计算方法引论课后答案.doc.pdf

3
R
dr V dV dlnV d ln R3 3 d ln R 3 d ln R 3dr R 3a 1% ,则 a 1 1% .
V
3
第二章 插值法与数值微分
1. 设 y x ,在 x 100,121,144 三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立 y x 的
二次插值多项式,并用此多项式计算 115 的近似值,且给出误差估计.用其中的任意两点,构
L2
x
x 144 100 144
10
x 100 144 100
12
所以 115 L1 115 10.6818 .
解: 已知 dx ,所以 ln x 的绝对误差 d ln x dx .
x
x
11. 设 x 的相对误差为 % ,求 xn 的相对误差.
解:
dxn xn
nxn1dx xn
nd x x
n % .
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为 1%,问度量半径 R 时允许的相对误差限如何?
解: 已知V 4 R3 ,设 dr R dR a ,则要使得
解: 已知 da 1 104 , db 1 103 ,
2
2
又 a b 0.2053210 ,
d a b da db da db 1 104 1 103 0.55103 1 102 ,
2
2
2
所以 a b 有三位有效数字;
因为 a b 0.1047571410 ,
d a b b da a db 0.947 1 104 1.1062 1 103 0.60045103 1 102
10
x 121
100 100
x 144 121 144
11
x 121 x 100 144 121144 10012
所以 115 L2 115 10.7228 .
误差 R2 x
f
3!
x
x0
x
x1
x
x2
,
x0
,
x1,
x2
,
,所以
0.0006555 R2 115 0.001631
利用前两个节点建立线性插值函数可得:
造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,计算 115 的近似值,并分析其结果不同的原
因.
解: 已知 x0 100, x1 121, x2 144; y0 10, y1 11, y2 12 ,
建立二次 Lagrange 插值函数可得:
L2
x
x 100
121 121
x 144 100 144
2
2
2
所以 a b 有三位有效数字.
6.
设 y1
0.9863, y2
0.0062 ,是经过舍入后作为 x1, x2 的近似值.求
1, y1
1 y2
的 计算值 与真
值的相对误差限及 y1 y2 与真值的相对误差限.
解:
已知 x1
y1 dx1, x2
y2
dx2
,
dx1 =
1 2
10-4
,dx2
3.141587725... 这个去掉 的无穷乘积公式中第 9 项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
2a 200
8. 用观测恒星的方法求得某地维度为 45 02 (读到秒),试问:计算 sin 将有多大误差?
解:
d sin cos d cos
45 0 2
1 2
.
9 . 真空中自由落体运动距离 s 与时间的关系由公式 s 1 gt2 确定,g 是重力加速度.现在假 2
设 g 是准确的,而对 t 的测量有 0.1s 的误差,证明 t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差
7. 正方形的边长约为 100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过 1cm2.
解 : 设 正 方 形 面 积 为 S, 边 长 为 a, 则 S=a2. 所 以 要 使 : ds da2 2ada 1 , 则 要 求 da 1 1 0.5102 .所以边长的误差不能超过 0.5102 cm.
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若 1/4 用 0.25 表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 a 1.1062, b 0.947 ,是经过舍入后得到的近似值,问: a b, a b 各有几位有效数字?
却减小.
证明:
因为:
ds
d
1 2
gt
2
gtdt; ds s
gtdt s
gtdt 1 gt2
2 dt . t
ds 与 t 成正比,
ds
与 t 成反比,
s
2
所以当 dt 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设 x 0 , x 的相对误差为 ,求 ln x 的绝对误差.
第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式 A 4 r 2 计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到 ,我们利用无穷乘积公式计算 的值:
2 2 2 ... q1 q2
其中
q1 2, qn1 2 qn , n 2,3,... 我们取前 9 项的乘积作为 的近似值,得
L1
x
Байду номын сангаас
x 121 100 121
10
x 100 121 100
11
所以 115 L1 115 10.7143 .
利用后两个节点建立线性插值可得:
L1
x
x 144 121 144
11
x 121 144 121
12
所以 115 L1 115 10.7391.
利用前后两个节点建立线性插值可得:
1 10-4 , 2
dr
1 x1
dr
x1
dx1 x1
dx1 y1
1 104 2 0.9863
0.50104 ;
dr
1 x2
dr
x2
dx2 x2
dx2 y2
1 104 2
0.0062
0.81102 ;
dr x1 x2 dr x1 dr x2 0.50104 0.81102 0.82102 .