尺规作图(角平分线)PPT课件
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角平分线的性质ppt课件
B
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图，在△ABC中，
A
AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求 AC的长；
E
（2）求证：AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画？
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图，在△ABC中，
A
AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求 AC的长；
E
（2）求证：AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画？
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
角平分线的性质PPT课件
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
尺规作图作已知角的平分线 公开课一等奖课件
角平分线 我们已经知道角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分 线所在的直线．如图 13－4－13，你能作一个角等于∠ABC 的一半吗？
图 13－4－13
[答案] 把∠ABC 对折，使 BA 与 BC 重合，其折痕就是 ∠ABC 的平分线．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
例 2 如图 13－4－16 所示，已知∠CAB，以确定的点 B 为顶点作∠ABD，使∠ABD＝12∠A.(不写作法，保留作 图痕迹)
图 13－4－16
13.4.3 作已知角的平分线
[解析] 先作∠A 的平分线 AE，以 B 为顶点作∠ABD＝ ∠EAB，则∠ABD 即为所求．
？ 想一想
大家说一说：这些现象有什么危害？
安静是什么
• 安静是修养。
•公共场所是公众活动的地方，任何人都不得以任何 理由对其进行任何形式的独占，而应自觉维护该场 所的秩序，遵守必须的社会公德。
安静是什么
• 安静是文化，是文明。
•文化可以引领人的发展。到了一个非常安静的场所 ，你忍心一个人制造大的声响来引起别人不必要的 注意吗？当大家都停下自己的活动看你时，你会感 觉到脸红，自觉融入到这安静的氛围之中。学校狠 抓安静校园的治理，就是为了建设良好的校园文化 ，提高文明水平。
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
探究新知
活动1 知识准备 ∠_B_O__C＝如_图_12_1_3∠－A4O－C1，2，∠OABOC是＝∠_A_2_O_C∠的AO平B分＝线__2，__则∠∠BOACO.B＝
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国 来的人，文明程度并不高。这就是形象。
图 13－4－13
[答案] 把∠ABC 对折，使 BA 与 BC 重合，其折痕就是 ∠ABC 的平分线．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
例 2 如图 13－4－16 所示，已知∠CAB，以确定的点 B 为顶点作∠ABD，使∠ABD＝12∠A.(不写作法，保留作 图痕迹)
图 13－4－16
13.4.3 作已知角的平分线
[解析] 先作∠A 的平分线 AE，以 B 为顶点作∠ABD＝ ∠EAB，则∠ABD 即为所求．
？ 想一想
大家说一说：这些现象有什么危害？
安静是什么
• 安静是修养。
•公共场所是公众活动的地方，任何人都不得以任何 理由对其进行任何形式的独占，而应自觉维护该场 所的秩序，遵守必须的社会公德。
安静是什么
• 安静是文化，是文明。
•文化可以引领人的发展。到了一个非常安静的场所 ，你忍心一个人制造大的声响来引起别人不必要的 注意吗？当大家都停下自己的活动看你时，你会感 觉到脸红，自觉融入到这安静的氛围之中。学校狠 抓安静校园的治理，就是为了建设良好的校园文化 ，提高文明水平。
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
探究新知
活动1 知识准备 ∠_B_O__C＝如_图_12_1_3∠－A4O－C1，2，∠OABOC是＝∠_A_2_O_C∠的AO平B分＝线__2，__则∠∠BOACO.B＝
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国 来的人，文明程度并不高。这就是形象。
尺规作图.作已知角的平分线 大赛获奖教学课件
新知梳理
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：三__边__分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
► 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等 三个角分别相等的两个三角形 不一定 全等． [比较] 如果两个三角形有三组对应相等的元素，可分为四 类：三边、两边一角、一边两角、三角．它们判定三角形是否 全等的情况可归纳如下：
使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对
应相等的条件分别是A__B＝A′B′__，_B_C＝B′C′__，__AC＝A′C_′_，
可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是
全等
．
你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探究问题二 灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等 例 2 如图 13－2－19，BE，CD 相交于点 O，且 AD＝
AE，AB＝AC. 求证：∠BAO＝∠CAO.
