高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解

(

经典)

高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分

—、函数的概念与表示

1、映射：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映

射

集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象

1

3•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.

2、函数。构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

1、下列各对函数中，相同的是

二、函数的解析式与定义域

函数解析式的七种求法

待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

= 2

(X) lg X , g(x) 2lg x

C、

B、

f (X) lg

+

u) - - ,g(v)=

1 u

”D、f (x) =x,

1 v

X +1

--- ,()决1)+ Ig( - 2、一

f

X~ X

x 1 =厂 f (X) X

2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合

N的函数关系的有

y

配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式

时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式

2

X X

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。与配凑法一样，要

注意所换元的定义域的变化。

广+ = +广+

例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

+

2 x y g x

例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过

—— =

1

解方程组求得函数解析式。例5设f(x)满足f(x) 2枳)

X —

1

例6设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f ，试求f(x)和g(x)的解析式

(x) g(x)

X 1

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,

= —= —— 4

使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7已知:f (0) 1,对于任意实数x、y,等式f (x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或

+ = + = + —

者迭代等运算求得函数解析式。

例8设f(x)是N上的函数，满足ffl) 1 ,对任意的自然数a,b都有f(a) f (b) f (a b) ab,求

f (x)

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不为零；⑵

(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于

6-(05江苏卷)函数丫log (4x lx)的定义域为

0.5

2求函数定义域的两个难点问题已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2）已知f（N-的定义域是[-1.3],求“ ”的定义域

2 +x x 2

二二，则 - -

_ ） f（）

- =、X yf~、

H2 R ~~~求 f （~乂）的定义域。

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量勺范围出发，推0（x）的取值范围，适合于简

②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适—

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次匪的芬无

④分离常数:适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法:利用函数的单调性求值域；

⑥图象法:二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法丄由数形结合厂转化距离等求值域T要是缽酸

例2谕lg 的定义域为_______

1 . 法,（直接

4. （△法）

y

5. 1

2 +

• f（x） 2x 3 %

2 + X

2

X

<

3x

y

___ <

+ X

4

= +- >

C 3x 1

②y （2x4）」

2x 1 =

2

2x

= —+ -

2

24 2x x 3 .（换元法）

1 _

+

7（单卑性）

3

（X [ 1,3]）

2x

②

+

_

一

=-/

+

rv 1

* X

一

一

y ) y

一

一

S(^J

离

常

数

法

①

①

1

18.