高中数学深度总结：拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索
㊀㊀㊀㊀㊀拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索Һ陆华勇㊀（盐城生物工程高等职业技术学校，江苏㊀盐城㊀２２４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ从微积分来看，拉格朗日中值定理是一块非常重要的内容，它在导数和函数之间架起了桥梁，并且该定理已被应用于各个领域．本文采取举例的方式对该定理如何被应用于高等数学进行了展示．ʌ关键词ɔ拉格朗日中值定理；应用；证明引㊀言从微分学来看，微分中值定理是基本定理之一，学生要想把微分学这块内容学好，最重要的是对该定理的成立条件及其证明过程形成深刻的认识．在高等数学这门课中，微分学是其中的重要知识之一，该门课研究的是以实数集为定义域的函数具有哪些性质，在对函数性质进行探究的过程中，微分中值定理就是其中的一个不可或缺的重要工具．作为有效工具之一的微分中值定理，探讨的是如何根据导数具有的性质推断函数具有哪些性质，将导数知识用到了函数性质的探究中，在两者之间起到了桥梁作用．微分学中最为基础的是拉格朗日中值定理，对其进行推广得到了柯西中值定理，而取其特殊情况又得到了罗尔定理，所以说拉格朗日中值定理充当着核心角色．对函数具有的包括最值㊁单调性以及极值等性质进行的探究，以及对曲线表现出的凹凸性进行的探讨都是以拉格朗日中值定理为基础的．本文围绕着拉格朗日中值定理展开，对证明这一定理时构造辅助函数的若干种方法进行了介绍，并采取举例的方式对该定理怎样在例题中得到应用展开了分析．一㊁拉格朗日中值定理的概念基本内容：存在一个函数ｆ（ｘ），在闭区间［ａ，ｂ］上为连续函数，在开区间（ａ，ｂ）上为可导函数，那么在该开区间内至少有一点ξ，满足ａ＜ξ＜ｂ，使等式ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ成立．解释如下：（１）该定理也可以叫作有限增量定理，在导数和函数之间搭建起了桥梁，通过导数具有的性质就可以对函数具有的性质展开探究．（２）该定理是基础，进行推广得到了柯西中值定理，特殊化处理则得到了罗尔定理，拉格朗日公式相当于０阶泰勒公式．（３）该定理既能够在不等式以及等式的证明中得到应用，也能够用于对函数具有的连续性㊁单调性以及凹凸性等多项性质展开探究．（４）在对很多定理进行证明时，是否存在ξ是其中的一种理论工具．该定理指出存在至少１个的中值ξ，但是有些时候可能没有办法求解得到．例如，假设将ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ看作一个方程，那么存不存在ξ就等同于方程存不存在根这个问题．该定理的本质是对ξ是（ａ，ｂ）中的一个无法确定位置的点形成深入认识，但是考虑到ξ是有范围的，也就是ａ＜ξ＜ｂ，此时可通过导数ｆᶄ（ｘ）推断得到ｆᶄ（ξ）的取值区间，而后得到分式的取值区间，这样不等式就得证了．（５）使用该定理解题时，其中的难点之一在于辅助函数的构造或者是选取．针对于此，可将等式ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ视为分式，并以之为着手点构造函数ｆ（ｘ），同时将取值区间（ａ，ｂ）确定下来，最后求解得到导数ｆᶄ（ｘ）．为得出ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，作出部分变形处理是很有必要的，如ｌｎｘｘ－１＝ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ－１），ｘ－１＜ξ＜ｘ，当然构造辅助函数Ｌ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）也是可取的．也可构造函数Ｌ（ｘ）＝ｅｇ（ξ）ｆ（ｘ），进行求导操作得到ｅｇ（ξ）［ｆᶄ（ξ）＋ｆ（ξ）ｇᶄ（ξ）］等各种变形，最终达到解题目的．二㊁拉格朗日中值定理的证明从拉格朗日中值定理来看，在对其进行证明时，应用的技巧是以构造辅助函数为主的，而辅助函数是有非常多种构造方法的，最为常见的有行列式法㊁Ｋ值法等，在这些方法中，最易掌握的是倒推法，应用得也相当广泛，下文对倒推法用于辅助函数的构造的具体步骤进行了展示．根据拉格朗日中值定理得到的结论不难发现：∃ξɪ（ａ，ｂ），ｓ．ｔ．ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ．考虑到区间（ａ，ｂ）内该函数为可导函数，因而导数在ξ点的取值就是Ｆᶄ（ξ），可以表示成ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ｘ）｜ｘ＝ξ，但是函数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ的导数是常数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，所以待证结论能够改写为：ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）[]ᶄ｜ｘ＝ξ＝０，此时便可构造下述辅助函数：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）．考虑到ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）[]ᶄ｜ｘ＝ξ＝０，所以有Ｆ（ξ）＝０．考虑到区间［ａ，ｂ］上Ｆ（ｘ）为连续函数，（ａ，ｂ）上则是可导函数，而且有Ｆ（ａ）＝ａｆ（ｂ）－ｂｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆ（ｂ），故而根据罗尔定理可知，肯定会有一个ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ξ）＝０，也就是Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ－ｆᶄ（ξ）＝０，等同于ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ．三㊁拉格朗日中值定理的应用１．证明恒等式．考虑到该定理得到的结论实质上为一个等式，所以该定理可在部分等式的证明中得到应用．（１）证明单介值等式命题．从这种命题来看，其题型往往是：肯定会有不少于１个㊀㊀㊀㊀㊀㊀的点ξɪ（ａ，ｂ），Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）以令Ｇ（ξ，ｆ（ξ），ｆ（ｎ）（ξ））＝０成立．在对这种命题进行证明的时候，其中的关键在于辅助函数的选取，辅助函数选取得精确，可将问题化繁为简．通常而言，倒推法用于辅助函数的构造是较为可取的，具体步骤如下：第一步，用ｘ来代替待证等式内的ξ；第二步，进行恒等变换，将等式化简成导数符号易于消除的形式；第三步，仔细观察，得到ｆ（ｘ）．例１㊀假定存在一个函数ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，试证：（ａ，ｂ）内会存在不少于１个的点ξ，使ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ））＋ａｆ（ａ）成立．思路：针对ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＋ａｆ（ａ）），用ｘ来代替其中的ξ，这时会有ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ））＋ａｆ（ａ）．对其变形，得到ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ），观察发现，辅助函数选取为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）．证明：构造函数Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ），那么该函数在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，由拉格朗日中值定理不难发现，势必会有不少于１个的点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆᶄ（ξ）成立，所以ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ），也就是ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ））＋ａｆ（ａ）．（２）证明双介值等式命题．