中考数学压轴题(四)旋转问题(附一元二次方程应用题经典题型解析汇总)
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旋转问题
考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变,对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、直线的旋转
1、(2009年浙江省嘉兴市)如图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,4=MN ,1=MA ,1>MB .以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N
x AB =. (1)求x 的取值范围;
(2)若△ABC 为直角三角形,求x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积?
2、(2009年河南)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°, ∠B =60°,BC =2.点0是AC 的中点,过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α.
(1)①当α=________度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为_________; ②当α=________度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为_________; (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由. 3、(2009年北京市) 在ABCD Y 中,过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o
得到线段EF (如图1)
(1)在图1中画图探究:
C
(第1题)
①当P 为射线CD 上任意一点(P 1不与C 重合)时,连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o
得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系,并加以证明;
②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时,连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o
得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论. (2)若AD =6,tanB =
4
3
,AE =1,在①的条件下,设CP 1=x ,S 11P FC V =y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
分析:此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上,条件需要补充,结论需要探究,解题方法、思考方向有待搜寻。
解决此类问题,一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。
可从简单、特殊的情况入手,由此获得启发和感悟,进而找到解决问题的正确途径,是我们研究数学问题,进行猜想和证明的思维方法。
华罗庚说:善于退,足够地退,退到最原始而不失重要性的地方,这是学好数学的一个诀窍。
提示:(1)运用三角形全等,
(2)按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论;发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。
4、(2009 黑龙江大兴安岭) 已知:在ABC ∆中,AC BC >,动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转,且BC AD =,连结DC .过AB 、DC 的中点E 、F 作直线,直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N . (1)如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合,取AC 的中点H ,连结HE 、HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论BNE AMF ∠=∠(不需证明).
(2)当点D 旋转到图2或图3中的位置时,AMF ∠与BNE ∠有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.
二、角的旋转 5、(2009年中山)(1)如图1,圆心接ABC △中,AB BC CA ==,OD 、OE 为O ⊙的半径,OD BC ⊥于点F ,OE AC ⊥于点G ,求证:阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的
1
3
. (2)如图2,若DOE ∠保持120°角度不变,
求证:当DOE ∠绕着O 点旋转时,由两条半径和ABC △的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是ABC △的面积的
13
. 图2 图3
图1
D
A D
C
B P
M
Q
60
6、(2009襄樊市)如图,在梯形ABCD 中,24AD BC AD BC ==∥,,,点M 是AD 的中点,MBC △是等边三角形.
(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;
(2)动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且60MPQ =︒∠保持不变.设PC x MQ y ==,,求y 与x 的函数关系式; (3)在(2)中:
①当动点P 、Q 运动到何处时,以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当y 取最小值时,判断PQC △的形状,并说明理由.
提示:第(3)①问,两种情形---- P M ∥AB , P M ∥CD
第(3)②问, 求出y 最小值为3,此时x=PC=2,点P 到BC 中点,P M ⊥BC .
6、(2009年重庆市)已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =2,OC =3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E .
(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为6
5
,那么EF =2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:第(3)问,△PGC 为等腰三角形按哪两边相等分类讨论,求出点P 坐标,再求点Q 坐标。
三、三角形的旋转
7、(2009年邵阳市)如图,将Rt △ABC(其中∠B =340,∠C =900)绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置,使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上,那么旋转角最小等于( ) A.560
B.680
C.1240
D.1800
8、(2009年包头)如图,已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点B C F D 、、、在同一条直线上,且点C 与点F 重合,将图(1)中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图(2)的位置,点E 在AB 边上,AC 交DE 于点G ,则线段FG 的长为 cm (保留根号).
9、(2009河池)如图9,ABC △的顶点坐标分别为(36)(13)A B ,,,,(42)C ,.若将ABC △绕C 点顺时针旋转90o
,得到A B C '''△,则点A 的对应点A '的坐标为 .
