【人教版】中职数学(拓展模块)：2.2《双曲线》ppt课件(2)

方程，关键解决什么问题？
y
求斜率
F1 o
F2 x
思考3：设点M(x0，y0)为双曲线上位 于第一象限内一动点，当点M走向远
方时，直线OM的斜率如何变化？
y
kb
a
M
F1 o
F2 x
思考4:进一步猜想直线 y b x为双
曲线
x2 y2 1
a
的一条渐近线，
a2 b2
如何从理论上证明这个猜想？
yN
M
F1 o
焦点：F (－c，0)， 1
(x c)2 y2 (x c)2 y2
2a
M
F2(c，0). .
F1 o F2
x
(x c)2 y2 (x c)2 y2
2a
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
x2
y2
思考3:对于方程
a2
c2 a2
1,
因为c＞a＞0，可令b2＝c2－a2，则双曲
线方程可简化为
x2 a2
4、已知双曲线 x2 y2 1， 94
A、B为过左焦点F1的直线与双曲线 左支的两个交点，|AB|=9，F2为右 焦点，则△AF2B的周长为＿3＿0 ＿.
思考题：
设F1和F2是双曲线的 两个焦点， P在双曲线上，求△F1PF2的面积.
小结作业
1.椭圆是圆的遗传，双曲线是椭圆的 变异，尽管双曲线与椭圆的定义和标准 方程有一些相似之处，但它们的图形却 大不相同，二者有着本质的区别.
y2 x2 1 (a>0,b>0) a2 b2
它所表示的双曲线
它所表示的双曲线
的焦点在x轴上.
的焦点在y轴上.
y M
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
F1
C2=a2+b2
课前练习
1、 已知双曲线 8kx 2 ky2 2的
一个焦点为 (0, 23) ，求k的值. k＝－1
2、方程 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
第二课时
问题提出
1.双曲线的定义是什么？
M
F1
F2
平面内与两个定点 F1，F2 的距离 的差的绝对值等于常数（小于|F1F2| ） 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫
做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做
双曲线的焦距．
双曲线的标准方程
x 2 y 2 1(a>0,b>0) a2 b2
变式2：将“焦点为F1(－5，0)， F2(5，0)，”改为“焦距为10”.
例2 已知双曲线过点P(－5，2)，一 个焦点为 F1( 6, 0)，求双曲线的标准方程.
x2 y2 1 5
课堂练习
1、如果方程
x2 y2 1 表示焦 4t t 1
点在y轴上的双曲线，则实数t的取值
范围为＿t＿＿＿4 ;
y2 a2
x2 b2
1 a
0, b
0
其范围、对称性、顶点分别是什么？
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x
F1 顶点（0，±a）
探究（二）:双曲线的渐近线
思考1：函数 y
1 x
的图象是什么？它
与两坐标轴的位置关系如何？
y 双曲线
O
x
思考2：我们猜想双曲线
x2 a2
y2 b2
1
也有两条渐近线，要得到渐近线的
迹方程.
y
P
Leabharlann BaiduAO B x
x2
y2
1(x 0)
115600 44400
例2 已知点 A(－5，0)，B(5，0)，
直线AM，BM相交于点M，且它们
的斜率之积是 4 ，求点M的轨迹方
程.
9
x2 y2 1( y 0)
25 100
9
例3 已知两圆C1:(x＋4)2＋y2＝2 和C2:(x－4)2＋y2＝2，动圆M与圆 C1外切，与圆C2内切，求动圆圆 心M的轨迹方程. y
（1）建系设点； （2）找几何等式； （3）代数等式； （4）化简 （5）验证回答.
