【人教版】中职数学(拓展模块):2.2《双曲线》ppt课件(2)
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方程,关键解决什么问题?
y
求斜率
F1 o
F2 x
思考3:设点M(x0,y0)为双曲线上位 于第一象限内一动点,当点M走向远
方时,直线OM的斜率如何变化?
y
kb
a
M
F1 o
F2 x
思考4:进一步猜想直线 y b x为双
曲线
x2 y2 1
a
的一条渐近线,
a2 b2
如何从理论上证明这个猜想?
yN
M
F1 o
焦点:F (-c,0), 1
(x c)2 y2 (x c)2 y2
2a
M
F2(c,0). .
F1 o F2
x
(x c)2 y2 (x c)2 y2
2a
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
x2
y2
思考3:对于方程
a2
c2 a2
1,
因为c>a>0,可令b2=c2-a2,则双曲
线方程可简化为
x2 a2
4、已知双曲线 x2 y2 1, 94
A、B为过左焦点F1的直线与双曲线 左支的两个交点,|AB|=9,F2为右 焦点,则△AF2B的周长为_3_0 _.
思考题:
设F1和F2是双曲线的 两个焦点, P在双曲线上,求△F1PF2的面积.
小结作业
1.椭圆是圆的遗传,双曲线是椭圆的 变异,尽管双曲线与椭圆的定义和标准 方程有一些相似之处,但它们的图形却 大不相同,二者有着本质的区别.
y2 x2 1 (a>0,b>0) a2 b2
它所表示的双曲线
它所表示的双曲线
的焦点在x轴上.
的焦点在y轴上.
y M
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
F1
C2=a2+b2
课前练习
1、 已知双曲线 8kx 2 ky2 2的
一个焦点为 (0, 23) ,求k的值. k=-1
2、方程 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
第二课时
问题提出
1.双曲线的定义是什么?
M
F1
F2
平面内与两个定点 F1,F2 的距离 的差的绝对值等于常数(小于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫
做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做
双曲线的焦距.
双曲线的标准方程
x 2 y 2 1(a>0,b>0) a2 b2
变式2:将“焦点为F1(-5,0), F2(5,0),”改为“焦距为10”.
例2 已知双曲线过点P(-5,2),一 个焦点为 F1( 6, 0),求双曲线的标准方程.
x2 y2 1 5
课堂练习
1、如果方程
x2 y2 1 表示焦 4t t 1
点在y轴上的双曲线,则实数t的取值
范围为_t___4 ;
y2 a2
x2 b2
1 a
0, b
0
其范围、对称性、顶点分别是什么?
y
|y|≥a,x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x
F1 顶点(0,±a)
探究(二):双曲线的渐近线
思考1:函数 y
1 x
的图象是什么?它
与两坐标轴的位置关系如何?
y 双曲线
O
x
思考2:我们猜想双曲线
x2 a2
y2 b2
1
也有两条渐近线,要得到渐近线的
迹方程.
y
P
Leabharlann BaiduAO B x
x2
y2
1(x 0)
115600 44400
例2 已知点 A(-5,0),B(5,0),
直线AM,BM相交于点M,且它们
的斜率之积是 4 ,求点M的轨迹方
程.
9
x2 y2 1( y 0)
25 100
9
例3 已知两圆C1:(x+4)2+y2=2 和C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆 C1外切,与圆C2内切,求动圆圆 心M的轨迹方程. y
(1)建系设点; (2)找几何等式; (3)代数等式; (4)化简 (5)验证回答.
思考1:观察双曲线的形状,你认为如何 建立坐标系才能使双曲线的方程简单呢?
y
M
F1 o F2
x
思考2:在上述坐标系中,设双曲线的焦
距为2c(c>0),那么两焦点F1,F2的坐 标分别是什么?根据定义,双曲线的原
始方程是什么?如何化简? y
( m n, 0)
思考3:双曲线 y2 x2 1m 0, n 0
mn
的焦点坐标是什么?
(0, m n)
思考4:在什么条件下,方程Ax2- By2=1表示双曲线?