C (F ) D
图(2)
1
C
A
6题图 x
B '
A C A
B 10、(2009年郴州市)如图,桌面上平放着一块三角板和一把直尺,小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘,他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转,还是将三角板沿直尺平移,1Ð与2Ð的和总是保持不变,那么1Ð与2Ð的和是_______度.
11、(2009年台州市)如图,三角板ABC 中,︒=∠90ACB ,︒=∠30B ,6=BC . 三角板绕直角顶点C 逆时针旋转,当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动,则B 点转过的路径长为 .
12、(2009年凉山州)
将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上,若90BCA ∠=°,304cm BAC AB ∠==°,,则图中阴影部分面积为 cm 2.
13、(2009年郴州市)如图6,在下面的方格图中,将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1,再将
△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到D A 1B 2C 2,请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2。
2
1
(12题)
A D G
E
C
B
14、(2009年达州)如图7,在△ABC 中,AB =2BC ,点D 、点E 分别为AB 、AC 的中点,连结DE ,将△ADE 绕点E 旋转180︒得到△CFE .试判断四边形BCFD 的形状,并说明理由. 15、(2009襄樊市)如图所示,在Rt ABC △中,90ABC =︒∠.将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △,点E 在AC 上,再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △.连接AD . (1)求证:四边形AFCD 是菱形; (2)连接BE 并延长交AD 于G ,连接CG ,请问:四边形ABCG 是什么特殊平行四边形?为什么?
16、(2009年株洲市)如图,在Rt OAB ∆中,90OAB ∠=︒,6OA AB ==,将OAB ∆绕点O 沿逆
时针方向旋转90︒得到11OA B ∆. (1)线段1OA 的长是 ,
1AOB ∠的度数是 ;
(2)连结1AA ,求证:四边形11OAA B 是平行四边形;
A D
F
C
E
G
B
图A
B
C
(3)求四边形11OAA B 的面积.
17、(2009烟台市)如图,直角梯形ABCD 中,BC AD ∥,90BCD ∠=°,且2tan 2CD AD ABC =∠=,,过点D 作AB DE ∥,交BCD ∠的平分线于点E ,连接BE . (1)求证:BC CD =;
(2)将BCE △绕点C ,顺时针旋转90°得到DCG △,连接EG..求证:CD 垂直平分EG . (3)延长BE 交CD 于点P .求证:P 是CD 的中点.即BC CD =. 18、(2009年山西省)
在ABC △中,2120AB BC ABC ==∠=,°,
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△,交AC 于点E ,11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段1EA 与FC 有怎样的数量关系?并证明你的结论; (2)如图2,当α30=°时,试判断四边形1BC DA 的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED 的长.
提示:(1)考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系; (2)在特殊条件下, 得到线段间的特殊关系。
19、(2009年牡丹江)
已知Rt ABC △中,90AC BC C D ==︒,∠,为AB 边的中点,90EDF ∠=°,EDF ∠绕D 点旋转,
A
D
B
E
C
F
1
A 1
A
D
B
E
C F
1
A 1
C A
E C
F B D 图1 图3 A D F E
C B A
D B C
E 图2
F
它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F .当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时(如
图1),易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△.
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,
请给予证明;若不成立,DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明. 分析:此类题的特点是-----提供问题的一个特殊的情况(给出命题的题设、结论),让你探索使结论成立的证明过程,然后通过运动变换,使题设条件改变,图形随之发生变化产生新的问题情景,再去探究新情景中原来的结论是否成立,还是又有新的关系。
解题方法思路一般是----先探究特殊情景下的解题方法,再内化感悟、类比、猜想与探究。
(针对特殊情景解题方法需添加什么辅助线,用到什么定理,是什么方法思想,能否直接模仿,还是要创新) 提示:图2、图3按退还到图1位置作辅助线,证明方法思路一样。
20、(2009年常德市)
如图9,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,M ,N 分别EB ,CD 的中点,易证:CD=BE ,△AMN 是等边三角形.