从这种命题来看，其题型往往是：中值共有２个，用ξ，ηξʂη()来表示，且它们存在某种关系．这种命题的证明和单介值命题类似，辅助函数也是要构造的，区别在于这种命题通常需要构造两个函数，题干中已知的仅仅是其中之一，有一个是未知的，这时就需要与结论得到的关于η的关系式相结合进行变换，具体步骤如下：第一步，对待证等式进行变形，得到两个表达式，一个是与ξ相关的，另一个是与η相关的；第二步，仔细观察，得到Ｆ（ｘ）．例２㊀假定存在一个函数ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，而且有ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１，试证：（ａ，ｂ）内会存在不少于１个的点ξ和η，使ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１成立．思路：针对待证等式ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１，把ξ和η分开，也就是ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝ｅξ，等同于［ｅｘｆ（ｘ）］ｘ＝η＝（ｅｘ）ｘ＝ξ，此时可构造下述两个辅助函数，一个是Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），另一个是Ｇ（ｘ）＝ｅｘ．证明：假定Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），那么Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）内为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（ａ，ｂ）内会有不少于１个的点η，使Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆᶄ（η）成立，也就是ｅｂｆ（ｂ）－ｅａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］，故而有ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］．（１）假定Ｇ（ｘ）＝ｅｘ，那么Ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（ａ，ｂ）内会有不少于１个的点ξ，使Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）ｂ－ａ＝Ｇᶄ（ξ）成立，也就是ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅξ．（２）综合（１）和（２）可知ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝ｅξ，等同为：ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１．２．证明不等式．在对不等式进行证明的过程中，拉格朗日中值定理的应用是按照下述步骤展开的：第一步，对辅助函数ｆ（ｘ）进行构造；第二步，选取合理的应用区间（ａ，ｂ）；第三步，确定中值ξ的取值空间．其中的重点在于第一㊁二这两个步骤．从实际应用来看，辅助函数ｆ（ｘ）通常是以待证不等式为依据来确定的，并据此选取合理的应用区间（ａ，ｂ）．下文采取举例的方式对如何构造辅助函数进行了阐述．（１）证明函数不等式命题．在对这种命题进行证明时，如果用到的是拉格朗日中值定理，那么待证命题牵涉的往往只是同一函数在不同点的取值的差异，也就是待证不等式的某端通过变形之后形如ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．解题思路如下：这种命题往往需要结合待证不等式对辅助函数ｆ（ｘ）进行构造，对该函数可以应用拉格朗日中值定理进行验证，即为ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ），而后按需放大或者是缩小，最后把其内的带有ξ的项去掉，此时待证不等式就可得证．例３㊀试证：在ｘ＞０的情况下ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ成立．思路：对ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ进行逆推，ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）ｘ＜１，ｌｎ（１＋ｘ）ｘ可变形成ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，因为ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，所以１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１（ξ的取值应当合理）．ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－０ｘ－０＜１⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ１ｘ－０＜１⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０．根据ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ这种形式，猜想出ｆ（ｂ）＝ｌｎｎ（１＋ｘ），ｆ（ａ）＝ｌｎ（１＋０），而且有ｂ－ａ＝ｘ－０，也就是ｂ＝ｘ，ａ＝０，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）．构造的辅助函数是ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ），应用区间确定为（０，ｘ）．显而易见的是，从区间（０，ｘ）来看，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）可以应用拉格朗日中值定理，也就是（０，ｘ）内肯定会有１个以上的点ξ，可让ｆᶄ（ξ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０成立．ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ⇒ｆᶄ（ξ）＝１１＋ξ（０＜ξ＜ｘ），１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１也就是１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０＜１．可以看到，辅助函数以及选定的应用区间均合理，下文对证明过程进行了详细的阐述．证明：假定ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ），那么从区间（０，ｘ）来看，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）可以应用拉格朗日中值定理，所以（０，ｘ）内肯定会有１个以上的点ξ，可让ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｘ－０成立，即ｆᶄ（ξ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０．理由是ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ，因而ｆᶄ（ξ）＝１１＋ξ，０＜ξ＜ｘ，所以有１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１，即１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０＜１，１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）ｘ＜㊀㊀㊀㊀㊀１，因而在ｘ＞０的情况下，ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ成立．从上述例题不难发现，若不等式成立的条件是ｘ＞ａ，那么应用区间选取（ａ，ｘ）会较为合理．（２）证明中值不等式命题．这里所说的中值不等式命题指的是不等式关系内存在的中值命题．拉格朗日中值定理用于这种命题的证明时同样要用倒推法，据此得出辅助函数，方法还是以结论为主要着眼点，相较于等式的证明而言，区别在于：一端进行变号处理，转移至另一端，而后观察，得出解题需要用到的辅助函数．