2.1解析函数的概念与柯西黎曼方程

dw f ( z0 ) dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim . z 0 z
在定义中应注意:
z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
即z0+Δz在区域D内以任何方式趋于z0 时，比值 f ( z 0 z ) f ( z 0 ) z 都趋于同一个常数. 如果函数w=f(z)在区域D内处处可导, 我们就称f(z)在区域D内可导.
f f ( z z ) f ( z ) y lim lim lim 0, z 0( y y0 ) z z 0( y y0 ) x 0 x i y z y 0
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0( x x0 ) z z 0( x x0 ) i z x 0
nz n1 (2) ( z )
n
3.求导法则:
( 3)
(4)
f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z )


f ( z ) g( z ).

f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z )Βιβλιοθήκη Baidu
xy 2 2, u( x, y ) v( x, y ) x y 0, x y 0
2 2
x y 0
2 2
令f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在点z=0满足:
u v u v 0 0 y x x y 但u(x,y)与v(x,y) 在点z=0不连续，故f(z) 在点z=0不连续，从而不可导.
w u iv [ux ( x, y) ivx ( x, y)](x iy) o(| z |)； [u ( x, y) iv ( x, y)]z o(| z |)； x x w lim ux ( x , y ) iv x ( x , y ) 所以 z 0 z
即 f(z) 在 z=x+iy 处可导.
和数学分析中的结论不同，此定理表 明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是 完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一 组解； 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要 条件而非充分条件（见反例）； 解析函数的导数有更简洁的形式：
u v f ( z ) i f x ( x , y ) x x v u 1 u v 1 i ( i ) f y ( x , y ) y y i y y i
dw 即 f ( z0 ) |z z0 dz
函数w =f (z) 在z0可导与在z0可微是等价的. 如果函数w=f(z)在区域D内处处可微, 我们就称f(z)在区域D内可微.
2. 解析函数的概念 定义 如果函数f (z) 在z0及z0的邻域内 处处可导，那么称f (z) 在z0解析. 点z0叫 做f (z) 的解析点.
复变函数的解析条件
定理2.4 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D内解析的充要条件为 1.实部u(x,y)和虚部v(x,y)在区域D内处 处可微； 2.实部u(x,y)和虚部v(x,y)在区域D满足 柯西-黎曼方程 u v u v y x x y
反例：定义u(x,y)、v(x,y)如下：
z 0
lim ( z ) 0,
f ( z0 z ) f ( z0 )
f ( z0 )z (z )z ,
lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
所以
z 0
即函数 f (z) 在 z0 处一定连续.
由于复变函数中导数的定义与一元实 变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变 函数中一样, 因而实变函数中的求导法则 都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. (1) (c ) 0 (c为复常数).
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 z ) f ( z0 ) 令 ( z ) f ( z0 ) z
令
f ( z0 z ) f ( z0 ) (z ) f ( z0 ) z
则
因为
如果函数f(z)在区域D内处处解析, 我 们就称f(z)在区域D内解析.或称f(z)是区域 D内的解析函数(全纯函数、正则函数).
一个解析函数的所有解析点的集合 是一个开集.
定义 如果函数f (z) 在z0不解析，但 在z0的任意邻域内总有解析点，那么称 点z0为f (z) 的奇点. 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导 是等价的. 但是, 函数在一点处解析与在一点处 可导是不等价的概念. 即函数在一点处可 导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导 的要求要高得多.
设f (z)在z=x+iy 处可导，记 f ( z ) a ib 由导数定义可得
f ( z z ) f ( z ) (a ib)z o(| z |) (a ib )(x i y ) o(| z |) 2 2 u i v (ax by ) i (bx a y ) o( x y )
例1 求函数 f (z) = z2 的导数.
解
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) z lim z 0 z lim (2z z ) 2z .
2 2
z 0
( z ) 2 z n n1 同理 ( z ) nz
在区域D内确定，那么f ( z )在点z x iy D 可导的充要条件是
(简称C R方程):
u v x y
1、实部u( x, y)和虚部v( x, y)在点( x, y)处可微， 2、u( x, y )和v( x, y )满足柯西-黎曼方程
u v y x
证明 (必要性)：
2
例2
讨论 f (z)=Im z 的可导性.
解
f f ( z0 z ) f ( z0 ) Im( z0 z ) Im z0 z z z
Im z0 Im z Im z0 Im z z z
Im(x iy ) y , x i y x i y
2
2
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z
h( z0 z ) h( z0 ) (1) z0 0 时， lim 0. z 0 z
(2) z0 0 时，
令z0+Δz沿直线y-y0=k(x-x0)趋向于z0 ,
例3 讨论函数 f (z) = z2 、 g (z)=Im z 、 h(z)=|z|2 的解析性.
解 由例1和例2知: 函数 f (z) = z2 在复平面上处处解析. 函数 g (z)=Im z在复平面上处处不解析.
h( z0 z ) h( z0 ) z
z0 z z0 z
当点沿不同的方向使Δz→0时，极限 值不同.
故 f (z)=Im z 在复平面上处处不可导.
2 可导与连续 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一 定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一 定在 z0 处可导. 证 由在 z0 处可导的定义， 0, 0, 使得当 0 | z | 时有
式中 lim ( z ) 0,
线性主要部分 f ( z0 )z 叫做f(z)在z0处 的微分，记作
z 0
dw f ( z0 )z.
特别地, 当 f (z) = z 时， dw dz f ( z0 ) z z ,
dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
y 1 i z x i y x 1 ik z x iy 1 i y 1 ik x
z 1 ki 不趋向于一个固定的常数， z 1 ki
这时
h( z0 z ) h( z0 ) lim z 0 z
不存在，
因此h(z) = |z|2 仅在一点z = 0处可导，
u( x x , y y ) u( x , y ) ax by o( x 2 y 2 )；
v ( x x , y y ) v ( x , y ) bx a y o( x 2 y 2 )；
因此，u( x, y)及v( x, y)在( x, y)可微，且
复变函数论
Functions of one complex variable
湖南第一师范学院数理系
第二章 解析函数
§1.解析函数的概念 与柯西—黎曼方程 §2.初等解析函数 §3.初等多值函数
§1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程
1.复变函数的导数与微分 设函数w=f(z)定义域区域D, z0为D中 的一点，点z0+Δz不出D的范围. f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那么就称函数w=f(z)在 z0可导，这个 极限值称为f(z)在z0的导数值.记作
(6)
f [ g( z )]
1