(1)当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时,CD=BE 是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时,△AMN 是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB =2AD 时,△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比;若不是,请说明理由. 提示:(1)抓住不变量易解,
(2)能证得△ADC 与 △AEB 是直角三角形,再用勾股定理和相似三角形的性质求解。
21、(2009东营)
已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,
CG .
F
B A
D
C
E
G
图①
F
A
D
C
E
G
图②
图9 图10 图11
E
F G
O
B
A x
y
D
O
B
A x
y
C
y=kx +1
图(9)-1
(1)求证:EG =CG ;
(2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
提示:考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。
(2)作适当辅助线,构造全等三角形。
也可连接GA,得GC=GA,过点G 作AB 的垂线,证GE=GA.
22、(2009年甘肃庆阳)(8分)如图14,在平面直角坐标系中,等腰Rt △OAB 斜边OB 在y 轴上,且OB =4.
(1)画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的三角形; (2)求线段OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积(即旋转前后OB 与点B 轨迹所围成的封闭图形的面积).
23、(2009年广西梧州)如图(9)-1,抛物线2
3y ax ax b =-+经过A (1-,0),C (3,2-)两点,与
y 轴交于点D ,与x 轴交于另一点B .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分,求k 的值;
(3)如图(9)-2,过点E (1,1)作EF ⊥x 轴于点F ,将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ (点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应),使点M 、N 在抛物线上,作MG ⊥x 轴于点G ,若线段MG ︰AG =1︰2,求点M ,N 的坐标.
图22
D
F
A
C 图③
提示:第(3)问类似09武汉中考压轴题,利用好中心对称的性质-----对应边平行且相等。
四、四边形的旋转 24、(2009年山东青岛市)如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 .
25、(2009呼和浩特)如图所示,正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上,连接BE DG ,. (1)求证:BE DG =.
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
26、(2009年济宁市)在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上,点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转,当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交直线y x =于点M ,BC 边交x 轴于点N (如图). (1)求边OA 在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN 和AC 平行时,求正方形OABC 旋转的度数; MBN ∆的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中,
(3)设
有变化?请证明你的结论.
p 值是否
C '
B '
x
E F
G D A B
C
提示:延长BA 交y 轴于点E 。
第(3)问, 证明△OA E ≌△OCN , △OM N ≌△OME, 得MN=AM+CN. 27、(2009年宁波市)
如图1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(80)-,,直线BC 经过点(86)B -,,(06)C ,,
将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C ''',此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q .
(1)四边形OABC 的形状是 , 当90α=°时,
BP
BQ
的值是 ; (2)①如图1,当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时,求
BP
BQ
的值; ②如图,当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时,求OPB '△的面积.
(3)在四边形OABC 旋转过程中,当0180α<≤°时,是否存在这样的点P 和点Q ,使1
2
BP BQ =?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:第(3)问,过点Q 作QH ⊥OA '于H ,连接OQ ,则QH=OC '=OC,易证PQ=OP, 设BP=x ,BQ=2x ;按旋转时点P 在点B 左、右两种情况分类讨论。
28、(2009年湖北荆州)
如图①,已知两个菱形ABCD 和EFGH 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形(菱形ABCD 与菱形EFGH 的位似比为2︰1),∠BAD =120°,对角线均在坐标轴上,抛物线2
13
y x =经过AD 的中点M . ⑴填空:A点坐标为 ,D 点坐标为 ;
⑵操作:如图②,固定菱形ABCD ,将菱形EFGH 绕O 点顺时针方向旋转α度角(090)α<<o
o
,并延长
)
(图2)
(图1)
(备用图) (第27题)
OE 交AD 于P ,延长OH 交CD 于Q .