例４㊀存在一个函数ｆ（ｘ），在区间［０，１］上为连续函数，在区间（０，１）内为可导函数，而且有ｆ（ｕ）＝ｕ，试证：假定［０，１］上ｆ（ｘ）有非零值，那么在（０，１）内一定存在点ξ，可使ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ成立．思路：此处需证ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ．由于ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＝ｆ２（ｘ）２[]ᶄｘ＝ξ，故而需要构造下述辅助函数：Ｆ（ｘ）＝ｆ２（ｘ）２．证明：假定Ｆ（ｘ）＝ｆ２（ｘ）２，那么Ｆ（ｘ）在区间［０，１］上为连续函数，在区间（０，１）内为可导函数，ｆ（ｕ）＝ｕ，因而存在ａɪ（ｕ，１），可以使得Ｆ（ａ）＝ｆ２（ａ）２成立，这时有Ｆ（ｘ）在区间［０，ａ］上为连续函数，在区间（０，ａ）内为可导函数，即能够应用拉格朗日中值定理，故而存在ξɪ（０，１），会有Ｆᶄ（ξ）＝Ｆ（１）－Ｆ（０）＝Ｆ（１）＞ｕ，等同于：Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ．３．证明根的存在性．例５㊀区间［０，１］上ｆ（ｘ）为可导函数，而且有０＜ｆ（ｘ）＜１，又由于ｘɪ［０，１］时ｆᶄ（ｘ）ʂ－１，试证：区间（０，１）上方程ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０有且仅有一个实根．证明：先通过构造法对存在根进行证明，而后通过拉格朗日中值定理对有且仅有一个根进行证明．（１）根的存在性．假定ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ－１，此时有ｇ（０）＝ｆ（０）－１，ｇ（１）＝ｆ（１）．考虑到ｘɪ［０，１］时有０＜ｆ（ｘ）＜１，由于ｇ（０）＝ｆ（０）－１＜０，ｇ（１）＝ｆ（１）＞０，故而有ｇ（０）㊃ｇ（１）＜０，由根的存在性定理不难发现，区间（０，１）内ｇ（ｘ）必定会有实根．（２）根的唯一性．为证区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０有且仅有一个根，通常会提出区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０共有２个实根的假设，而后得到和已知不符的结论，这样唯一性就可得证．下文对拉格朗日中值定理用于唯一性证明的详细过程进行了说明：先假定区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０共有２个实根，用α和β来表示，并且假定α＜β，这样就能够得到ｆ（α）＝１－α，ｆ（β）＝１－β，将拉格朗日中值定理用到［α，β］区间上的ｆ（ｘ）中，可知ｆ（α）－ｆ（β）＝ｆᶄ（ω）（α－β），整理可得ｆ（α）－ｆ（β）α－β＝ｆᶄ（ω），也就是：（１－α）－（１－β）α－β＝－１，与已知条件ｆᶄ（ω）ʂ－１不符．所以唯一性得证．４．求解函数最值．在对函数最值问题进行求解时，只有符合一定形式才能够应用拉格朗日中值定理，例如，能够化简为ｔȡｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２或者ｔɤｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２这种形式，只有这样才能够用拉格朗日中值定理来求解．例６㊀存在一个函数ｆ（ｘ），假定ｋ为一个实数，ｘ１和ｘ２是其定义域中任取的两个点，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜ɤｋ｜ｘ１－ｘ２｜成立，那么函数ｆ（ｘ）（ｘɪＤ）就可以称之为符合利普希茨条件，如果函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘȡ１）符合利普希茨条件，求ｋ的最小值．解：由题意可知，ｋȡｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２，由拉格朗日中值定理有ｆᶄ（ω）＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２，所以有ｋȡｆᶄ（ω），这样就能够求出ｆᶄ（ω）的最大值．因为ｆ（ｘ）＝ｘ，所以ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘɤ１２，故而ｆᶄ（ｘ）的最大值是１２，即ｋ的最小值是１２．５．求解函数极限．在对函数极限问题进行求解时，拉格朗日中值定理同样可以得到应用．如果待求函数的极限是同种函数的差值，自变量之间的差值只是一个常数，那么拉格朗日中值定理就能够对其进行简化，而后再进行求解．例７㊀试求极限ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]．思路：可以看到，该题是一种０㊃ɕ型未定式．从区间［ｘ，ｘ＋１］来看，ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ可以应用拉格朗日中值定理，有：ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋ξ２，且ξɪｘ，ｘ＋１()．可以看到，ｘң＋ɕ时ξң＋ɕ，而且有ｌｉｍξң＋ɕ１１＋ξ２＝０．考虑到ｌｉｍξң＋ɕｘ２＝ɕ，这时极限ｌｉｍｘң＋ɕｘ２１＋ξ２存在与否取决于ξ的一些细节，意味着对中值点进行的粗糙估计无法得出原极限，通过其他工具的应用进行支持还是很有必要的．第一种解法（对中值点进行精细估计），考虑到ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋（ｘ＋θ）２，且有θɪ（ｕ，１）．这时ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋（ｘ＋θ）２＝１．第二种解法（采取夹逼准则），考虑到ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋（ｘ＋θ）２，且有ξɪ（ｘ，ｘ＋１），所以有ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ξ２，可以看到ｘ＜ξ＜ｘ＋１，所以ｘ２１＋（１＋ｘ）２ɤｘ２１＋ξ２ɤｘ２１＋ｘ２，（下转２４页）㊀㊀㊀㊀㊀㊀（５）教师在教学过程中培养学生的数学思想方法．数学思想方法是人们在长期从事数学实践活动过程中智慧的结晶，是学生认知结构不断形成与发展的纽带，是沟通知识能力的桥梁，是促进人们智力及能力发展的重要因素．教师在数学教学过程中渗透数学思想方法，能够使学生对数学知识点以及解决问题有强烈的逻辑思维能力，让学生真正地理解数学内涵，产生对数学研究的欲望，增强学生的数学应用意识，使学生能够持续思考，并提出问题㊁分析问题㊁解决问题．四㊁结束语教学设计是教师教学的指南针，是完成教学目标的依据．教学设计反映了教师对该知识点的理解程度和教学水平，因此教师要高度重视教学设计．本文是在理论情境中和教师探讨设计而成，没有经过实际课堂的操作，在以后的实际教学过程中希望得以实践，再进行深入研究，以期对教师的教学有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１７．［２］张乃达，过伯祥．张乃达数学教育：从思维到文化［Ｍ］．济南：山东教育出版社．２００７．［３］过大维，钱军先．高中数学教学中学生的问题意识及其培养［Ｊ］．中学数学月刊，２０１９（０１）：５－８．［４］王红燕，孟丹，胡丹．浅析教学设计在教学中的作用及其能够解决的问题［Ｊ］．新校园（阅读），２０１６（０９）：７１－７２．［５］庞志雷．在翻转课堂中体验数学之美： 斐波那契数列 教学案例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（２２）：２０－２３，２９．［６］陈萍．从特殊到一般的思想方法在初中数学教学中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１０（２２）：１３１．［７］徐利治，徐本顺．数学美与数学教学中的审美［Ｊ］．山东教育，１９９７（１１）：３０－３５．［８］刘露露．探究高中数学教学中的数学思想方法［Ｄ］．长春：东北师范大学出版社，２０１３．［９］黄毅蓉．基于 问题意识 的问题驱动教学法的探讨［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０８）：１７－１８．［１０］王碧莹．培养高中生数学问题意识的方法［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（１６）：１３６．