AB>0
思考5:在什么条件下,方程 Ax2+By2=1表示双曲线?
AB<0
讨论:当A、B变化时,方程 Ax2+By2=1可以表示哪些类型的曲线?
y2 b2
1其中a,b,c
两两之间的大小关系如何?
c>a, c>b,
a、b大小关系不确定
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线 x2
a2
y2 b2
1 a
0,b
0
的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
y
焦点:F1(-c,0), F2(c,0).
F1 o
M F2
x
中心在原点,焦点在y轴上的双曲线 x2
a2
y2 b2
1 a
0,b
0
的标准方程:
y
y2 a2
x2 b2
1 a
0,b 0
F2
焦点:F1(0,-c),
o
x
F2(0,c).
F1
思考5:如何根据双曲线的标准方程 确定焦点的坐标?
x2 a2
y2 b2
1,
y2 a2
x2 b2
1 a
0,b
0
若x2项的系数为正,则焦点在x轴上, 其坐标为(±c,0); 若y2项的系数为正.则焦点在y轴上, 其坐标为(0,±c).
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
F1
C2=a2+b2
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
a2 b2
探究(一):双曲线的范围、对称性和顶点
1. 范围: 双曲线在不等式 x≤-a与 x≥a所表示的区域内.
X=-a X=a
2. 对称性
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称的.
这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心.
M
线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
思考3:若2a=|F1F2|,即||MF1|-|MF2|| =|F1F2|,则点M的轨迹是什么?
F1
F2
以F1,F2为端点的两条射线
思考4:若||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|, 则点M的轨迹是什么?
不存在
探究(二):双曲线的标准方程 回顾:求椭圆的标准方程的基本步骤?
如果该方程表示双曲线,则实数t
的取值范围为_t__4或__t _1_.
2、若双曲线 x2 y 2 1上的 25 9
一点P到一个焦点的距离为12,
则它到另一个焦点的距离是_2或_2_2 .
3、方程 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6
表示的曲线是( B )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线
2.在椭圆中,c2=a2-b2,a是老大, b、c的大小关系不定;
在双曲线中,c2=a2+b2,c是老大, a、b的大小关系不定.
3.双曲线的标准方程的外在形式与其 焦点所在坐标轴有关,由双曲线方程分 析有关性质,一般先将其方程化为标准 方程,再确定a、b、c的值.
作业:
P48练习:1,2.
学海 第6课时
双曲线的对称中心叫做双曲线的中 心.
3.顶 点 双曲线和它的对称轴有两 个交点, 它们叫做双曲线的顶点.
顶点坐标 A1 (-a, 0), A2 (a,0) 线段A1A2叫做双曲线的实轴 实轴长:2a
B2
A1
A2
B1
B1(0,-b)、 B2(0, b) 线段B1B2叫做双曲线 的虚轴 虚轴长:2b
思考:对于双曲线
M
x2 y2
O C1
1(x 0)
C2
x
2 14
例4 求经过两点 A(3, 4 2), B(9 ,5)
4
的双曲线的标准方程.
小结作业
1.在求轨迹方程时,若动点具有椭圆 或双曲线的几何特征,一般先指出轨迹 图形,再求出相关数据,然后写出轨迹 方程,但要注意变量的范围,并在结论 中注明.
2.求双曲线标准方程时,若不知焦点 所在坐标轴,可设双曲线方程为Ax2+ By2=1,用代定系数法求解.
F2 x
|MN|无限接近于零
思考5:由对称性,双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的另一条渐近线方程是什么?在图
形上如何画双曲线的渐近y 线?
