高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解

(
经典)
高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分
—、函数的概念与表示
1、映射：(1)对映射定义的理解。

(2)判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映
射
集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象
1
3•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.
2、函数。

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是
二、函数的解析式与定义域
函数解析式的七种求法
待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

= 2
(X) lg X , g(x) 2lg x
C、
B、
f (X) lg
+
u) - - ,g(v)=
1 u
”D、f (x) =x,
1 v
X +1
--- ,()决1)+ Ig( - 2、一
f
X~ X
x 1 =厂 f (X) X
2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合
N的函数关系的有
y
配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式
时，常用配凑法。

但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式
2
X X
三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。

与配凑法一样，要
注意所换元的定义域的变化。

广+ = +广+
例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

+
2 x y g x
例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过
—— =
1
解方程组求得函数解析式。

例5设f(x)满足f(x) 2枳)
X —
1
例6设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f ，试求f(x)和g(x)的解析式
(x) g(x)
X 1
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,
= —= —— 4
使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7已知:f (0) 1,对于任意实数x、y,等式f (x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或
+ = + = + —
者迭代等运算求得函数解析式。

例8设f(x)是N上的函数，满足ffl) 1 ,对任意的自然数a,b都有f(a) f (b) f (a b) ab,求
f (x)
1、求函数定义域的主要依据：
(1)分式的分母不为零；⑵
(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
6-(05江苏卷)函数丫log (4x lx)的定义域为
0.5
2求函数定义域的两个难点问题已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2）已知f（N-的定义域是[-1.3],求“ ”的定义域
2 +x x 2
二二，则 - -
_ ） f（）
- =、X yf~、
H2 R ~~~求 f （~乂）的定义域。

三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量勺范围出发，推0（x）的取值范围，适合于简
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适—
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次匪的芬无
④分离常数:适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域；
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法丄由数形结合厂转化距离等求值域T要是缽酸
例2谕lg 的定义域为_______
1 . 法,（直接
4. （△法）
y
5. 1
2 +
• f（x） 2x 3 %
2 + X
2
X
<
3x
y
___ <
+ X
4
= +- >
C 3x 1
②y （2x4）」
2x 1 =
2
2x
= —+ -
2
24 2x x 3 .（换元法）
1 _
+
7（单卑性）
3
（X [ 1,3]）
2x
②
+
_
一
=-/
+
rv 1
* X
一
一
y ) y
一
一
S(^J
离
常
数
法
①
①
1
18.
① y=f(x)是偶函数 尸f(x)的图象关于y 轴对称 y=f(x)是
② 若函数f(x)的定义域关于原点对称剧=0
y x 1 x 1
9 .（图象法）
2
y 3 2x x （ 1 x 2）10 ・（对勾函
数）
2x
8
（X 4）
X
"•（几何意対y
x 2 x 1
四・函数的奇偶性
1 •定义2性质
奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称
7
③奇土奇奇偶士偶偶 奇X 奇偶 偶X 偶偶 奇X 偶奇［两函数的定义域D. , D 2,
要关于原点对称］
x,y ( 1,1)W f(x) f (y)
1 xy
讦明：f(x)存(-仁彳)卜为奇湎数；
4 若奇函数 f(x)(x R)满足 f (2)
1 , f (x 2) f (x) f (2),贝lj f (5)
1、函数单调性的定义：2设y f g x 是定义在M 上的函数也/!)与g(x)的单调性相反，则y f g x
上是减函数；若f(x)与g(x)的单谪性相同，则y
3函数y log 0 (6 x 2x )的单调增区间是
3・奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
已知函数f(x)是定义在(一乂 +)上的偶函数.当x ( € 一⑭时,
f(x)亍F,贝IJ 当
€
时,
f(x)
(0,
已知定义域为 R 的函数f (x)
+ —
十+b
2
X 1 a
是奇函数。

(I )求亦的值; (n)若对任意的t R,
不等式f(t 2t)
f(2t k) 0恒成立，求k 的取值范围十
3已知f(x)在(-1, 1)上有定义，且满足
)，
五、函数的单调性
〔()】 [(
S g=在/上是增函数。