f ( w ) g( z ). 其中 w g( z )
1 (7) f ( w ) f ( z )
( w f ( z ))
4.微分的概念:
复变函数微分的概念在形式上与一 元实变函数的微分概念完全一致. 定义 设函数f (z) 在z0可导，则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z (z )z.
定理2.5 函数f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
区域D内解析的充分条件是，
(1) ux , uy , v x , v y 在D内连续；
(2) u( x, y ), v( x, y )在D内满足C R方程.
例1 讨论下列函数的可导性和解析性: 2 （1）w Re z; (2) w | z | ; x (3) f ( z ) e (cos y i sin y).
解：（1）因u x，v 0，且 u u v v 1, 0, 0, 0. x y x y
从而在复平面上处处不解析.
1 例4 研究函数 w 的解析性. z
解
1 因 w 在复平面上除 z 0 外可微, z
且
dw 1 2, dz z
所以该函数在复平面上除 z = 0 外处 处解析， z = 0 是它的奇点.
3. Cauchy-Riemann方程：
定理2.2 设函数f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
u v a x y u v b y x
证明(充分性) :
u( x , y )及v( x , y )在( x , y )可微，并有C R方 程成立，所以有 2 2
由C R方程可得 :
u ux ( x , y )x uy ( x , y )y o( x y )； ( x , y )x v y ( x , y )y o( x 2 y 2 )； v v x