第二章 可靠性概率统计知识

随机变量及其概率分布
定义：变量的取值与随机试验的结果相关。 特点：1） 试验之前知道可能取值的范围， 但未知精确值； 2） 取值有一定的概率。 分类：按取值情况分两类：
离散型随机变量：全部取值为有限个或可数无限个。 连续型随机变量：在某区间内任意取值。
离散型随机变量的概率分布
概率分布表：
随机变量X
i
2.中位数：累积概率分布函数值
F(x)=0.5时所对应的x值。记为x0.5。
3.众数：频率f(x)为最大时随机变量x的值。
df ( x) 0 dx
分散性
1.方差：描述分散程度，是随机变量（各组代
表值）与均值差的均方值。 2 2 离散型： X D( X ) ( xi x ) pi


2

2

置信度：反映用子样的试验结果去估计或推断
母体时的可信程度。 可靠度：产品的可靠程度。
成本-可靠性关系
图中所示是与可靠性相关的理论“成本 - 效益”关系的一般表述。尽
管它看起来很直观并在有关质量和可靠性的教科书和教学中频繁出现，
但此图是一种误导。 仔细分析，则不难揭示出此图中的错误。所有的失效都有其原因，所
P( A B) P( B A) P( A) P( A B) P( A B) P( B)
例：已知一批产品共 100 件，其中一等品 40 件，二等 品 50 件，三等品 10 件，设随机抽取 1 件是三等品为 事件A。 1 ）设随机抽取 1 件是二等品为事件 B ，求抽取一件为 二等品或三等品的概率； 2）设抽取一件为三等品后，返回后又抽取一件是二等 品为事件B，求第一次抽取三等品第二次抽得二等品 的概率； 3）设第一次抽取后不返回又抽取一是二等品为事件 B， 求第一次抽三等品第二次抽得二等品的概率。件
连续型：
2 X
D( X ) ( x x ) f ( x)dx
2
i
2.标准差：方差的算术平方根。
X D( X )
3.变异系数：标准差与均值之比。
X CX X
4.极差：观测值中最大值与最小值之差，即
R xmax xmin
数理统计基础
母体：指某一统计分析工作中研究对象的全体。
i 1
如果“事件A1,A2,…,An同时发生”这一事件为D，则称 D为事件A1,A2,…,An的积，记为：
D A1 A 2 A n A i
i 1 n
事件的差和事件的对立（互逆）
如果事件E表示“事件A发生而事件B不发 生”这一事件，则称E为事件A与事件B 的差，记为： E A B 对任一事件A，有
事件的包含与相等
设有事件 A 与 B ，若 A 发生则 B 必发生，则称事件 B 包含 事件A或A包含于B，记为： A B 或 BA 对任何事件A，有 A S
若 A B ，同时 B A ，则称事件A与B相等，记为: A=B
事件的和与积
如果事件C表示“事件A或B至少有一个发生”，则称事件 C为事件A与事件B的和，记为：
A A A A A S
事件的互不相容（互斥）
若事件A与事件B不能同时发生，称A与B 互不相容，记为：
A B
例4：投掷硬币，若A=出现字面现象，B=出现 花面现象，
则：
A B
（自学：事件的运算）
独立事件
若事件A的发生与事件B的发生互不影响， 则称A与B相互独立，为独立事件。
3）乘法定理，A、B相关
50 P( B A) 99 10 50 5 P( AB) P( A) P( B A) 100 99 99
全概率公式
如果事件组A1,A2,…,An满足 A A i j (1) ，i≠j，且P(A )>0，i=1，2，…，n， 即互不相容； n Ai S，即全部事件为必然事件； (2)
理论上由不充分推理得出； 先验知识缺乏； 等可能性的悖论。
2.古典概率应用相当有限 3.古典概率考虑经验程度问题 4.在可能的结果有无穷多条件下有问题
经典例题：盒子数为m,粒子数为n，m>n,随机的把 每一个粒子放进一个盒子，求预先指定的 n个盒子中只有一个粒子的概率.
麦克斯韦、布尔斯曼：每一个粒子可以 区别。 爱因斯坦：粒子是不可区分。 贝比、狄利克雷：粒子不可区分；盒子最多放 一个粒子。
解：1）适用加法定理，A、B事件不相容， 10 50 P ( A) P( B) 100 100 60 P( A B) P( A) P( B) 100 2）要求同时发生，适用乘法定理，在返回的 情况下，A、B相互独立， 10 50 5 P( AB) P( A) P( B) 100 100 100
简称事件A，B，C，… 随机事件特点：一次观测中具有偶然性，即不确定性； 重复试验具有规律性------统计规律。
随机试验与随机事件
随机试验：可以在相同的条件下进行； 试验的全部可能的结果在试验前就能够确定， 只是在一次试验前不知道是哪一个结果出现。
通过试验来检测产品合格率和不合格率问题。 测试一个零件的寿命问题。 随机事件分简单事件和复杂事件。 简单事件：由一种结果构成的事件； 复杂事件：有二个或二个以上简单事件构成的 事件。
第二章可靠性的概率统计知识
概率基础
事件：在研究、设计、生产和使用中出现的一定现象、状态和试验 结果等。 事件按可能性大小，分为三类：
①必然事件：在一定条件下，肯定会发生的事情和现象。---S ②不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事情和现象。- Ф ③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情和现象
若样本容量为n，其观测值为x1,x2,…,xn，则：
1. 样本均值
1 n x xi n i 1 1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1
2
2. 样本方差
3. 样本标准差
s
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
4. 样本变异系数
Cx
s x
x1
注意：一点的概率为零。即P(X=x)=0
随机变量分布的数字特征
1. 均值：分布的平均值。是各取值以其概率
为加权系数的加权算术平均值。 X E ( X ) xi pi 离散型：
E(x)—随机变量x的数学期望 X E ( X ) xf ( x)dx 连续型：

