7-2平面简谐波的波动方程
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2π ω= T
ω
2π 2π = = u Tu λ
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ π 1 2 v= =2 v π
T T
质点的振动速度, 质点的振动速度,加速度
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u
2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
波动方程的推导
设x = 0,0 = 0
时间推 迟方法
yO = Acosωt
yO = Acosωt
点O 的振动状态
t-x/u时刻点 的运动状态 时刻点O 时刻点
点P 振动方程
x yP = Acosω(t ) u
=
x t = u
点P
t 时刻点 P 的运动状态
波动方程
y A
O
x y = A cos ω ( t ) u
是在均匀的、无吸收的介质中各质点 是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同 均匀的
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。 任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
设有一以速度 设有一以速度u 沿 以速度 x 轴正向传播的平面 令原点O 简谐波 . 令原点 的初相为零, 的初相为零,其振 动方程
A = 3×10 m
设波动方程为: 设波动方程为
2
T=
2π
ω
= 0.5s
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( ) + ] T λ
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
y A = 3×10 cos 4 π t
2
m
u
8m C 5m 9m A D
oB
BA
x
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置 平衡位置
简谐波:在均匀的、无吸收的介质中, 简谐波:在均匀的、无吸收的介质中,波源和介质中 各质点都作简谐运动时,在介质中所形成的波. 各质点都作简谐运动时,在介质中所形成的波
平面简谐波:波面为平面的简谐波 平面简谐波:波面为平面的简谐波. 其特点
y = A cos( Bt Cx )
C= 2π
对比
λ
t x y = A cos 2 π ( ) T λ 2 π
λ
= C
2π λ= C
B d = 2 π = dC u= = λ T C
λ
思考: 思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ) 如图简谐波 以余弦函数表示, 以余弦函数表示, 求 O、a、b、c 各 点振动初相位 初相位(t=0). 点振动初相位
0.02
4
O 0.1 0.2 0.3 0.4
x(m )
方法二:也可将 代入波动方程, 方法二 也可将 t = 0.0025(s)代入波动方程, 求得波形方程 代入波动方程 y=0.02cos(5πx-π/2), 然后画出波形图 然后画出波形图
轴正方向传播, 例3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播, 已知振 幅 A = 1.0m , = 2 . 0 s , = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 解 设原点处振动方程为 1)波动方程 )
y
O
u
t
时刻
t + t 时刻
Βιβλιοθήκη Baidu
x
时到t+x时 : 从t时到 时到 时 波线上各质点的相位均向前传播 x 即:
x x
= u x t
(行波) 行波)
已知波动方程如下,求波长、周期和波速. 例1 已知波动方程如下,求波长、周期和波速
y = (5cm) cosπ [(2.50s -1 )t (0.01cm -1 ) x].
t =0
A
t =T/4 +t
y
a
u
b c
t=T/4
O
( π ~ π )
A
λ
x
ω
O
A
ω
ω
O
y
o = π
π a = 2
A b = 0
y
A
O
y
O
A
ω
y
π c = 2
课堂练习: 课堂练习
7-1-6, 7-2-3,7-3-2
作业: 作业: 7-1-5, 7-1-10, 7-3-1 77-
二、横波和纵波 (波的两种基本类型)
如果原点的 初相位不为零
y
A
u
λ
x = 0 , ≠ 0
点 O 振动方程
x
A
O
yO = A cos(ωt + )
波 动 方 程
x y = A cos[ω (t ) + ] u 沿 x 轴正向 u x y = A cos[ω (t + ) + ] u 沿 x 轴负向 u
波动方程的其它形式 y(x, t) = Acosω[(t x) +] u
严格区分两种速度(波速和 严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速 波速 相速) 相速
u=
λ
T
=ν λ
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u
二 波动方程的物理意义
x t x y = A cos[ω (t ) + ] = A cos[2 π( ) + ] u T λ
1 当 x 一定时, 波动方程表示该点质点的简谐 一定时, 振动方程, 振动的相位差. 振动方程,并给出该点与点 O 振动的相位差
1、求出坐标原点 O 振动方程 、
2、得出波动方程 、
yO = A cos(ωt + )
3、波动方程其它形式 、波动方程其它形式
x y = A cos[ ω ( t ) + ] 沿 ox 正向传播 u x y = A cos[ ω ( t + ) + ] 沿 ox 负向传播 u
t x y = Acos[2 π( ) +] T λ
)
m
2)求 t = 1 . 0 s 波形图 ) 波形图.
波形方程 波形图为
t x π y = 1.0 cos[ π( ) ] m 2 2.0 2.0 2 π y =1.0cos( π x) m t = 1 .0 s 2
= 1.0 sin(π x)
m
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t = 1 . 0 s 时刻波形图
y = A cos( ω t + )
O
t = 0
A
y ω
y = 0, v > 0
y = cos( ω t
π
π = 2
x π t x π y = cos[ω(t ) ] = cos[2π ( ) ] u 2 2 2 2
2 所以波动方程为 x t x y = A cos[ ω ( t ) + ] = A cos[ 2π ( ) + ] u T λ
λ
2)平面简谐波的波动方程为 y = A cos( Bt Cx ) ) 为正常数,求波长、波速、 式中 A , B , C 为正常数,求波长、波速、波传播方 的两点间的相位差. 向上相距为 d 的两点间的相位差
x u = Acosω[(t + ) +π ) u 向x 轴负方向传播 = π
2π B= T 2π T= B
8m 5m 9m C B o A D 将点 C 坐标:x=-13m代入波动方程 坐标
x
坐标:x=9m代入波动方程 将点 D 坐标
4)分别求出 BC ,CD 两点间的相位差 )
(以A为 坐标原点 以 为 坐标原点)
u
8m C B 5m 9m D
λ = 10m
oA
x
总结:求解波动方程方法 总结 求解波动方程方法
横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波 横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 垂直的波 (仅在固体中传播 )
特征:具有交替出现的波峰和波谷 特征:具有交替出现的波峰和波谷.