图 13－2－19
13.2.5 边边边
[解析] 证△AOD≌△AOE 可得到∠BAO＝∠CAO. 证明：证法 1：在△ABE 和△ACD 中， ∵AE＝AD，∠BAE＝∠CAD(公共角)，AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE. 在△BDO 和△CEO 中， ∵∠B＝∠C，∠DOB＝∠EOC(对顶角相等)，BD＝CE， ∴△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ OD＝OE (全等三角形的对应边相等)． 在△AOD 和△AOE 中， ∵AD＝AE，AO＝AO，OD＝OE， ∴△AOD≌△AOE(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：三__边__分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
► 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等 三个角分别相等的两个三角形 不一定 全等． [比较] 如果两个三角形有三组对应相等的元素，可分为四 类：三边、两边一角、一边两角、三角．它们判定三角形是否 全等的情况可归纳如下：
使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对
应相等的条件分别是A__B＝A′B′__，_B_C＝B′C′__，__AC＝A′C_′_，
可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是
全等
．
你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探究问题二 灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等 例 2 如图 13－2－19，BE，CD 相交于点 O，且 AD＝
AE，AB＝AC. 求证：∠BAO＝∠CAO.
图 13－2－19
13.2.5 边边边
[解析] 证△AOD≌△AOE 可得到∠BAO＝∠CAO. 证明：证法 1：在△ABE 和△ACD 中， ∵AE＝AD，∠BAE＝∠CAD(公共角)，AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE. 在△BDO 和△CEO 中， ∵∠B＝∠C，∠DOB＝∠EOC(对顶角相等)，BD＝CE， ∴△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ OD＝OE (全等三角形的对应边相等)． 在△AOD 和△AOE 中， ∵AD＝AE，AO＝AO，OD＝OE， ∴△AOD≌△AOE(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
北师大版初中九年级上册数学课件 《角平分线》证明PPT课件
1
2
B
E' D C
得解；（2）有线
E
''
段的和差关系时， 常用截长补短法作
1
2
3
辅助线化和差关系 为相等关系。
角的平分线
线段的垂直平分线
A
D
C
P
M P
O
E
B
A
B
N
定理1：在角的平分线上的点到这个角 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两
的两边的距离相等。
个端点的距离相等。
定理2：到一个角的两边的距离相等的 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的
点，在这个角的平分线上。
点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端 角的平分线是到角的两边距离相等的所点距离相等的所有点的集合 有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
作业（必做题）：课本：习题，配套练习
问题探讨： 1、如图，如图所示∆ABC中， AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求 证：AB+BD=CD。 若在ΔABC中，AD⊥BC于D， AB+BD=DC试问：∠B与∠C是 什2、么在关V型系公？路（∠AOB）内部，
认知结构中去.
问题引入
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公 路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公 路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工 厂的位置吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
例1、如图，某开发区有一个工厂在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确 定工厂的位置吗？并说明理由。
DA
分析:要证明PD=PE,
角的平分线课件沪教版(上海)数学八年级上册
∵ ∴ △DCF≌△DEB.(SAS) ∴ BD=DF.
例2 如图,AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC,∠NCA 的平分线,它们交于点P,PD⊥BM于点D,PF⊥BN于 点F,BP是∠MBN的平分线吗?请说明理由.
解:BP是∠MBN的平分线.理由如下:过点P作PE⊥AC 于点E.又∵AP,CP分别是∠MAC与∠NCA的平分线, 且PD⊥BM,PF⊥BN,∴PD=PE,PF=PE.∴PD=PF.又 ∵PD⊥BM,PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线 上.∴BP是∠MBN的平分线.
19.5 角的平分线
教学目标
1、理解并掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性； 2、掌握角的平分线的性质，能运用角平分线的性质进行一些简单的推理； 3、经历探索、猜想、证明的过程，培养学生动手操作能力及合作探索精神，进 一步发展学生的推理证明意识和能力。
教学难点
重点：角平分线的作法，角平分线的性质。 难点：对角平分线的性质理解及角平分线性质的应用。
已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足 为D，PC⊥OA，垂足为C. 求证：PD=PC.