2例 函数f(x)对任意的R,都有f(m n)
f (m) f (n) 1 ,并且当 x 0 时,
f(x) 1 ,
2 a
⑴求
证"在R 上是讐数；_
y 若丫
4,解不等式
5)
2
4(咼考真题)已知f (x)
1 )x 4a, x 1 )上的减函数，那么a 的取值范围是
log 3 x,x 1
(A ) (0,1)
(C )
7
二:函数单调性的判定，求单调区间
—:函数单调性的证明1•取值2, =| - - I =
作差3,
定号
4,
结论
3
y =log
一 +
2
=TL
Q Y
=一/「 =
⑴+ 1
2 (x
o x
+ 2 x2
1 J y
l 丿2 3 4
5
2x
X
X
y
a
x ( a 0)
a
y x
( a
0)
=+ —
X
>
= ——
X
>
三 :函数单调性的圃1 比较大小 例：如果函数
2
f(x x b5F C 对任意实数t
)
都有
+
= —
< <
< <
< <
f
,那么 A 、 f (2)
f ⑴ f (4) B 、
f(1) f ⑵
f(4)C 、 f (2) f (4)
f ⑴
C 、
(2 ? f(t 孑)
f(4) f (2) f (D
_ V
2解不等式例：庭济在(-1,(苏制勺函数 心)是减発:国满足：北少性/饮)+畸数&的取值范
围例：餐定义在 上的增函数， ，且
/«+/(^-3)<2
求满足不等式/(X )=
2(。

- l)x 即2的哼畀•
= — +2
4.二次函数最值例：探究函数f(x) x 2
5•抽象函数单调性判断
例：已知函数f(x)的定义域是(0,)，当x 1时，f (x)
0,且f(xy)
— =— — -------------------------
2
X
x 2
1在区间
+□0
3.取值范围:函数r
- +
例：若 l(3a
1)x 4a x f(x)
log a x
x 1
A. (0,1)
B.
1 © )
3
■
在
上是减函数，的取值范围是
是R 王的减函数，那么了的取值范围是(
1 1 1
例:探究函数f(x)
1的最大值和最小值。

> >
1在区闸的最大值和最小值。

(X) f(y)
⑴求fd),⑵证明)在定义域上是增函数
1,求满足不等式f(x) f( ；> 2的x 的取值范围
x 2
例:已知函数f(x)对于任意x, y 电 总有f(x) + f(y)二旳+ y),且当x>0时,f(x)<0, f(1)= 一
⑴求证:f(x)在R 上是减函数；(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.
Xi
例:已知定义在区间+8 )上的函数f(x)满足f( ) = f(xj- f(x 2),且当x>1时，f(x)<0.
1
⑶如果f()
3
X2
六・函数的周期性:
1 -(定义)若f(x 十)Mx)(T 0) H fg 是周期函数，T 是它的一个周期。

说明：nT 也是f(x)的周 期
(推广)若f(x t)扣b 什贝IJ f(x)是周期函数，b a 是它的一个周期
对照记忆f(x 划丰(x 8佩明：f(a x) (a =x)说明：
已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为
定义在R 上的偶函数 心)，满足f(2 x) + f(2=x),在区间［-2,0］上单调递减，设 一 b 匚厂c 〒，贝IJ lb,c 的大小顺序为
(15),
(
2),
(5)
1 -f(x)
<
1 f(x)
f (2005)= 4已知f(x)是(-,)上的奇函数，f(2 x) f (x),
f(7昂
2 ・若 f (x +) =f 。

)；
(X t) =
； f (X t)
f(x)
1
Z 则f(x)周期是2a
f (x)
(A)- 1
(B)0
(C) 1
(D)2
已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x 2)
，若f ⑴
2
3,则
例11设f 饿:玻君/£嬌韶(鹦任意实数
x 恒满足f(2
X)
f(x),当
x [0,2]时2
f(x) 2x x⑴求证：f(x)是周期函数；⑵当X ［2,4］时,求f(x)的解析式;
2 + mx +
= 2、方程mx 2
1
0肴一根大于1 ,另一根小于1 ,则实根m 的取值范围
八. 指数式与对数式
1
-幕的有关概念
=
丰
o
a
⑴零指数幕a 1 (
0)⑵负整数指数幕
( > 6
⑴对数的概念:如果a N(a 0,a
1)
⑵对数的性质：①零与负数没有对数 ⑶对数的运算性质
=
logMN=logM+logN
log N
m
对数换底公式：log a N
(N 0,a
0且a 1,m 0且m 1)
a 0,n
⑶正分数指数幕
An
(5)负分数指数幕
0, m,n
)(
)
(6)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义•
厂=i i=(
2•有理数指数幕的性质
8
r 8
r
r8
1 a a a a 0,r, s Q
2 a a a 0,r,s
3 ab
Ch
3 •根式根式的性质：当
b 叫做以8为底N 的对数，记
a log
0 N(a
0,a
1)4 .对数
> >
② log a 1 丰
>
③ log a a 1
log a
对数的降幕公式：I。

