(整理)保守力的性质

保守力的性质

假设作用力为保守力，则它满足以下三个等价的充分必要条件：

1、的旋度是零：

2、对于任意简单闭合路径，所做的机械功是零：

3、作用力是某位势的梯度：

数学证明

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设定为任意简单闭合路径。思考边界为的任意曲面。斯托克斯定理阐明

假设的旋度等于零，方程左边为零，则机械功是零。所以，第二个条件是正确的。

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假设，对于任意简单闭合路径，所做的机械功是零，则保守力所做于粒子的机械功，独立于路径的选择。设定函数

其中，和分别是特定的原点和空间内任意一点。根据微积分基本定理，

所以，第三个条件是正确的。

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假设第三个条件是正确的。思考下述方程：

所以，第一个条件是正确的。

总结，这三个条件是等价的。由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径考试。所以，只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。