单调递减；5分当x ＞1时， h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增；6分 ∴h (x )min ＝h (1)＝4，故a 的取值范围为(－∞，4].7分 (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x ＞0)，8分由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x ＞0)的最小值是－1e，9分设φ(x )＝x e x －2e (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e，12分∴对x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x ，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x ＞0恒成立，故函数F (x )无零点.18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )＝sin xe x 的定义域为[0,2π]，g (x )为f (x )的导函数．(1)求方程g (x )＝0的解集； (2)求函数g (x )的最大值与最小值；(3)若函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex ， 1分所以g (x )＝cos x e －sin x e ＝0，解得x ＝π4或x ＝5π4；3分 (2)因为g ′(x )＝－cos x e x －sin x e x ＋sin x e x －cos x e x ＝－2cos xe x ，4分令g ′(x )＝0，解得x ＝π2或x ＝3π2，5分所以g (x )的最大值为g (0)＝1，所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－e π2. 7分(3)因为F ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex －a ＝g (x )－a ，所以函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g (x )－a ＝0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即y ＝g (x )与y ＝a 的图象恰有两个交点，9分由(2)知F ′(0)＝g (0)－a ＝1－a ，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ，F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－a ＝e －3π2－a ，F ′(2π)＝g (2π)－a ＝e －2π－a ，若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＞F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，所以F ′(x )＝0至多只有1个零点，不成立，10分所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0；11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＜0，则F ′(2π)＜0，所以F ′(x )＝0只有1个零点，不成立，12分所以F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2≥0，13分。

高考数学二轮复习小题限时练习4理

高考数学二轮复习小题限时练习4理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·天津卷]设全集为R ，集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|x ≥1}，则A ∩(∁RB)＝( )A ．{x|0<x ≤1}B ．{x|0<x<1}C ．{x|1≤x<2}D ．{x|0<x<2}2．[2021·成都经开区月考]复数(1＋i)z ＝i(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.12＋12i B ．－12＋12i C.12－12i D ．－12－12i3．[2021·湖北黄石三中期中]已知函数y ＝x 223n n －－ (n ∈N*)的图象与x 轴无交点，且图象关于y 轴对称，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．1或3 4．[2021·河北景县月考]已知α为第二象限角，sin α＝45，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425 B.2425 C.1225 D ．－12255．[2021·吉林白山市一模]定积分⎠⎛01x 2－x dx 的值为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π 6．[2021·山东沂水期中]已知函数f(x)＝⎩⎨⎧lnx x ，x>1ex ＋1，x ≤1则函数f(x)的值域为( ) A ．(0，e ＋1] B ．(0，e ＋1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e ＋1) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪(1，e ＋1] 7．[2021·湖南长沙长郡最后一卷]已知正项等比数列{an}中，a3与a13的等比中项为23，则2a6＋a10的最小值是( )A ．4 6B ．43C ．12D ．68．[2021·云南昆明第八次月考]已知M 为函数y ＝8x 的图像上任意一点，过M 作直线MA ，MB 分别与圆x2＋y2＝1相切于A ，B 两点，则原点O 到直线AB 的距离的最大值为( )A.18B.14C.22D.24 9．[2021·全国卷Ⅰ高考压轴卷]函数f(x)＝ln x2－4x ＋4x －23的图象可能是( )10．[2021·辽宁重点高中第三次模拟考试]已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e ＝233，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF ＝∠OAF ，△OAF 的面积为33，则双曲线C 的方程为( )A.x236－y212＝1B.x23－y2＝1C.x212－y24＝1D.x29－y23＝111．[2021·临川一中全真模拟]已知A 、B 是圆O ：x2＋y2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．23C ．2D ．－312．[2021·巴蜀中学月考]设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且(a1－3)5＋3(a1－3)＝－3，(a12－3)5＋3(a12－3)＝3，则下列结论正确的是( )那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