【证明】∵OP平分∠AOB.（已知） ∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义） 又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知) ∴∠PCO=∠PDO=90Байду номын сангаас.（垂直的定义） 在△PCO和△PDO中,
AOP BOP, (已证) PCO PDO（, 已证） ∵ OP OP, (公共边)
∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD.
由上面的证明，我们可以得出： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 到角两边距离相等的点在角的平分线上.
典例精析
例1 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交 BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求 证:BD=DF.
八年级数学12.3《角平分线的性质》(共23张PPT)优秀课件
二、重点难点
学生学好数学的信心. 到角两边的距离的正确理解；
2、掌握角平分线性质定理的运用 。
关键:通过情景问题的设计,引导
活动1 给出一个纸片做的角,不利用工具,能不能找出
这个角的角平分线呢? 〔对折〕
再翻开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、 A 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
C
∴∠CAD=∠CAB〔全等三角形的 E 对应边相等〕
∴AC平分∠DAB〔角平分线的定义〕
B C
根据角平分仪的制作原 理怎样作一个角∠EAF 的平分线？〔不用角平
分仪或量角器〕
A
D
E
B
作法:１.以A为圆心,适当长为半径作弧, AE于点B,交AF于点D；
２.分别以B、D为圆心,大于线段BD 一 半 的 长 为 半 径 作 弧 , 两 弧 在 ∠ EAF 的内部交于点Ｃ；
1、如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶 D 点，AB和AD沿着角的两边放下， 过点A、C画一条射线AE，AE就是 角平分线，你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB〔〕
D
B
DC=BC〔〕
CA=CA〔公共边〕
∴ △ACD≌ △ACB〔SSS〕
３.作射线AC。
A
DF
二 角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是角平分线OC上 的任意一点
1.操作测量：取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA , PE⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长。将三次数据填入下表：
A
D
CD PE
人教版八年级上册数学123角的平分线的性质优秀课件
OP=OP（公共边），
O
P
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边
放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能
说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E)C
探究新知
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图做 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
第一课时
角的平分线的性质
导入新知
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC. 将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿 AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说
A
明它的道理吗？
D
B
C E
素养目标
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际 问题. 2. 探究并认知角平分线的性质.
P在∠AOB的平分线上．
3
2．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是 ∠ABC的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现 了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
角平分线ppt课件
两边距离相(等√） )
B
D A
C
小结
角平分线上的点到角的两边间隔 相等
到角的两边间隔 相等的点在这个角 的平分线上.
结语
谢谢大家！
PDOPEO(AAS)
PDPE全 ( 等三角形的对应等边）相
反过来，到一个角的两边间隔 相等的点是否一
定在这个角度平富乡上呢？
已知：P如 D O图 A P， E , OB
点 D， E为垂足。 求证： P在 点 AO的 B平分线上
证 明 PD ： OP A E ,O点 BD,E,
A
为垂足
PD P O E R t O
例 1：已知： A如 B的 图 C角 ，平 B分 M C线 ,N 相交P 于点 求证P ： 在 点 BA的 C角平分线上
证明P： D A作 B PE , BC P F , AC
垂足分 DE,F 别 , 为
A
BM 是 AB 的 C平分P在 线 B， M 上点
PD P（ E角平分线上的点的到两角边距离相等）D
上任意P点 D O， A P,EOB 垂, 足分D别 E, . 为
求证P： D PE
A
D P
1
O
2
E
C B
证明：
OC是AOB的平分线（已知） 1 2(角平分线的定义） PD O， APE O（ B 已知） PDOPEO 90(垂直的定义）
在 PD和 O PE中 O
PDO PEO(已证） 1 （ 2 已证） OP OP(公共边）
从上面实验可以角看是出轴，对称图形 ，对称轴是它的线角所平在分的直线。
假如前面活动中的纸片换成木板，钢 板等没法折叠的角，又该怎么办？
用尺规作图的方法作出角 平分线
B
D A
C
小结
角平分线上的点到角的两边间隔 相等
到角的两边间隔 相等的点在这个角 的平分线上.