. N n
log a N(N 0,a 0且 a 1)
1
1
(1)() 2
ig
十.指数函数与对数函数
1、指数函数y詡与对数函数y=logaX
名称指数函数
—般形式丫=寸（少0且&为）（a>0 , a旳互为反函数
对数函数
y=logaX （a>0,8 工I）
定义域 (R °? ( 3,+ °?
值域 (0,+ 円
(
.CX3F 为
过定点
(0, 1)
(1, 0)
指数函数与对数函数y=|O g aX
（a
>0 , a 7^）图象关于尸x 对称
图象
y=a X
(0<a<l\^ 0
宀『壬（a>l ）
4
O
I ^^=log a x
(a>l)
| y=log a x
(0<a<l)
单调性
少1,在（-令于上为增函数
0 < a<1,在（-令°?上为减函
a>1,在（0,+为上为增函数
0 <a<1,在（0,+竽上为减函数 值分布 ----
姒
------------ -------------------------------------------
? --------- --------------------------------------------------------------------
2. 比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果
大小同理）
记住下列特殊值为底数的函数图象:
底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同, 可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较
3、
研究指数，对数函数问题, 尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
讨论
4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,
复合函数的里调性是解决问题的重要途径。

反口㈢二工疋丁W忌口亠女d工&
1、（1） y Igj^ lg（5 3x）的定义域为 __________ ；
= 厂
的值域为
= —2 +X
(3)y lg(
)的递增回 _______ ,值 ________ *- < €
1
2 x= +
,+ 処] ___ 卜 8 ]
>
(1) log
1
_
_
4
2
x 4X
3、 要使函数y 1
a 在x ,1 ±y 0恒成立。

求a 的取值范围
2
4.
若尹+ IV a x_ 1 < 0 (a>0 且佔)，求 y=2a 2x - 3a x +4 的值域
= 2
_ 2
_< _
_ > _____ t = +
十•函数的图象变换一
> ________ . =
+
（1）
1、平移变换：（左+右-，上+下-）即
(3 ) y=2 ixi ；
IV • f （x ）的图象过点（0.1）,则X ）的反函数的图象过点（ ）
=
——T
=
—左移
y
f ( x)
—
—T
= k
0 ,
；k
0 ,
下移
—
--- T
=
上移
y
f ( x h )
y
一 f ( X
)
_y f ( x) k
h 0
,右移；h 0 ,
①窈称变换:（丽底雀不变，亦称原点塞变）
y y y y
y y
— ----- T
=
f ( x )
y
f ( x )
y
轴
f ( x )
原点
y
f ( x)
f ( x )
y
f ( x )
y x
1
f （ x ）
y f （ x ）
X )
y
f (X
保留
X X
轴上方图，帶下方图上翻
X )
y f (X )
y
轴右边不变，左边酋
边部分的对称图
2 .作出下列函数的简图：（1）y=|log
x
函数图像的变换
函数图象及变规闡握几类基本的初等函数图像是学好本内容的题
K基本函数（1）—次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、
（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。

2、图象的变换
（1）平移变换（左加右减
①
函数y=f(x+2)
的图象是把函数
Ex)的图像沿由向左平移2个单位得到的；反之向右移2
个单位
②函数y=f(x)-3(的图象是把函数尸f(x)的图像»仔由向下平移3个单位得到的；反之向上移3
个单位
①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线对称；函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线对称；
函数y=f(x)与函数y"(-x)的图象关于坐标原点对称；
②如果函数尸f(x)对于一垛^都有f(x+a)=f(x-a),那么y=f(x)的图象关于直线对称。

③
加(x)与y=f(x)关于直线对称
一MQx|)
3、伸缩换y=af(x)(a>0)的图象，可将(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长1)或缩短8<彳)到原来的&倍。

y=f（ax）（a>0）的图象，可将y=f（x）的图象上的每一点的横坐标缩短（01）或伸长（0<曲）到原来的3倍。

十•函数的其他性质
⑤ y=f(x)
对称
題
yf
1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达：
L>0单调递增
v k \ <0单调递减x ~x
1 2
2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：
+ — =
f(x) f ( x) 0奇函数f(x) f ( x) 0偶函数
3. 函数的凸凹性:
++
X x 、f X f X
4 + 2 ( 1)+（ 2）
f( -------------- > > ——凹函数（图象“下凹J'如:指数函数）22
X X2f(xj f任）
f( ) 凸函数（图象“上凸J如：对数函数）
2 2。