中考数学压轴题(四)旋转问题(附一元二次方程应用题经典题型解析汇总)

旋转问题
考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。

注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、直线的旋转
1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N
x AB =． （1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？
2、（2009年河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 3、（2009年北京市） 在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o
得到线段EF (如图1)
（1）在图1中画图探究：
C
（第1题）
①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o
得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；
②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o
得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD =6,tanB =
4
3
,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
分析：此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。

解决此类问题，一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。

可从简单、特殊的情况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的正确途径，是我们研究数学问题，进行猜想和证明的思维方法。

华罗庚说：善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。

提示：（1）运用三角形全等，
（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。

4、（2009 黑龙江大兴安岭） 已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．
（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
二、角的旋转 5、（2009年中山）（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的
1
3
． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，
求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的
13
． 图2 图3
图1
D
A D
C
B P
M
Q
60
6、（2009襄樊市）如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中：
①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．
提示:第（3）①问，两种情形---- P M ∥AB , P M ∥CD
第（3）②问， 求出y 最小值为3，此时x=PC=2,点P 到BC 中点，P M ⊥BC .
6、（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．
（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为6
5
，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：第（3）问，△PGC 为等腰三角形按哪两边相等分类讨论，求出点P 坐标，再求点Q 坐标。

三、三角形的旋转
7、（2009年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560
B.680
C.1240
D.1800
8、（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．
9、（2009河池）如图9，ABC △的顶点坐标分别为(36)(13)A B ，，，，(42)C ，．若将ABC △绕C 点顺时针旋转90o
，得到A B C '''△，则点A 的对应点A '的坐标为 ．
C (F ) D
图（2）
1
C
A
6题图 x
B '
A C A
B 10、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1Ð与2Ð的和总是保持不变，那么1Ð与2Ð的和是_______度．
11、（2009年台州市）如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ． 三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 ．
12、（2009年凉山州）
将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，304cm BAC AB ∠==°，，则图中阴影部分面积为 cm 2．
13、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，再将
△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到D A 1B 2C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2。

2
1
（12题）
A D G
E
C
B
14、(2009年达州)如图7，在△ABC 中，AB ＝2BC ，点D 、点E 分别为AB 、AC 的中点，连结DE ，将△ADE 绕点E 旋转180︒得到△CFE .试判断四边形BCFD 的形状，并说明理由. 15、（2009襄樊市）如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
16、（2009年株洲市）如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，将OAB ∆绕点O 沿逆
时针方向旋转90︒得到11OA B ∆． （1）线段1OA 的长是 ，
1AOB ∠的度数是 ；
（2）连结1AA ，求证：四边形11OAA B 是平行四边形；
A D
F
C
E
G
B
图A
B
C
（3）求四边形11OAA B 的面积．
17、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠=°，且2tan 2CD AD ABC =∠=，，过点D 作AB DE ∥，交BCD ∠的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC CD =；
（2）将BCE △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG.．求证：CD 垂直平分EG . （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．即BC CD =． 18、（2009年山西省）
在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED 的长．
提示：（1）考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系； （2）在特殊条件下， 得到线段间的特殊关系。

19、（2009年牡丹江）
已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，
A
D
B
E
C
F
1
A 1
A
D
B
E
C F
1
A 1
C A
E C
F B D 图1 图3 A D F E
C B A
D B C
E 图2
F
它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如
图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，
请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 分析：此类题的特点是-----提供问题的一个特殊的情况（给出命题的题设、结论），让你探索使结论成立的证明过程，然后通过运动变换,使题设条件改变，图形随之发生变化产生新的问题情景，再去探究新情景中原来的结论是否成立，还是又有新的关系。

解题方法思路一般是----先探究特殊情景下的解题方法，再内化感悟、类比、猜想与探究。

（针对特殊情景解题方法需添加什么辅助线，用到什么定理，是什么方法思想，能否直接模仿，还是要创新） 提示：图2、图3按退还到图1位置作辅助线，证明方法思路一样。

20、（2009年常德市）
如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．
（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 提示：（1）抓住不变量易解，
（2）能证得△ADC 与 △AEB 是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。

21、（2009东营）
已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，
CG ．
F
B A
D
C
E
G
图①
F
A
D
C
E
G
图②
图9 图10 图11
E
F G
O
B
A x
y
D
O
B
A x
y
C
y=kx +1
图（9）-1
（1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。

