泛函分析练习题第一二章

第一章

1. 设1(0,)n A n

=，求n n n n A A lim ,lim

2. 设E 为R 中的可数集，对任意实数a ，记}|{E x a x E a ∈+=，证明：

（1）},|{E y x y x A ∈-=也是可数集；

（2）证明必存在R a ∈使得φ=⋂a E E .

3．证明[0,1]上连续函数的全体]1,0[C 的基数c .

第二章

1. 证明B A B A ⋂⊂⋂，在R 中举等式不成立的反例.

2. 设n R E ⊂，证明E 是一切包含E 的闭集F 之交.

3. 设n R G G ⊂21,为开集，且φ=⋂21G G ，则φ=⋂21G G .

4. 设}{n G 为n R 中单调递增开集列，令 ∞==1k k G

G ，证明对任意有界闭集G F ⊂，必存在

0k ，当0k k ≥时，有k G F ⊂.