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答案：B
3．定义新的运算＝ad－bc，则满足＝4＋2i(i为虚数单位)的复数z＝()
A．1－3i B．1＋3i
C．3＋i D．3－i
解析：由于＝zi＋z＝4＋2i，所以z＝＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.
答案：D
4．若α∈ ，且cos2α＋cos ＝，则tanα＝()
A. B.
C. D.
A. B.
C．2 D．3
解析：取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PA|＝ |PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为 .
答案：A
7．下列命题中的假命题是()
A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃x0∈R，使x ＋ax ＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)
D．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点
解析：取α＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，A正确；取φ＝时，函数f(x)＝sin ＝cos2x是偶函数，B错误；对于三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x ＋ax ＋bx0＋c＝0，C正确；当f(x)＝0时ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝ 2－ ≥－，所以∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a＝0有零点，D正确．综上可知选B.
解析：因为cos2α＋cos ＝，所以cos2α－sin2α＝，即＝，所以＝，整理得3tan2α＋20tanα－7＝0，又α∈ ，得tanα＝ .
答案：B
5．下列函数在定义域内为奇函数的是()
A．y＝x＋ B．y＝xsinx
C．y＝|x|－1 D．y＝cosx
解析：对于A，令f1(x)＝x＋，则满足f1(x)＝－f1(－x)，即选项A中的函数为奇函数；选项B，C，D中的函数均满足偶函数的定义，在各自的定义域内均为偶函数，故选A.
高考小题集训(四)
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y2－4≤0，y∈Z}，则下列结论正确的是()
A．A∩B＝∅
B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)
C．A∪B＝[0，＋∞)
D．(∁RA)∩B＝{－2，－1}
解析：通解：因为y2－4≤0，所以－2≤y≤2，又y∈Z，所以B＝{－2，－1,0,1,2}，(∁RA)∩B＝{－2，－1}，故选D.
答案：A
9．若变量x，y满足约束条件，设z＝x＋3y的最小值为M，则log M＝()
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：通解：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线x＋3y＝0可得，直线过点A(3,0)时目标函数z＝x＋3y取得最小值3，故log M＝log 3＝2.
优解：由题意可解得A(3,0)，B(3,3)，C ，分别代入z＝x＋3y得zA＝3，zB＝12，zC＝6，所以目标函数z＝x＋3y的最小值为3，故log M＝log 3＝2.
优解：由题意知2∈A,2∈B，－2∈B，直接排除A、B、C选项，故选D.
答案：D
2．(2017·广州一模)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为()
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(－1,0)
解析：圆C的方程可化为(x＋ )2＋(y＋1)2＝－ k2＋1，所以当k＝0时圆C的面积最大．故圆心C的坐标为(0，－1)．
答案：B
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝，则函数y＝f(x)在[2,4]上的大致图象是()
解析：当2≤x<3时，0≤x－2<1，又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝2x－4，当3≤x≤4时，1≤x－2≤2，又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝－2(x－2)2＋4(x－2)＝－2x2＋12x－16，所以f(x)＝，
所以A正确．
答案：A
11．(2017·郑州市第二次质量预测)刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为21，这个比率是不变的．如图是一个阳马的三视图，则其表面积为()
答案：A
6．设全集U＝{x∈R|x≥0}，函数f(x)＝的定义域为M，则∁UM为()
A．(10，＋∞)∪{0} B．(10，＋∞)
C．(0,10) D．(0,10]
解析：因为函数f(x)＝有意义，所以，解得0<x≤10，所以M＝{x|0<x≤10}，结合数轴可知，∁UM＝{x|x>10或x＝0}＝(10，＋∞)∪{0}，故选A.
答案：B
8．“m＝－1”是“直线2mx＋y－1＝0与 x－3B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由直线2mx＋y－1＝0与 x－3y＋2＝0垂直得，2m ＋1×(－3)＝0，整理得4m2＋m－3＝0，解得m＝－1或，故“m＝－1”是“直线2mx＋y－1＝0与 x－3y＋2＝0垂直”的充分不必要条件，故选A.
A．2 B．2＋
C．3＋ D．3＋
解析：如图所示，根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥D′－ABCD(正视的方向是 )，正方体的棱长为1，四棱锥D′－ABCD的表面积S＝S四边形ABCD＋S△D′AB＋S△D′BC＋S△D′DC＋S△D′DA＝1＋＋＋＋＝2＋ .
答案：B
12．(2017·广西三市第一次联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为()