二次函数真题汇编

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线x=－ =1
【详解】
解： 抛物线开口向上，
，
对称轴在 轴的右侧，
和 异号，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，所以①错误；
当 时， ，
，所以②错误；
抛物线经过点 和点 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
即 ，
，所以③正确；
抛物线与 轴有2个交点，
△ ，
即 ，所以④错误．
综上所述：③正确；①②④错误．
故选： ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项 决定抛物线与 轴交点 ．抛物线与 轴交点个数由△决定．
11．函数 ，当 与 时函数值相等，则 时，函数值等于()
A．5B． C． D．－5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性，求得函数 的对称轴，进而判断与 的函数值相等时 的值，由此可得结果．
【详解】
∵函数 ，当 与 时函数值相等，
∴函数 的对称轴为： ，
∴ 与 的函数值相等，
∴当 时， ，
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x=1，∴ =1，∴b=﹣2a＞0，∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4，∴abc＜0，故①错误；
3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确；
∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣3a≤4，∴﹣ ≤a≤﹣1，故③正确；
∴b<0
∴abc＞0；①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m），
∴ =m，
∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确；
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次图像开口方向、对称轴与y轴的交点可判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图像可知当x＝3时，y＜0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣ 代入方程整理得ac2－bc＋c＝0，结合③可判断④；从而得出答案.
【详解】
由图像开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，∴﹣ ＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图像可知当x＝3时，y＞0，∴9a＋3b＋c＞0，故②错误；由图像可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，故③正确；假设方程的一个根为x＝﹣ ，把﹣ 代入方程，整理得ac2－bc＋c＝0，即方程有一个根为x＝﹣c，由②知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.
二次函数真题汇编
一、选择题
1．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
D、不等式 可化为 ，令 ，
由二次函数的图象可得：当 时， ，故本选项正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
10．如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣ ≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．﹣4＜P＜0B．﹣4＜P＜﹣2C．﹣2＜P＜0D．﹣1＜P＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴ ＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
【详解】
①根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴 得到 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，所以 ，故①正确.
9．二次函数 为常数，且 )中的 与 的部分对应值如表：
···
···
···
···
下列结论错误的是()
A． B． 是关于 的方程 的一个根；
C．当 时， 的值随 值的增大而减小；D．当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
3．二次函数 ＝ （ ≠0）图象如图所示，下列结论：① ＞0；② ＝0；③当 ≠1时， ＞ ；④ ＞0；⑤若 ＝ ，且 ≠ ，则 ＝2．其中正确的有（）
A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
【详解】
解：抛物线的开口向下，则a＜0；
抛物线的对称轴为x=1，则- =1，b=-2a
∴b>0，2a+b=0 ②抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；
∵顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确；
一元二次方程 有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣ t2+4t，配成顶点式得S=﹣ （t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S= （8﹣t）2= （t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．
∵ ≠
∴a(x1+x2)+b=0
∴x1+x2= =2（故⑤正确）
故选D．
考点：二次函数图像与系数的关系.
4．如图，二次函数 的图象与 轴正半轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，对称轴为直线 ，且 ，则下列结论：
① ；② ；③ ；④关于 的方程 有一个根为 ，其中正确的结论个数有（）
A． 个B． 个C． 个D． 个
A．②④B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 ，利用对称轴在 轴的右侧得到 ，利用抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，则可对 进行判断；利用当 时， 可对 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 ，则可对 进行判断；根据抛物线与 轴的交点个数对 进行判断．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.
5．要将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
∵抛物线与直线y=m有一个公共点，
∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0；②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是()
由图像知x=1时y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y= +c不是顶点纵坐标，不是最大值
∴ ＞ （故③正确）
：b＞0，b+2a=0；（故②正确）又由①②③得：abc＜0（故①错误）
由图知：当x=-1时，y＜0；即a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）
⑤若 ＝ 得 -( )= -ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)=（x1-x2）[a(x1+x2)+b]= 0
8．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.
【详解】
解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF
=4•4﹣ •4•（4﹣t）﹣ •4•（4﹣t）﹣ •t•t
=﹣ t2+4t
=﹣ （t﹣4）2+8；
当4＜t≤8时，S= •（8﹣t）2= （t﹣8）2．
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
【详解】
解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
联立以上方程： ，
解得： ，
∴ ；
A、 ，故本选项正确；
B、方程 可化为 ，
将 代入得： ，
∴ 是关于 的方程 的一个根,故本选项正确；
C、 化为顶点式得： ，
∵ ，则抛物线的开口向下，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大；故本选项错误；
【答案】A
【解析】
【分析】
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．
【详解】
y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．
即 时，函数值等Βιβλιοθήκη Baidu ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．
12．如图是二次函数 的图象，有下面四个结论： ； ； ； ，其中正确的结论是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴 得到 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，所以 ； 时，由图像可知此时 ，所以 ；由对称轴 ，可得 ；当 时，由图像可知此时 ，即 ，将 代入可得 .
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3),向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，
如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．