有限元法基础知识介绍

弹性体
有限元模型
有限元法的基本计算步骤
3.单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按 原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载 荷与结点位移的关系，以解出节点位移，这个过程 为整体分析。
Pi y Pi x
i节点的节点力：
Fix(1) + Fix(2) + Fix(3) = ∑ Fix( e )
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞 机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算， FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重 视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大 量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析 程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝 尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系 统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世 界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
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单元节点力
Fiy(1) + Fiy(2) + Fiy(3) = ∑ Fiy( e )
e
i节点的平衡方程： 集中力
Fix( e ) = Pi x ∑ e (e) y ∑ Fiy = Pi e
有限元法的基本计算步骤
3.单元组集
最终，将所有单元组合起来得到整体的方程： [K]{δ}={R}
− Ka 0 u1 F Ka 1 u F2 = − Ka Ka + Kb − Kb 2 F 0 Kb u3 − Kb 3
线性静力有限元分析步骤
结构离散 施加载荷 形成单元刚度矩阵
求解方程
装配总体刚度矩阵
计算位移、 计算位移、应力等
[K]——整体刚度矩阵； {δ}——全部结点位移组成的列阵； {R}——全部结点荷载组成的 列阵。
在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点 的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。 有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定 性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程 ： [M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}
有限元法的基本计算步骤
物体离散化 单元特性分析
分析单元的力学性质 选择位移模式 计算等效节点力
单元组集 求解未知节点位移
有限元法的基本计算步骤
1. 物体离散化
– 单元选择：应根据连续体的形状选择最能完满地描述 连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元， 三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单 元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等 等。 – 单元划分：进行单元划分，单元划分完毕后，要将全 部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载 均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的 结点上根据实际情况设置约束条件。
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来， 逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实 践证明这是一种非常有效的数值分析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反 过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的 有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。
有限元方法的发展趋势
由求解线性工程问题进展到分析非线 性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和 热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶 和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有 限元算法才能解决。
• 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例 如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热 处理分析软件SysWeld等。
有限元方法的应用
• 转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院 动，用MSC/Nastran完成）
有限元方法的应用
• 金属成形过程分析（用Deform软件完成 ）:分析金属成形过程中的各种缺陷
有限元法中的几个基本概念
• 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并 对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单 的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利 用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点 力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点 位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移 分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场 函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求， 那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元 的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终 将收敛于精确解。
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
① 分析单元的力学性质 平面问题的三角形单元的例子：单元有三个结点I、J、 M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。
节点位移
ui v i u = j v j u m v m
节点力
有限元分析方法的发展与应用
• 目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS 简介 著名结构分析程序，最初由 NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
① 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数 目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点 找出单元节点力和节点 位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。 位移的关系式 此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方 程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
有限元法的基本计算步骤
1. 物体离散化
3维实体的4面 体单元划分
平面的三角形单 元划分
3维实体的6面 体单元划分
有限元法的基本计算步骤
1. 物体离散化
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这 一步又称作单元剖分或网格划分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来； 单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述 变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分 单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情 况相符合。 网格划分的好坏将直接影响到计算结果的准确性和计算 进度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。 网格的划分主要取决于专业知识和经验积累。一个水平 高的FEA工程师，80%的时间是用在网格划分上。 对于一般的问题，各种FEA均能自动的进行合理的网格 划分。hypermesh最目前好的划分网格工具 。
[M]——整体质量矩阵；[C]——整体阻尼矩阵； [K]——整体刚度矩阵； {δ}——整体结 点位移向量； {F}——整体结点荷载向量。
求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力 等。
有限元法的基本计算步骤
4. 求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。 传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算 法（Direct Solver）与迭代法（Iterative）两种。 由于在过去的经验中，迭代法一直无法直接而有效 的保证数值计算的收敛性，因此，直接计算法在多 数有限元素分析软件中，仍然是一种主流的计算方 法。
有限元法的过程
线性静力分析的基本矩阵方程
单元刚度矩阵
F1 EA 1 −1u1 = u F2 L −1 1 2
[K] =刚度矩阵
{F} =力向量(已知) {u} =由{F}引起的未知位移向量
{F} = [K]{u}
总体刚度矩阵
F1 Ka − Ka u1 = F2 − Ka Ka u2 F2 Kb − Kb u2 = F3 − Kb Kb u3
结点 2# L=10英寸 A=2.0英寸2 单元 ①
结点 1#
2、形成单元刚度矩阵
3、总装刚度矩阵
4、施加边界条件
5、施加作用载荷
6、求解矩阵方程
7、计算单元应力
ε(1) = el
ε(2) = el
∆L u2 −u1 −0.005 0.0 − = = =− 0.0005 L L 10
∆L u3 −u2 −0.011670.005 + = = =− 0.0006667 L L 10
• 复杂形状工件的组织转变预测（石伟，用NSHT3D 完成）：预测工件的组织分布和机械性能
淬火3.06 min 时的马 氏体分布 二分之一工件的有限 元模型 淬火3.06 min 时的温度 分布
有限元方法的应用
• 其他的应用还包括： 电磁学、流体力学、电磁场等等
有限元方法的发展趋势
从单纯结构力学计算发展到求解许多物理 场问题
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲 螺旋齿轮成形过程的分析
T形锻件的 成形分析
有限元方法的应用
• 焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
结构与焊缝布置
有限元方法的应用
• BMW曲轴的感应淬火 （用SysWeld软件完成）
有限元方法的应用
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
③ 计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元 的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在 单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移 到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在 单元上得力。
( ( σ1) = Eε1) = 10 × 10 6 × (-5) × 10 -4 = - (磅 / 英寸) 2 5000 el el
( ( σ2 ) = Eε2 ) = 10 × 10 6 × (-6.667) × 10 -4 = - (磅 / 英寸) 2 6667 el el
有限元分析方法的发展
施加约束边界条件
F = 10000 磅
例子： 例子：
面积 A = 1.5 英寸2 弹性模量 E = 10×106 磅/英寸2
L = 10 英寸YIN
面积 A = 2.0 英寸2 弹性模量 E = 10×106 磅/英寸2
L = 10 英寸
1、建立结构有限元模型
结点 3# L=10英寸 A=1.5英寸2 单元 ②
有限元法基础知识介绍
有限元的基本思想
有限元法中的几个基本概念
• 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所 组成的组合体，简称离散化 离散化。 离散化 • 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点 结点。 结点 • 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元 与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种 联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发 生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力 单元之间只能通过结点来传递内力。 单元之间只能通过结点来传递内力 • 通过结点来传递的内力称为结点力 结点力，作用在结点上的荷载 结点力 结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成 称为结点荷载 结点荷载 它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程 度的位移，这种位移称为结点位移 结点位移。 结点位移
U i V i U = j V j U m Vm
{δ }e
{F }e
取决于材料性质、形状、尺寸
{F }e = [K ]e {δ }e
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
② 选择位移模式：在反映力和位移的关系式中，依据那一 个量是未知量，可建立不同的模型。 {F }e = [K ]e {δ }e 位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法； 力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基 本未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法 中位移法应用范围最广。