㊀（上接２１页）而且有ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋（１＋ｘ）２＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ｘ２＝１，故而ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ξ２＝１．如果极限是包括ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）这种未定式的，作为重要工具之一的拉格朗日中值定理可以达到让计算得到简化的目的．通过事实发现：相较于对中值点进行粗糙估计来说，第二种解法显然得到了更为广泛的使用．通常来说，粗糙估计只可以在ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）存在而且不等于０的这种情况下适用，但第二种解法并不会受到这种情况的限制．第二种解法不单单能够在ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）存在而且不等于０的情况下适用，在ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）＝０与ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ξ）＝ɕ这两种情况下也能够适用，且应用更为广泛．但是只是从公式复杂程度来看的话，在形式上第一种解法显然更为简洁．所以，在对包括ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）在内的这种未定式极限的求解过程中，先采取第一种解法来分析是可行的，假使无法得到结果，常常会用到下述策略：（１）对中值点进行修改，使之变成精细估计形式，而后再展开更为深入的分析；（２）针对粗糙估计得到的中值点作放缩处理，而后通过夹逼准则的应用完成计算．结束语微分学的发展就是基于微分中值定理的，而且从实际应用来看，该定理的应用也是极为广泛的，恰恰是因为这个定理这么重要，所以也被叫作微分基本定理．从三大基本定理可以看出，应用最为广泛的当属拉格朗日中值定理，原因在于它对于函数并没有提出很严格的要求．在对问题进行求解时，关键点在于基于命题分解得到待求问题需要用到的函数，使得函数不单单可以应用拉格朗日中值定理，又能够让求解得到简化．本文对该定理在包括等式㊁极限求解等在内的多个方面的应用进行了介绍．从该定理的整个应用过程来看，最为重要的问题有两个，一个是辅助函数的构造，另一个是区间的确定．从整个过程可以看出，应用该定理求解问题的思路相对比较简单．但是为了让该定理能够得到灵活应用，对本文总结得出的思想方法需进行灵活运用．ʌ参考文献ɔ［１］王康．拉格朗日中值定理的应用［Ｊ］．安顺学院学报，２０１２（０２）：１２６－１２７．［２］刘三阳，长丁民．用拉格朗日中值定理求极限［Ｊ］．高等数学研究，１９９８（０３）：２７－２９．［３］毛纲源．高等数学解题方法技巧归纳（上册）［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，２００１．［４］尹龙国．微分中值定理及其应用［Ｊ］．大众商务，２００９（０９）：２０４．［５］马秀芬．中值定理在高等数学解题中的应用［Ｊ］．濮阳职业技术学院学报，２０１５（０５）：１５２－１５３．［６］王希超，刘长文，万林梅．拉格朗日中值定理的巧用［Ｊ］．山东农业大学学报，２００２（０２）：１２３－１２４．［７］曹金亮，谢锦涛．微分中值定理常见题型的解题方法［Ｊ］．浙江海洋学院学报（自然科学版），２０１４（０５）：９４－９８．。
拉格朗日中值定理及应用
拉格朗日中值定理的构造性证明
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一 x∈(a,b)，g'(x)≠0。
那么在(a,b)内至少有一点
ξ，使等式
f(b)g(b)-
f(a) g(a)
=
f'(ξ) g'(ξ)
成立。
证明：作辅助函数
φ(x)=f(x)-
kg(x)，k=
f(b)g(b)-
f(a) g(a)
［33］Lam P.Y.S.,Jahdav P.K.,Eyermann C.J.,Hodge C.N.,Ru Y.,Meek L.T.,Bacheler J.L.,Otto M.J.,Rayner M.M.,Wong Y.N.,Chang C.H.,Weber P.C.,Jackson D.A.,Sharpe T.R.,Erickson- Viitanen S.Science.1994,263, 380- 384.
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其中用到 1
x
>1 及 e 是单调函数的性质。
sinξ
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拉格朗日中值定理的证明及其应用
拉格朗日中值定理的证明及其应用【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思路和方法，利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理，并以具体实例说明如何应用拉格朗日中值定理.【关键词】罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；辅助函数1 引言拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.罗尔定理中这个条件很特殊，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把这个条件取消，但仍保留另外两个条件，并且相应改变结论，即得微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种方法证明了拉格朗日中值定理，并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定理.2 拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数（该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件）应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：罗尔中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导；（3）.则至少存在一点，使.拉格朗日中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导，则在内至少存在一点，使.2.1 利用坐标旋转构造辅助函数如果函数在闭区间上连续；在内可导.图2.1如图2.1所示，由坐标旋转图形的不变形可知，只要把坐标轴旋转到与直线重合，在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论.为此可引入旋转坐标变换[2].因为，所以有逆变换.记.取旋转角时，在上连续；在内可导，由，可得，即，因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点使，亦即，.2.2 利用分析表达式构造辅助函数由拉格朗日中值定理结论可知，欲证，即要证，换言之即证在区间内有零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.证明令，则在区间连续，在内可导，且，即.故由罗尔定理知，至少存在一点，使.即.注意这辅助函数所表示的曲线是曲线和直线之差，而这直线通过原点且与曲线在上两端点的连线平行，从而使得满足罗尔中值定理的条件.2.3 利用向量运算构造辅助函数引理 2.1[3]在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC面积为.于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下：若在内连续，在内可导，则在内连续，在内可导，且，所以由罗尔中值定理知：在内至少存在一点使得，而.故.通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以分析总结，分析法构造辅助函数主要有原函数构造法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法.