探究1:在旋转的过程中是否存在某一角度α,使得四边形AFEP 是平行四边形?若存在,请推断出α的值;若不存在,说明理由;
探究2:设AP =x ,四边形OPDQ 的面积为s ,求s 与x 之间的函数关系式,并指出x 的取值范围. 五、抛物线的旋转
29、(2009年宁德市)如图,已知抛物线C 1:()522
-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点(点
A 在点
B 的左边),点B 的横坐标是1. (1)求P 点坐标及a 的值;
(2)如图(1),抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式; (3)如图(2),点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点(点E 在点F 的左边),当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.
30、(2009年四川凉山州)如图,已知抛物线2
y x bx c =++经过(10)A ,,(02)B ,两点,顶点为D . (1)求抛物线的解析式;
(2)将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为1B ,顶点为1D ,若点N 在平移后的抛物线上,且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍,求点N 的坐标.
(第30题)
一元二次方程应用题经典题型汇总
同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明.
一、增长率问题
例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,
即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).
答这两个月的平均增长率是10%.
说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.
二、商品定价
例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,
解这个方程,得a1=25,a2=31.
因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.
所以350-10a=350-10×25=100(件).
答需要进货100件,每件商品应定价25元.
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)
解设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.
解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.
答第一次存款的年利率约是2.04%.
说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
解设渠道的深度为x m,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.
则根据题意,得1
2
(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0.
解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.
所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.
答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.
五、古诗问题
例5读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.
则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.
当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;
当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
答周瑜去世的年龄为36岁.
说明本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.
六、象棋比赛
例6象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手
的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为1
2
n(n-1)局.由于每局共计2分,所
以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).
答参加比赛的选手共有45人.
说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.
则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.
整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.
当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;
当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.
答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.
八、等积变形
例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m )
(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.
解 都能.(1)设小路宽为x ,则18x +16x -x 2=
23
×18×15,即x 2-34x +180=0, 解这个方程,得x =
34436
2
,即x ≈6.6. (2)设扇形半径为r ,则3.14r 2=
23
×18×15,即r 2≈57.32,所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.
九、动态几何问题
例9 如图4所示,在△ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动,点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.
(1)如果P 、Q 同时出发,几秒钟后,可使△PCQ 的面积为8平方厘米?
(2)点P 、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
图1
如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元.
如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元.
图2
Q
P
C B
图4
图3
解因为∠C=90°,所以AB10(cm).
(1)设x s后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=x cm,PC=(6-x)cm,CQ=2x cm.
则根据题意,得1
2
·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.
所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意,得1
2
(6-x)·2x=
1
2
×
1
2
×6×8.整理,得x2-6x+12=0.
由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.
十、梯子问题
例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.
(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?
(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?
(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?
解8(m).
(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.
则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0,
解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去),
所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.
(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动x m.
则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0.
解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).
所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.
(3)设梯子顶端向下滑动x m时,底端向外也滑动x m.
则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x=0,
解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.
所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.
说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11 如图5所示,我海军基地位于A 处,在其正南方向200海里处有一重要目标B ,在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ,小岛D 恰好位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航.一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.
(1)小岛D 和小岛F 相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)
解(1)F 位于D 的正南方向,则DF ⊥BC .因为AB ⊥BC ,D 为AC 的中点,所以DF =1
2
AB =100海里,所以,小岛D 与小岛F 相距100海里.
(2)设相遇时补给船航行了x 海里,那么DE =x 海里,AB +BE =2x 海里,EF =AB +BC -(AB +BE )-CF =(300-2x )海里.
在Rt △DEF 中,根据勾股定理可得方程x 2=1002+(300-2x )2,整理,得3x 2-1200x +100000=0. 解这个方程,得x 1=200
118.4,x 2=
. 所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.
说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12 如图6所示,正方形ABCD 的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n (n 为整数,且2≤n ≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n ×n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n ×n 个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n -1)×(n -1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题:
(1)由于正方形纸片边长n 的取值不同,•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:
(2)设正方形ABCD 被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S 1,未被盖住的面积为S 2. ①当n =2时,求S 1∶S 2的值;
F E
D
C B A
图5。