（2）作适当辅助线，构造全等三角形。

也可连接GA,得GC=GA,过点G 作AB 的垂线，证GE=GA.
22、（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt △OAB 斜边OB 在y 轴上，且OB ＝4．
（1）画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的三角形； （2）求线段OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB 与点B 轨迹所围成的封闭图形的面积）．
23、（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线2
3y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与
y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；
（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．
图22
D
F
A
C 图③
提示：第（3）问类似09武汉中考压轴题，利用好中心对称的性质-----对应边平行且相等。

四、四边形的旋转 24、（2009年山东青岛市）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．
25、（2009呼和浩特）如图所示，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，． （1）求证：BE DG =．
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
26、（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数； MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，
（3）设
有变化？请证明你的结论.
p 值是否
C '
B '
x
E F
G D A B
C
提示：延长BA 交y 轴于点E 。

第（3）问， 证明△OA E ≌△OCN , △OM N ≌△OME, 得MN=AM+CN. 27、（2009年宁波市）
如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，
将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．
（1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图1，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使1
2
BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
提示:第（3）问，过点Q 作QH ⊥OA ＇于H ，连接OQ ，则QH=OC ＇=OC,易证PQ=OP, 设BP=x ，BQ=2x ；按旋转时点P 在点B 左、右两种情况分类讨论。

28、（2009年湖北荆州）
如图①，已知两个菱形ABCD 和EFGH 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形（菱形ABCD 与菱形EFGH 的位似比为2︰1），∠BAD ＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线2
13
y x =经过AD 的中点M ． ⑴填空：Ａ点坐标为 ，D 点坐标为 ；
⑵操作：如图②，固定菱形ABCD ，将菱形EFGH 绕O 点顺时针方向旋转α度角(090)α<<o
o
，并延长
）
（图2）
（图1）
（备用图） （第27题）
OE 交AD 于P ，延长OH 交CD 于Q ．
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP 是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP ＝x ，四边形OPDQ 的面积为s ，求s 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围． 五、抛物线的旋转
29、(2009年宁德市)如图，已知抛物线C 1：()522
-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点
A 在点
B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式； （3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
30、（2009年四川凉山州）如图，已知抛物线2
y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；
（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．
（第30题）
一元二次方程应用题经典题型汇总
同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.
一、增长率问题
例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，
即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.
答这两个月的平均增长率是10%.
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.
二、商品定价
例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解这个方程，得a1＝25，a2＝31.
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
答需要进货100件，每件商品应定价25元.
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
解设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.
答第一次存款的年利率约是2.04%.
说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.
则根据题意，得1
2
(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.
解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.
所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.
说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
五、古诗问题
例5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答周瑜去世的年龄为36岁.
说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.
六、象棋比赛
例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手
的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为1
2
n(n－1)局.由于每局共计2分，所
以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.
答参加比赛的选手共有45人.
说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.
则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.
整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.
八、等积变形
例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
解 都能.（1）设小路宽为x ，则18x +16x －x 2＝
23
×18×15，即x 2－34x +180＝0， 解这个方程，得x ＝
34436
2
，即x ≈6.6. （2）设扇形半径为r ，则3.14r 2＝
23
×18×15，即r 2≈57.32，所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.
九、动态几何问题
例9 如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？
（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
图1
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.
图2
Q
P
C B
图4
图3
解因为∠C＝90°，所以AB10（cm）.
（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.
则根据题意，得1
2
·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得1
2
(6－x)·2x＝
1
2
×
1
2
×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.
十、梯子问题
例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解8（m）.
（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.
则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.
则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.
（3）设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.
则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11 如图5所示，我海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航．一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
解（1）F 位于D 的正南方向，则DF ⊥BC .因为AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，所以DF ＝1
2
AB ＝100海里，所以，小岛D 与小岛F 相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE ＝x 海里，AB +BE ＝2x 海里，EF ＝AB +BC －(AB +BE )－CF ＝(300－2x )海里.
在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程x 2＝1002+(300－2x )2，整理，得3x 2－1200x +100000＝0. 解这个方程，得x 1＝200
118.4，x 2＝
. 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12 如图6所示，正方形ABCD 的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n （n 为整数，且2≤n ≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n ×n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n ×n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n －1)×(n －1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n 的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S 1，未被盖住的面积为S 2. ①当n ＝2时，求S 1∶S 2的值；
F E
D
C B A
图5。