1
ω
1.0
2.0
*
*
t /s
x = 0.5 m 处质点的振动曲线
沿直线传播,波 例4 一平面简谐波以速度u = 20m / s 沿直线传播 波 线上点 A 的简谐振动方程 yA = 3×102 cos4 πt m
u
8m C B 5m 9m D
oA
=0
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
t
波具有空间的周期性) y ( x, t ) = y ( x + λ , t ) (波具有空间的周期性)
波程差 x21 = x2 x1
波线上点x1与点 的位相差 波线上点 与点x2的位相差 与点 波程差与位相差
3 若 x, t 均变化,波动方程表示波形沿传播 均变化, 方向的运动情况. 方向的运动情况
=π
B A = 2π
B =π
λ
5 = 2π 10
2
A = 0
m
y B = 3 × 10 cos(4 π t + π )
3)写出传播方向上点C、点D 的简谐振动方程 )写出传播方向上点 t x 2 以 为 坐标原点) y = 3×10 cos 2 π( ) m (以A为 坐标原点 0.5 10 u
例2
平面简谐波
y = 0.02 cos π (5 x 200t )
式中 x,y 以(m)计,t 以(s)计。 , ) ) (1)求振幅、波长、频率、周期和波速。 )求振幅、波长、频率、周期和波速 波形图。 (2)画 t = 0.0025 s 波形图。 )
设波动方程为: 解:(1)设波动方程为 设波动方程为
x x 0 x = [ω (t ) + ] [ω (t ) + ] = ω = 2π u u u λ
x x = ω = 2 π u λ
ω
=
2π u
波具有时间的周期性-y ( x , t ) = y ( x , t + T ) (波具有时间的周期性 振动周期性)
λ
波线上各点的简谐运动图
§7-2 平面简谐波 的表达式___波动 的表达式 波动 方程
一 平面简谐波的波动方程 介质中任一质点(同一波线上,坐标为 ) 介质中任一质点(同一波线上 坐标为 x)相对其 平衡位置的位移( 平衡位置的位移(坐标为 y)随时间的变化关系, )随时间的变化关系, 称为波动方程. 即 y ( x, t ) 称为波动方程
相位落后法
u
P
A
x
*
λ
x
点 P 比点 O 落后的相位
y o = A cos ω t x = p O = 2π
y p = A cos(ωt + p )
点 O 振动方程 设 x = 0 ,
0
= 0
x x p = 2π = 2π = ω λ Tu u
点 P 振动方程
x
λ
x yp = Acosω(t ) u
波具有时间的周期性-(波具有时间的周期性 振动周期性)
x t x y = A cos[ω (t ) + ] = A cos[2 π( ) + ] u T λ
2 当 一定时,波动方程表示该时刻波线上各点相对 一定时, 其平衡位置的位移, 其平衡位置的位移,即此刻的波形(广角镜头拍照片—定格)
3) x = 0 .5 m 处质点的振动规律并做图 . )
x = 0.5m 处质点的振动方程
t x π y =1.0cos[ π( ) ] 2 2.0 2.0 2
m
注意:旋转矢量转了 注意 旋转矢量转了π/2 旋转矢量转了
y = cos( π t π )
y
3 4
O
m
3 *
y/m
1.0 2 0 -1.0*1 2 * 4 *
u = λ ν = 40(m s
1
)
(2)先求 t = 0 时波形方程并画波形图:
x t y = 0 . 02 cos 2 π 0 .4 0 . 01
= 0.02cos5πx(m) (周期= 波长 λ = 0.4m) :
t = 0→0.0025(s),波向 x 轴正向前进距离 ,
y (m ) x = u t = 40 × 0.0025 = 0.1m = 1 λ
解:(比较系数法)设波动方程为: 比较系数法)设波动方程为
t x y = A cos 2π ( ) T λ
把题中波动方程改写成
比较得
2.50 -1 0.01 -1 y = (5cm ) cos 2π [( s )t ( cm ) x ] 2 2
λ 2cm 2 1 = 200 cm u = = 250cm s T = s = 0.8 s λ = T 0.01 2.5
t x y = A cos 2π T λ
此波可变为
y = 0.02 cosπ (5x 200t )
x t = 0.02 cos 2π 0.01 0.4
比较有
A = 0.02(m ) T = 0.01(s ), λ = 0.4(m ) ,
1 ν = = 100 T
(Hz ) ,
讨论
y
1)给出下列波动方程所表示的波的传播方 )给出下列波动方程所表示的波的传播方 点的初相位. 向和 x = 0 点的初相位 变成波动方程的标准形式 x t x y = A cos ω ( t ) = A cos 2 π ( )
T
t x = Acos[2 π( ) +π ] T λ 向 x 轴正方向传播 = π