通过分类总结，有助于开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入.3 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例说明拉格朗日中值定理在四个方面的应用.3.1 证明不等式证明不等式的方法很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定解得出来.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的应用，往往能够化难为易.在应用中关键是取适当函数，利用中值公式将所要证明的不等式与导函数联系起来，在根据的某些性质证出所要求的不等式.比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型.例 3.1 证明对一切都成立.证明设，取闭区间.因为在上满足拉格朗日中值定理条件.所以，至少存在一点，使得.即. （3.1）因为，即，又.所以，（3.2）又因为，所以由（3.1）﹑（3.2）知，即.3.2 函数单调性的判定由拉格朗日中值定理得到下面的结论：设函数上连续，在内可导，则（1）如果，则上单调递增.（2）如果，则上单调递减.下面我们具体的看一下它的应用.例 3.2 证明在上单调增加.证明若令，则只需证明单调增加.，对函数应用拉格朗日中值定理得到，得到.因此，由上面结论推出单调增加，从而在上单调增加.3.3 证明方程根的存在性在拉格朗日中值定理的条件下，若加上条件，则可知在开区间内至少存在一点，使得这是拉格朗日中值定理的特殊情形，称为罗尔中值定理，可用于证明方程的根的存在性.证明方程根的存在性时所给根的范围就是区间，把所给方程设为函数，就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.例 3.5 证明若方程有正根，则方程必有一个小于的正根.证明设= ，.易证在上满足拉格朗日中值定理条件，并且.所以，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，即方程，有一个小于的正根.由上面的例题，我们见到了中值定理在求解初等数学题中的优越性.因此，将微积分的方法应用于初等数学中，将它作为教学的辅助手段是可取的.3.4 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是拉格朗日中值定理应用中很重要的一项，在证明等时中起到了化繁为简的作用，为以后的等式证明提供了方面.例 3.7 设在上连续，在内可导，且，试证，，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.用初等数学的方法解数学题，有时需要很高的技巧，并且很繁琐，往往此时利用微积分方法会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.结束语著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有着及其重要的意义.该定理叙述简单明了，并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度.熟练掌握定理本质，在解题时会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.参考文献：[1]刘士强.数学分析（上）[M].南宁：广西民族出版社，2000.[2]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报，2002，22（3）：35-36.[3]张娅莉，汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2005，15（4）：88-90.。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。
这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。
拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。
具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。
拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。
拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。
在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。
1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。
在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。
拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。
这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。
拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
拉格朗日中值定理与应用
拉格朗日中值定理与应用拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
这个定理在数学领域有着广泛的应用，特别是在求解函数的极值、证明函数的性质以及优化问题等方面起到了重要的作用。
拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内的某一点的导数等于函数在闭区间上的平均变化率。
这个定理的证明思路相对简单，我们可以通过引入一个辅助函数g(x) = f(x) -(f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)，来进行证明。
首先，我们可以发现g(a) = g(b)，因为f(a) = f(b)。
其次，由于g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得g'(c) = 0。
进一步计算g'(c)，可以得到g'(c)= f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
因此，拉格朗日中值定理得证。
拉格朗日中值定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来证明函数的性质。
例如，如果一个函数在某个区间上导数恒为零，那么根据拉格朗日中值定理，这个函数在该区间上必然是一个常数函数。
其次，它可以用来求解函数的极值。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个开区间上导数存在且不变号，那么函数在该开区间上的极值点必然存在。
通过求解导数等于零的方程，我们可以找到这些极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用来证明其他重要的数学定理，例如泰勒定理等。
除了理论上的应用，拉格朗日中值定理在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常需要求解某个函数在某个区间上的平均增长率，这时就可以利用拉格朗日中值定理来求解。
关于中值定理证明中辅助函数的构造
关于中值定理证明中辅助函数的构造张芝华（上海师范大学商学院，上海201199）摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。
如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。
关键词：中值定理；辅助函数；构造方法中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=φ（b）-φ（a）b-a⇒f（ξ）+ξf′（ξ）=bf（b）-af（a）b-a上题结论中要证明f（ξ）+ξf′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。
1°将ξ改写成x，f（x）+xf′（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+1x=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。