结语
谢谢大家！
PDOPEO(AAS)
PDPE全 ( 等三角形的对应等边）相
反过来，到一个角的两边间隔 相等的点是否一
定在这个角度平富乡上呢？
已知：P如 D O图 A P， E , OB
点 D， E为垂足。 求证： P在 点 AO的 B平分线上
证 明 PD ： OP A E ,O点 BD,E,
A
为垂足
PD P O E R t O
例 1：已知： A如 B的 图 C角 ，平 B分 M C线 ,N 相交P 于点 求证P ： 在 点 BA的 C角平分线上
证明P： D A作 B PE , BC P F , AC
垂足分 DE,F 别 , 为
A
BM 是 AB 的 C平分P在 线 B， M 上点
PD P（ E角平分线上的点的到两角边距离相等）D
上任意P点 D O， A P,EOB 垂, 足分D别 E, . 为
求证P： D PE
A
D P
1
O
2
E
C B
证明：
OC是AOB的平分线（已知） 1 2(角平分线的定义） PD O， APE O（ B 已知） PDOPEO 90(垂直的定义）
在 PD和 O PE中 O
PDO PEO(已证） 1 （ 2 已证） OP OP(公共边）
从上面实验可以角看是出轴，对称图形 ，对称轴是它的线角所平在分的直线。
假如前面活动中的纸片换成木板，钢 板等没法折叠的角，又该怎么办？
用尺规作图的方法作出角 平分线
16.3 角的平分线课件(共23张PPT)
归纳小结
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
尺规作图:作已知角的平分线
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
问题
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
新知探究
一起探究
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
尺规作图:作已知角的平分线
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
问题
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
新知探究
一起探究
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
角平分线的性质(课件)人教版数学八年级上册
拓展训练 2.如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角
平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上 BD=DF.求证：CF=EB.
证明：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝ 90°（已知）， ∴CD＝DE (角的平分线的性质). 在Rt △CDF 和 Rt△EDB 中， CD=DE （已证），DF=DB（已知）， ∴ Rt△CDF ≌ Rt△EDB(HL). ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）.
互动新授 思考
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距 离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建 于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
S
互动新授
解：在Rt△ABC与Rt△ABD中：
AB=AB
BC=BD
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
∴∠CAB=∠DAB
M
即点B在∠CAD的角平分线上
你能得出什 A么结论呢？
C
D
B S
N
角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上.
典例精析
例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P 到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，
PF⊥AC交于点F.
AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE.
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长为8cm.
课堂小结
三角形的角 平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上.
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• 作法：（1）作
O1P1；
• （2）以O为圆心，以
交
；交
作弧， ；
• （3）以为圆心，以
交
；
作弧，
• （4）以 径作弧，交
为圆心，以
半
；
• （5）经过
பைடு நூலகம்
作
即为所求的角。
。则
A C
O
B
D
做一做
• 1、：利用直尺和圆规把一个角
二等分。
你能说
明理由
吗？
可以看出，所画的射线OC是 ∠O的角平分线，根据图中的作图痕迹，
尺规作图画角平分线
九年级数学组
复习
• 看图填空。 • （1）在
上截取
•
=
=
；
（2）以
为圆心，以
为半径作弧，交
于
。
第1题
第2题
• （3）分别以
、
为圆心，
• 以大于 弧交于
1 EF 2
的长为半径作弧，两
、
；
• （4）以O为圆心，以任意为半径作弧，
分别交AOB的两边OA、OB
于
、
。
A C
O
B
D
求作一个角等于已知角POQ，
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
你能画一个角的角平分线 并写出画图步骤吗？
试一试
试把下图所示的角四等分
O
• 任意画一个三角形， 画出三个内角的角平 分线.（不写画法， 保留作图痕迹）
联系知识综合运用
• 已知：两条线段 a、t 求作：直角三角形ABC使直角 的平分线等于t，一直角边 AB=a。
a
t
• 已知：角∠α，线段m。 • 求作：等腰三角形△ABC，使其
顶角∠BAC=∠α， ∠BAC的平 分线为m。
m
• 已知△ABC中，∠A=900，
• 求作⊙P，使圆心P在AC上，且 与AB、BC的两边都相切。
C
A
B
演讲完毕，谢谢观看！
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