高考研究课(三) 数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减

n 项和
an＋1－an 1 d 可尝试此方法，事实上， ＝ ＝ ＝ anan＋1 danan＋1 danan＋1 1 1 1 － · . a a d ＋ n n 1
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
结 束
[典例]
(2017· 沈阳质检)已知数列 an 是递增的等比数列，且
1 ＝1－ n＋1 ，n∈N*. 2 －1
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
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[方法技巧]
1．用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直 到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
其
中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和 法求{cn}的前 n 项和．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
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[即时训练] 已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q＞1，且 3(an＋2＋an)－10an＋1 ＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；
(k为非零常数)
1 2 4 n － 1
1 n＋
n＋1
1 loga1＋ n
a1＝1， a1＋a4＝9，可解得 a4＝8
(舍去)．
设等比数列{an}的公比为 q，由 a4＝a1q3 得 q＝2， 故 an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N*.
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an＋1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn＝ ，求数列{bn}的前 SnSn＋1 n 项和 Tn.
[ 解] (a11－qn) Sn＝ ＝2n－1， 1－ q
an＋1 Sn＋1－Sn 1 1 又 bn＝ ＝ ＝S － ， SnSn＋1 SnSn＋1 Sn＋1 n 所以 Tn＝b1＋b2＋„＋bn
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ S －S ＋ S －S ＋„＋S －S ＝ － S1 Sn＋1 1 2 n＋ 1 2 3 n
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1 (2)∵bn＋3an是首项为
1，公差为 2 的等差数列，
1 ∴bn＋ an＝1＋2(n－1)． 3 即数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1－3n－1， Sn＝－(1＋3＋32＋„＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)] 1 n ＝－ (3 －1)＋n2. 2
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裂项相消求和法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和． 在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消， 特别是间隔抵消时要注意规律性．
1 一般地，若{an}为等差数列，则求数列 a a 的前 n n＋1
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[方法技巧]
2．常见式的裂项
数列(n为正整数)
1 n n ＋ k
裂项方法 1 1 1 1 ＝kn－n＋k nn＋k 1 1 1 1 － ＝ 4n2－1 2 2n－1 2n＋1 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n
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高考研究课（三） 数列求和的 3 种方法——分组转化、 裂项相消和错位相减
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： 1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成. 2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相 消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.


a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列 an 的通项公式； an＋1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和， bn＝ ， 求数列{bn}的前 SnSn＋1 n 项和 Tn.

[ 解] 又
(1)由题设知 a1a4＝a2a3＝8，
a1＝8， 或 a4＝1
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[方法技巧]
Fra Baidu bibliotek
(1) 若数列 {cn}的通项公式为 cn＝ an± bn ，且 {an} ， {bn} 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列 {cn}的前 n 项和． (2) 若数列 {cn} 的通项公式为
an，n为奇数， cn ＝ bn，n为偶数，
[解]
(1)由题意知数列{an}是首项 a1＝1，公比 q＝2 的等比数列，
所以 an＝2n－1； 因为 b1－a1＝2， b2－a2＝4， 所以数列{bn－an}的公差 d＝2， 所以 bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，所以 bn＝2n＋2n－1.
(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)
1 (2)设bn＋3an是首项为
1，公差为 2 的等差数列，求数列{bn}的通项公
式和前 n 项和 Sn.
解：(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即 3q2－10q＋3＝0.∵公比 q＞1，∴q＝3. 又首项 a1＝3，∴数列{an}的通项公式为 an＝3n.
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分组转化求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数 列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． [典例] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足 b1＝3， b2＝6，且{bn－an}为等差数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.