二、证明的结论中含有ξf′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x k·f（x）1°将ξ改写成x，xf′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+kx=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx k）′=04°上式又可以改写成[lnx k·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=x k·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续，x 0∫f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2x∫f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2x∫f（t）dt=02°将上式化为f（x）x∫f（t）dt+2x=03°上式又可以改写成（lnx∫f（t）dt）′+（lnx2）′=04°上式又可以改写成[lnx2·x∫f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）=x∫x2·x0∫f（t）dt证明：令φ（x）=x∫x2·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0∃ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x·x∫f（t）dt+x2f（x）φ′（ξ）=2ξ·ξ∫f（t）dt+ξ2f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2ξ∫f（t）dt三、证明的结论中含有f′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e kx·f（x）1°将ξ改写成x，f′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne kx）′=04°上式又可以改写成[lne kx·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e kx·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，. All Rights Reserved.f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明（1）∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）∃ξ1，ξ2∈（a ，b ）使f ′（ξ1）-f （ξ1）=0和f ′（ξ2）-f （ξ2）=0证明：（1）不妨设f ′+（a ）＞0，f ′-（b ）＞0由f ′+（a ）＞0⇒∃x 1∈（a ，b ）使f （x 1）＞f （a ）=0由f ′-（b ）＞0⇒∃x 2∈（a ，b ）使f （x 2）＜f （b ）=0⇒f （x 1）·f （x 2）＜0由零点定理得∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）令φ（x ）=e -x·f （x ）∵φ（a ）=φ（c ）=φ（b ）=0∴∃ξ1∈（a ，c ），∃ξ2∈（c ，b ）使φ′（ξ1）=φ′（ξ2）=0而φ′（x ）=e -x·（f ′（x ）-f （x ））=0且e -x≠0f ′（ξ1）-f （ξ1）=0f ′（ξ2）-f （ξ2）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内二阶可导，f （a ）=f （b ）=0，f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明∃η∈（a ，b ）使f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0分析：1°将ξ改写成x ，f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ）=02°将上式化为（f ′（x ）-f （x ））-3（f ′（x ）-f （x ））=03°将（f ′（x ）-f （x ））看成f ′（x ）+kf （x ）=0中的f （x ）4°我们可以令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））证明：令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））∃η1，η2∈（a ，b ）使φ（η1）=φ（η2）=0∃η∈（a ，b ）使φ′（η）=0φ′（x ）=-3e -3x·（f ′（x ）-f （x ））+e -3x（f ″（x ）-f ′（x ））=e -3x（f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ））∵e -3x≠0⇒f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为：1°将要证的结论中ξ改写成x 2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数. All Rights Reserved.。
利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法
，使
。 分析 所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为 即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为 即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a， ，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、 使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一 步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果 进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积 分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅 助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用 柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1） 又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2） 得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积 分法”构造辅助函数
拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用
拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中的重要定理之一，它在解题中有广泛的应用。
拉格朗日中值定理是由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日
在1768年提出的。
拉格朗日中值定理描述了一个连续函数在一个闭区间内的平均变化率等于某一点处的
瞬时变化率。
具体地说，如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间（a, b）上可导，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f(b)−f(a)=(b−a)f′(c)。
拉格朗日中值定理的应用主要涉及以下几个方面：
1. 寻找函数的极值点：通过证明可导函数的导数为零的点，可以判断函数在[a, b]上的极值点。
根据拉格朗日中值定理，如果函数在[a, b]上连续且在(a, b)上可导，并且函
数在[a, b]的两个端点处的导数值异号，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f′(c)=0。
这意味着函数在c处可能有一个极值点。
4. 证明方程的解的存在性：通过构造辅助函数，并利用拉格朗日中值定理，可以证
明某些方程在某些区间内至少存在一个解。
这种方法通常被称为零点定理。
除了以上应用，拉格朗日中值定理还可以用于证明其他定理，如柯西中值定理、罗尔