思考1:观察双曲线的形状，你认为如何 建立坐标系才能使双曲线的方程简单呢？
y
M
F1 o F2
x
思考2:在上述坐标系中，设双曲线的焦
距为2c(c＞0)，那么两焦点F1，F2的坐 标分别是什么？根据定义，双曲线的原
始方程是什么？如何化简？ y
( m n, 0)
思考3:双曲线 y2 x2 1m 0, n 0
mn
的焦点坐标是什么？
(0, m n)
思考4:在什么条件下，方程Ax2－ By2＝1表示双曲线？
AB＞0
思考5:在什么条件下，方程 Ax2+By2＝1表示双曲线？
AB＜0
讨论：当A、B变化时，方程 Ax2＋By2＝1可以表示哪些类型的曲线？
y2 b2
1其中a，b，c
两两之间的大小关系如何？
c＞a， c＞b，
a、b大小关系不确定
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 x2
a2
y2 b2
1 a
0,b
0
的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
y
焦点：F1(－c，0)， F2(c，0).
F1 o
M F2
x
中心在原点，焦点在y轴上的双曲线 x2
a2
y2 b2
1 a
0,b
0
的标准方程：
y
y2 a2
x2 b2
1 a
0,b 0
F2
焦点：F1(0，－c)，
o
x
F2(0，c).
F1
思考5:如何根据双曲线的标准方程 确定焦点的坐标？
x2 a2
y2 b2
1,
y2 a2
x2 b2
1 a
0,b
0
若x2项的系数为正，则焦点在x轴上， 其坐标为(±c，0)； 若y2项的系数为正．则焦点在y轴上， 其坐标为(0，±c).
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
F1
C2=a2+b2
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
a2 b2
探究（一）:双曲线的范围、对称性和顶点
1. 范围: 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示的区域内.
X=－a X=a
2. 对称性
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称的.
这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心.
M
线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
思考3:若2a＝|F1F2|，即||MF1|－|MF2|| ＝|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
F1
F2
以F1，F2为端点的两条射线
思考4:若||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|， 则点M的轨迹是什么？
不存在
探究（二）：双曲线的标准方程 回顾:求椭圆的标准方程的基本步骤？
如果该方程表示双曲线，则实数t
的取值范围为＿t＿＿4或＿＿t ＿1＿.
2、若双曲线 x2 y 2 1上的 25 9
一点P到一个焦点的距离为12，
则它到另一个焦点的距离是＿2或＿2＿2 .
3、方程 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6
表示的曲线是( B )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线
2.在椭圆中，c2＝a2－b2，a是老大， b、c的大小关系不定；
在双曲线中，c2＝a2＋b2，c是老大， a、b的大小关系不定.
3.双曲线的标准方程的外在形式与其 焦点所在坐标轴有关，由双曲线方程分 析有关性质，一般先将其方程化为标准 方程，再确定a、b、c的值.
作业：
P48练习：1，2.
学海 第6课时
双曲线的对称中心叫做双曲线的中 心.
3.顶 点 双曲线和它的对称轴有两 个交点, 它们叫做双曲线的顶点.
顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0) 线段A1A2叫做双曲线的实轴 实轴长：2a
B2
A1
A2
B1
B1(0,－b)、 B2(0, b) 线段B1B2叫做双曲线 的虚轴 虚轴长：2b
思考：对于双曲线
M
x2 y2
O C1
1(x 0)
C2
x
2 14
例4 求经过两点 A(3, 4 2), B(9 ,5)
4
的双曲线的标准方程.
小结作业
1.在求轨迹方程时，若动点具有椭圆 或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹 图形，再求出相关数据，然后写出轨迹 方程，但要注意变量的范围，并在结论 中注明.
2.求双曲线标准方程时，若不知焦点 所在坐标轴，可设双曲线方程为Ax2＋ By2＝1，用代定系数法求解.