它可以是寿命、尺寸、时间等表征研究对象的某种性 质的数量的全体。
分为： 有限母体； 无限母体。
样本：从母体中随机地抽取一定数目的元素来进行观 测试验的组元。
样本大小（样本容量）：样本中样品的数目n。 n≤20,小样本； n＞30,大样本。
总体分布→理论分布 样品值Xi（样本观测值）→经验分布
样本的数字特征
x1 x2 x3 …
概率P
xi
pi
P 1 且
i i
…
…Hale Waihona Puke Baidu
p1 p2 p3 …
其中， 0≤pi≤1，
数学表达式： pi=P(X=xi)
(i=1,2,…)
用图形表示： （1） 条形图
（2） 累积分布图 F(x)=∑pi ——分布函数
概率分布直方图
pi ——频率密度，∑pi =1 f ( xi ) x
的性质的推断（点推断）。 例：随机测试，正品率82%
区间估计：以数值区间（范围）和母体的真正数值可
能存在于该区间的概率来表现的，由子样的性质对母 体性质的推断（区间推断）。
例：正品率在 80% ～ 85% 之间的概率为 95% （置信度或置信水平） 置信度：1-α α —显著性水平（人为给定） 置信区间 例：子样均值对于母体均值μ 的置信度，在 x C , x C 内为1-α 。
若A1,A2,…,An为一完备事件组，B为任一 事件，且P(B)>0，则有：
P( Ai B) P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
i 1 i i
n
例11：同上例，求抽得次品为某厂生产的概率。 解：利用逆概公式，可得
1 0.02 P( A1 B) 2 0.4 0.025 1 0.02 P( A2 B) 4 0.2 0.025 1 0.04 P( A3 B) 4 0.4 0.025
i 1
i
则称该事件组为完备事件组。 n 对任一事件B，有： P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
例：设有一批产品由三个工厂生产。其中1/2由第一家 工厂生产，另外1/2由其它两家各生产一半。已知第 一、第二两厂生产的有2%次品，第三个厂生产的有 4%次品，问：从此批产品中任取一产品，拿到次品 的概率是多少？ 解： 全部产品分三家生产（完备事件组）：A1，A2，A3
独立事件应用于条件概率
互不相容事件和独立事件是两个概念。
概率的三种定义
概率：表示事件发生可能性大小的数量指标。
概率: 事件A的概率是赋予这一事件的一个数 P(A)
（柯尔莫戈洛夫定律）
频率：在n次试验中，事件A发生的次数为Na次 时，事件A发生的频率为：
显然：
nA fn A n 0 fn A 1
以应该询问“与无所作为的代价相比，预防和纠正这些原因的成本是
多少？”当对每个潜在的或实际的原因以这种方式进行分析时，几乎 总是清楚地表明，随着可靠性的提高，总费用会不断下降。换句话说， 用在有效的可靠性工作方面的所有工作都是一种投资，通常也都会在 短期内就有较大的回报。
传统观点

现代观点

图2-1
全寿命周期费用与可靠性的关系
左图是与可靠性相关的理论“成本-效益”关系的传统表述。 尽管它看起来很直观并在有关质量和可靠性的教科书和教学中频繁 出现，但却不总能真实地反映总费用与可靠性之间的客观规律。
数理统计量
应用非常广泛(可靠性试验、数据分析) 由n个独立的分布的元件构成的系统，各 元件的强度分别为x1,x2,…xn，这些随机变 量都是独立同分布的随机变量。
发生函数方法 用各种指数形式函数来表达概率问题
参数估计
推断（统计推断）：从子样的性质推测母体的性质。 点估计：用一个数值表现由子样的性质对母体
概率的互补定理
某一事件发生和不发生的概率之和必然是1，即：
P A P A 1

例8：若某产品或设备出现故障的概率为F(t)，则 其无故障地发挥规定功能即正常工作的概率（可 靠度）为： R(t)=1-F(t)
条件概率
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称 为事件B发生的条件概率。记为：P（B∣A）。
连续型随机变量的概率分布
上图n→∞，Δ x→0时，
f（x）→概率密度函数，简称分布密度



f ( x)dx 1
规定： F ( x) P( X x) (-∞<x<+∞) 累积分布函数，简称分布函数 x 关系： F ( x) P( X x) f ( x)dx

dF ( x) f ( x) F ( x) dx x2 P( x1 x x2 ) f ( x)dx F ( x2 ) F ( x1 )
nA 古典概率的计算 针对于简单事件的问题（不严密） n
古典概率概念的模糊引起计算的模糊。 例题:求两个骰子出现点数之和等于7的概率。 （1）把骰子所有点数和作为可能的结果1/11 （2）把骰子所有点数对作为可能的结果3/21 （3）区分骰子的点数，考虑顺序3/36
古典概率出现问题的原因：
1.对等可能性理解不充分
C A B
若“n个事件A1,A2,…,An中至少有一个事件发生”这一 事件为C，则C为事件A1,A2,…,An的和，记为： n 若事件D表示“事件A与事件B同时发生”这一事件，则 称D为事件A与事件B的积，记为：
D A B AB
C A1 A 2 A n U A i
P（A1）=1/2， P（A2）=1/4， P（A3）=1/4
设B为拿到次品事件，则： P(B∣A1)=2% P(B∣A2)=2% P(B∣A3)=4% n 拿到次品的概率为： P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
=1/2*2%+1/4*2%+1/4*4%=0.025
逆概公式（贝叶斯公式）