y
bx
B2
a
A1 o A2 x
B1
思考6:渐近线方程 y
b a
x
可作
哪些变形?如何与双曲线方程联系
起来记忆? y
bx a
x2 a2
y2 b2
0
思条考 ?渐7:近渐线近为线y相同的b双x 曲的线双有曲多线少方
1
x2 y2
a2 b2
1
(a b 0) (a 0, b 0)
y2 x2 1
a2 b2 (a 0, b 0)
焦点坐标
a、b、c 的关系
F(±c,0) F(0,±c)
c2=a2-b2
F(±c,0) F(0,±c)
C2=a2+b2
理论迁移
例1 已知双曲线两个焦点分别为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一 点P到点F1,F2的距离之差的绝对值 等于6,求双曲线的标准方程. 变式1:将“差的绝对值等于6”改 为“差等于6”;
其中 c a2 b2
类比椭圆
定义 图形
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a(2a> |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O F1
双曲线
||M F1|-|M F2||=2a (2a< |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O
F1
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 a2
x2 b2
x
4
例2 求满足下列条件的双曲线 的标准方程: (1)实轴的长是10,虚轴长是8, 焦点在x轴上;
(2)离心率 e 2 ,经过点
M(-5,3).
(1) x 2 y2 1, 25 16
(2) x 2 y2 1. 16 16
例3 求满足下列条件的双曲线的 标准方程: (1)实轴长与虚轴长之和等于焦距
作业: P54习题2.2 A组:1,2.
B组:1,2.
2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质
第一课时
双曲线的标准方程
x 2 y 2 1(a>0,b>0) a2 b2
y2 x2 1 (a>0,b>0) a2 b2
它所表示的双曲线
它所表示的双曲线
的焦点在x轴上.
的焦点在y轴上.
y M
当A=0,B>0,或A>0,B=0时, 表示两条平行直线;
当A>0,B>0,A=B时,表示圆; 当A>0,B>0,A≠B时,表示椭圆; 当AB<0时,表示双曲线.
练习
x2
y2
1所表示的曲线是什么?
9k k 3
理论迁移
例1 已知A、B两地相距800m,在
A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,
且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨
双曲线的什么
A1 o A2 x 几何特征?
B1
abe 2
思考3:等轴双曲线的离心率为多少? 反之成立吗?
理论迁移
例1 求双曲线9y2-16x2=144的半
实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离
心率、渐近线方程.
半实轴长a=4. 半虚轴长b=3.
焦点坐标(0, ±5). 离心率 e 5 .
渐近线方程 y
4 3
表示的曲线是( B )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线
探究:双曲线方程的拓展:
思考1:在双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
中,参数a,b,c的几何意义如何?
y
bc F1 o a F2 x
思考2:双曲线 x2 y2 1m 0, n 0
mn
的焦点坐标是什么?
这两个定点叫做双曲线的焦点,
两个焦点的距离叫做
双曲线的焦距.
F1
M F2 F2
思考1:双曲线的定义特征是||MF1|- |MF2||=2a(2a<|F1F2|),若去掉绝对 值符号,则满足|MF1|-|MF2|=2a(2a <|F1F2|)的点M的轨迹是什么?
M
靠近点F2的一支单曲线. F1
F2
思考2:若a=0,即|MF1|-|MF2|=0,则 点M的轨迹是什么?
2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程
第一课时
复习提问
t
p
1 2
5730
椭圆的定义是什么?
定义:平面内与两个定点 F1,F2 的 距离的和等于常数(大于|F1F2| ) 的点的轨迹. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的 差等于非零常数的点M的轨迹是什么?
探究(一):双曲线的概念 双曲线的定义: 平面内与两定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线的焦距与实轴长的比
e = c , 叫做双曲线的离心率. a
双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞)
思考1:双曲线的离心率与其渐近线
的斜率有什么关系?
e
1 (b)2
a
思考2:当离心率e在(1,+∞)内变化时,
它对双曲线的形状产生什么影响?如何
用三角函数知识y 解释上述思现考象:?双曲线
B2
的离心率刻画
程有何特点?
x2 a y2
a2 b2
(
0)
思考8:双曲线
y2 a2
x2 b2
1
的渐近线方程是什么? y
a
0, a
b x
0
b
思考9:实轴长与虚轴长相等的双曲
线叫做等轴双曲线,等轴双曲线的
一般式方程是什么?其渐近线方程
是什么?
一般式:x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线:y=±x
探究(三):双曲线的离心率