中值定理等。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以更加深入地理解函数的性质和变化规律，从而解决一些复杂的微积分问题。
拉格朗日中值定理的两种证明
拉格朗日中值定理的两种证明罗萍(重庆师范大学～重庆400047)摘要:给出两种辅助函数的构造方法～运用罗尔定理～证明拉格朗日中值定理。
关键词:罗尔定理,拉格朗日中值定理,辅助函数拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。
理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。
一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。
怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。
罗尔定理:函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点?，使f(?)==o (如图1)。
拉格朗日定理:若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ?，(如图2).使比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。
我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式:我们令 (1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点?，使f(? t就可以了。
由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。
从而，可设辅助函数x)=f(x)-tx。
该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b) 。
根据罗尔定理，F(则在(a，b)内至少存在一点?，使F。
(?)=O。
也就是f(?)-t=O，也即f(? )=t，代人(1 )得结论2.考虑函数我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。
根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点?，使F’ 从而有结论成立.参考文献[]毕永青(拉格朗日中值定理的简单证明与应用[J]，河南教育学院学报，2002(3):13—14([2]杜明芳(拉格朗日中值定理证明方法的思考[J]上北京印刷学院学报，2002(2):56-57([3]同济大学数学教研室主编，高等数学(第三版)作者介绍:罗萍(1973,)，女，重庆铜梁人，重庆师范大学数计学院副教授，主要从事高等数学和金融系统分析方面的研究。
拉格朗日中值定理的证明及应用
精选
1
一、定义：如果函数 f x 满足：
1、在闭区间a, b 上连续
2、在开区间a,b 内可导
则至少存在一点 a,b ，使得
ffbfa
ba
精选
2
二、证明方法
做辅助函数
可以利用弦倾角法做辅助函数
精选
3
y
f x
由图得：
< <
22
oa
tan c sio n sfb b a fa
皮
薄
科学一班五组
成员： 郭浩 刘均 王浚臣
李莎莎 许琴 王旭洪
刘兴隆 董大鹏 昝精航选
10
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理得：fx fx 0 fx x 0 （ 界于 x 0 与 x之间）
则有：fx fx 0 fx x 0
fx 0 fx x 0
fx0M ba
精选
8
令Kfx0M ba，则对任意 xa,b
有 fx K ，即 f x在 a,b 内有界。
精选
9
哥
1+1=？
脸
让我看看 几点了
So easy
精选
5
例1：设 f (x)在 [a , b] 上连续, 在 (a ,b) 内可导,
且 0ab, 证明存在 (a,b), 使
证明
等式
af(b)bf(a) f()f()
ab(ba)
2
证:∵ 所证结论左边为 F b
Fa
af(b)bf(a) fb(b)f(aa)
ab(ba)
ba
设辅助函数
拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造
拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造。
答案：方法1：让F(x)曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0方法1：让F(x)曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0方法2：只需f(x)的左侧端点a点不动，右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法2：只需f(x)的左侧端点a点不动，右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法3：让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法3：让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0拉格朗日的做法，是方法1.方法1让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移，下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F(a)=F(b)=0。
让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移，下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F(a)=F(b)=0。
这个下移的距离是一个跟x有关的函数，这个函数这个下移的距离是一个跟x有关的函数，这个函数就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,解得，k=f(b)−f(a)b−a解得，k=f(b)−f(a)b−ab=f(a)−f(b)−f(a)b−aab=f(a)−f(b)−f(a)b−aa弦方程为：y=f(b)−f(a)b−ax+f(a)−f(b)−f(a)b−aa弦方程为：y=f(b)−f(a)b−ax+f(a)−f(b)−f(a)b−aa合并同类项：y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)合并同类项：y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上即：F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)即：F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)上式与拉格朗日中值定理的辅助函数，完全一致。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日定理的一个特殊情况。
拉格朗日中值定理给出了一个函数在某个区间内的导数和函数值之间的关系。
先来看一下拉格朗日中值定理的数学表述：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
现在我们来证明一下这个定理。
由于f(x)在区间[a,b]上连续，在这个闭区间上必须有最大值M和最小值m。
根据最大最小值存在定理，存在c∈[a,b]使得f(c)=M或f(c)=m。
如果f(c)=M，那么对于任意的x∈[a,b]，有f(x)≤M。
由于f(x)在开区间(a,b)内可导，根据最大值定理，存在d∈(a,b)使得f'(d)=0。
那么根据拉格朗日定理，我们知道存在e∈(a,d)使得f'(e)=(f(d)-f(a))/(d-a)=0。
由于f'(x)在(d,e)内连续，根据介值定理，必然存在g∈(d,e)使得f'(g)=(f(e)-f(d))/(e-d)=0。
这就说明了在g∈(a,b)上，f'(g)=0。
同样地，我们可以证明对于f(c)=m的情形。
拉格朗日中值定理的一个重要应用就是求函数在某个区间上的最值。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
如果f(x)在区间[a,b]上的导数恒大于0（即f'(x)>0），那么函数在[a,b]上的最小值必然在区间的左端点a处取到；如果f(x)在区间[a,b]上的导数恒小于0（即f'(x)<0），那么函数在[a,b]上的最大值必然在区间的左端点a处取到。