F2 x
|MN|无限接近于零
思考5：由对称性，双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的另一条渐近线方程是什么？在图
形上如何画双曲线的渐近y 线？
y
bx
B2
a
A1 o A2 x
B1
思考6：渐近线方程 y
b a
x
可作
哪些变形？如何与双曲线方程联系
起来记忆？ y
bx a
x2 a2
y2 b2
0
思条考 ？渐7：近渐线近为线y相同的b双x 曲的线双有曲多线少方
1
x2 y2
a2 b2
1
(a b 0) (a 0, b 0)
y2 x2 1
a2 b2 (a 0, b 0)
焦点坐标
a、b、c 的关系
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2－b2
F（±c，0） F（0，±c）
C2=a2+b2
理论迁移
例1 已知双曲线两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一 点P到点F1，F2的距离之差的绝对值 等于6，求双曲线的标准方程. 变式1：将“差的绝对值等于6”改 为“差等于6”;
其中 c a2 b2
类比椭圆
定义 图形
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a(２a> |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O F1
双曲线
||M F1|－|M F2||=2a (2a< |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O
F1
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 a2
x2 b2
x
4
例2 求满足下列条件的双曲线 的标准方程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8， 焦点在x轴上；
（2）离心率 e 2 ，经过点
M(－5，3).
(1) x 2 y2 1, 25 16
(2) x 2 y2 1. 16 16
例3 求满足下列条件的双曲线的 标准方程： （1）实轴长与虚轴长之和等于焦距
作业： P54习题2.2 A组：1，2.
B组：1，2.
2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质
第一课时
双曲线的标准方程
x 2 y 2 1(a>0,b>0) a2 b2
y2 x2 1 (a>0,b>0) a2 b2
它所表示的双曲线
它所表示的双曲线
的焦点在x轴上.
的焦点在y轴上.
y M
当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时， 表示两条平行直线；
当A＞0，B＞0，A＝B时，表示圆； 当A＞0，B＞0，A≠B时，表示椭圆； 当AB＜0时，表示双曲线.
练习
x2
y2
1所表示的曲线是什么？
9k k 3
理论迁移
例1 已知A、B两地相距800m，在
A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，
且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨
双曲线的什么
A1 o A2 x 几何特征？
B1
abe 2
思考3：等轴双曲线的离心率为多少？ 反之成立吗？
理论迁移
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的半
实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离
心率、渐近线方程．
半实轴长a＝4. 半虚轴长b＝3.
焦点坐标(0, ±5). 离心率 e 5 .
渐近线方程 y
4 3
表示的曲线是( B )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线
探究：双曲线方程的拓展：
思考1:在双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
中，参数a，b，c的几何意义如何？
y
bc F1 o a F2 x
思考2:双曲线 x2 y2 1m 0, n 0
mn
的焦点坐标是什么？
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两个焦点的距离叫做
双曲线的焦距．
F1
M F2 F2
思考1:双曲线的定义特征是||MF1|－ |MF2||＝2a（2a＜|F1F2|），若去掉绝对 值符号，则满足|MF1|－|MF2|＝2a（2a ＜|F1F2|）的点M的轨迹是什么？
M
靠近点F2的一支单曲线. F1
F2
思考2:若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则 点M的轨迹是什么？
2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程
第一课时
复习提问
t
p
1 2
5730
椭圆的定义是什么？
定义：平面内与两个定点 F1，F2 的 距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差等于非零常数的点M的轨迹是什么？
探究（一）：双曲线的概念 双曲线的定义： 平面内与两定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小 于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
双曲线的焦距与实轴长的比
e = c , 叫做双曲线的离心率. a
双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞)
思考1：双曲线的离心率与其渐近线
的斜率有什么关系？
e
1 (b)2
a
思考2：当离心率e在(1，＋∞)内变化时，
它对双曲线的形状产生什么影响？如何
用三角函数知识y 解释上述思现考象：？双曲线
B2
的离心率刻画
程有何特点？
x2 a y2
a2 b2
(
0)
思考8：双曲线
y2 a2
x2 b2
1
的渐近线方程是什么？ y
a
0, a
b x
0
b
思考9：实轴长与虚轴长相等的双曲
线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的
一般式方程是什么？其渐近线方程
是什么？
一般式:x2－y2＝λ(λ≠0)
渐近线:y＝±x
探究（三）:双曲线的离心率