另外一个应用是根据拉格朗日中值定理证明其他定理，例如柯西中值定理和罗尔中值定理等。
拉格朗日中值定理给出了函数的导数和函数值之间的关系，通过该定理可以方便地求函数的最值和证明其他定理。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学排在微积分领域具有重要的应用价值，被广泛地应用在数学、物理、经济学等领域。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的推广，它主要是用来研究函数在一个区间内的平均斜率与函数在该区间两端的斜率之间的关系。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
证明：设函数F(x)=f(x)-f(a)-((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a)。
我们可以看到，F(x)是一个线性函数，且F(a)=F(b)=0。
由于F'(c)是x=c点处的导数，我们可以根据导数的定义，得到F'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0。
整理上式可得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，即拉格朗日中值定理成立。
1. 描述函数的变化趋势：根据拉格朗日中值定理，我们可以知道函数在某个区间内的平均斜率与函数在该区间两端的斜率是相等的。
这个定理可以帮助我们描绘函数的变化趋势。
2. 求函数的极值点：根据拉格朗日中值定理，如果函数在某个区间内的导数恒为零，那么可以推断在该区间内存在至少一个极值点。
3. 研究函数的单调性：根据拉格朗日中值定理，可以通过函数在某个区间内的导数的正负来判断函数的单调性。
如果导数恒大于零，则函数在该区间内是递增的；如果导数恒小于零，则函数在该区间内是递减的。
总结：拉格朗日中值定理是微积分中一条重要的定理，它可以用来描述函数的变化趋势，求解函数的极值点，研究函数的单调性，并可以用来求解函数方程的近似解。
在实际应用中，拉格朗日中值定理具有广泛的应用价值，对于研究和解决具体问题有很大的帮助。
中值定理命题证明中的辅助函数构造
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【２】常明．陈球垄基于ｓＧＭＬ，）（ＭＬ的文件结构化研究与实现【Ｊ】 计算机研究与发展，２００２．３９ｆ２）
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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得 的界面，界面上 部可以按照班 级、教师和教室 选择的控件，下 部是具体数据信 息浏览效果．
３ 结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性， 结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便 捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
证明 在区间（口，ｃ）内存在一点ｆ，使
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2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 借助于数形结合的思想构建辅助函数
.....................................
用行列式构造辅助函数 .. .............................................. 借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用
11 12
拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用
4 参考文献 .............................................................13 5 致谢 .................................................................14
8
错 误 ！ 未 定 义 书 签 。 3.3 拉 格 朗 日 中 值 定 理 在 研 究 函 数 性 态 中 的 应 用 ............................. 3.4 3.5 10
.............................
..........................
Keyword:
Lagrange mean value theorem
The construction of auxiliary function
Proof and Application
数学与统计学院
2009 届毕业论文
目
录
1 定理的叙述 ...........................................................1 1.1 罗尔 (Rolle) 中值定理 .............................................1 1.2 拉格朗日 (Larange) 中值定理 ........................................... .............................1 1 2 3 4 ......5 1
关键词 ： 拉格朗日中值定理
辅助函数的构造
证明及应用
Abstract
Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic
theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.
论 文 作 者 签 名 ：
年
月
日数Leabharlann 与统计学院2009 届毕业论文
摘要
拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占
据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数 的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是 其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔 者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造， 应用加以举例。 以及几个方面的
数学与统计学院
2009 届毕业论文
分类号 编 号
本科生毕业论文（设计）
题
目 拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 常 正 军
作者姓名 专 学 业 号
数学与应用数学
291010102 数学应用方向 李 明 图
研究类型 指导教师 提交日期
2013-3-15
数学与统计学院
2009 届毕业论文
论 文 原 创 性 声 明
本人郑重 声明：所 呈交毕业论文，是 本人在指导 教师的 指 导下，独立进行 研究工作所 取得的成果 。除文中 已经注明引 用 的内容外，本论 文不包含任 何其他人或 集体已经 发表或撰写 过 的作品成果。对 本文的研究 做出重要贡 献的个人 和集体，均 已 在文中以明确方 式标明。本 人完全 意识到本声 明的法律结 果由 本人承担。
3 拉格朗日中值定理的应用 ...................................................... 3.1 3.2 拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 ...............................8 .............................9
.............................
借助待定系数法构造辅助函数 .. ........................................ 借助定积分构造辅助函数 .. ...................................... 借助不定积分构造辅助函数 .........................................5 借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 ...................................6