研究生入学考试相似性原理和因次分析
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2
Fr gl
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力 平方区的有压管流与隧洞流动等。
Cl
9.1.4 动力相似
动力相似概念：
指两个几何相似、运动相似的流动系统中，对应点处
作用相同性质的力F，其方向相同，大小成一定比例，
且比例常数对两个流场中任意对应点都不变。
动力相似条件：
Fp Fm
Cf
力的比尺
初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的
8.2.1 相似准则
根据流动相似条件: 几何相似： xp Cl xm , yp Cl ym , z p Cl zm
运动相似： px Cvmx , py Cvmy , pz Cvmz
动力相似： pp Cp pm , g p Cg gm
其他物理量相似： p C m , p C m
实验研究方法：通过实验寻求流体运动时各 量之间的规律性关系。
流体力学的实验研究方法
实验研究 方法分类
实物实验 用仪器实测原型系统参数 比拟实验 利用电场或磁场来模拟流场 模型实验
在相似原理的基础上，用方程分析或量纲（因次）分 析导出相似准数，通过实验求出相似准数之间的关系
式，再将这些关系式推广到与之相似的实物、现象和 过程中去，从而揭示这些现象和过程的规律。
2. 对未建立微分方程的问题，根据 影响流动过程的物理参数通过量纲 分析导出相似准则；
8.2.1 相似准则
讨论粘性不可压流体流动的相似准则
1. 纳维－斯托克斯方程(N－S方程)的相似分析
实际系统
（原型)：
p-表示原型
v pz t p
vpx
v pz x p
vpy
v pz y p
vpz
v pz z p
9.1 相似理论基础
流动相似概念： 在两个几何相似的空间中的流动系
统，若对应点的同名物理量之间有 一定的比例关系，则这两个流动系 统相似。
流动相似包括
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
9.1.2 几何相似 指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和 模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
= -gp
1
p
p p z p
p p
2 v pz x p 2
2 v pz y p2
2vpz z p2
模型系统
（模型)：
m-表示模型
vmz tm
vmx
vmz xm
vmy
vmz ym
vmz
vmz zm
=
-gm
1
m
pm zm
m m
2 vmz xm2
2vmz ym2
2vmz zm2
想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。
9.2 相似准则
问题的提出： 在用模型实验模拟原型系统流动时，
如何保证模型系统的流动与原型系统 相似？
问题解决方法：建立相似准则
相似准则是流动相似的充分必要条件
建立相似准则的途径：
1. 对已建立微分方程描述的问题， 根据方程和相似条件建立相似准则；
v3' 3
几何相似的两个流动系统中对 应的流线形状也相似。
v1'
v2'
1
2
v3'' 3
v1''
v2''
1
2
运动相似条件： 作相似变换：
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
v Cvv, l Cll, t Ctt
速度比尺 长度比尺 时间比尺
得两个流动系统运动相似的条件： CvCt 1
加速度比尺
l3'
l2'
A
l3''
l2''
B
l1' 模型
l1''
原型
原型几何特征尺度
l1 l2 l3 lp l1 l2 l3 lm
Cl
长度比尺
面积比尺，体积比尺
模型几何特征尺度
9.1.3 运动相似
是指流体运动的速度场相似，也即两流场各 相应点（包括边界上各点）的速度u及加速 度a方向相同，且大小各具有同一比值。
适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流
动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受 粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另 外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产 生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力 相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和
潜体绕流问题等。
弗劳德数：流体在流动过程中重力位能与 动能的比值。重力位能和动能分别与重力 和惯性力成正比，故Fr也表示流体在流动 中重力和惯性力的比。
8.2.1 相似准则
如果：
Cv Ct
C
2 v
Cl
Cg
Cp Cl C
CvC
C
2 l
C
原型方程 与模型方程 完全相同
C
2 v
Cl
相似准则
边界条件 相同
由模型方程的解可获得原型方程的解
Cl CvC C
Cp C 2C
C
2 v
Cg Cl
Cl Ct C
1
8.2.1 相似准则 相似准数的导出
ClCvC 1 C Cp 1
第十章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理 第二节 相似准数 第三节 模型律 第四节 因次分析法
作业
10-3、10-8 、10-11
第9章 相似原理与量纲分析
9.1 相似理论基础 9.2 相似准则 9.3 模型实验 9.4 量纲分析法
流体力学的研究方法
理论研究方法：从物理概念出发进行数学 分析，建立起反映流体运动的各物理量之 间关系的微分方程式，并根据初始条件和 边界条件对微分方程求解，得到各量之间 规律性关系。
因素。原型中如固体壁面，模型 中也为固体壁面，原型中自由液 面，模型中相应部分也应是自由 液面 。
流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
C 2C
C
2 v
1
Cg Cl
Cl 1 Ct C
lpp p lmm m l Re 雷诺数
p
m
pp pm p Eu
2 p
p
m2 m
2
欧拉数
p2
m2
2
Fr
glp glm gl
弗劳德 数
lp
ptp
lm
mtm
l
t
Sr
斯特劳哈尔数
2. 相似准数的物理意义
Re l
雷诺数：惯性力和粘性力的比值。
将相似变换代入原型系统流动微分方程
8.2.1 相似准则
Cห้องสมุดไป่ตู้Ct
vmz tm
C 2 Cl
vmx
vmz xm
vmy
vmz ym
vmz
vmz zm
= -Cg gm
Cp 1 pm
ClC m zm
CC Cl 2 C
m m
2 vmz xm2
2vmz ym2
2vmz zm2
将方程与模型系统流动微分方程相比较
Fr gl
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力 平方区的有压管流与隧洞流动等。
Cl
9.1.4 动力相似
动力相似概念：
指两个几何相似、运动相似的流动系统中，对应点处
作用相同性质的力F，其方向相同，大小成一定比例，
且比例常数对两个流场中任意对应点都不变。
动力相似条件：
Fp Fm
Cf
力的比尺
初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的
8.2.1 相似准则
根据流动相似条件: 几何相似： xp Cl xm , yp Cl ym , z p Cl zm
运动相似： px Cvmx , py Cvmy , pz Cvmz
动力相似： pp Cp pm , g p Cg gm
其他物理量相似： p C m , p C m
实验研究方法：通过实验寻求流体运动时各 量之间的规律性关系。
流体力学的实验研究方法
实验研究 方法分类
实物实验 用仪器实测原型系统参数 比拟实验 利用电场或磁场来模拟流场 模型实验
在相似原理的基础上，用方程分析或量纲（因次）分 析导出相似准数，通过实验求出相似准数之间的关系
式，再将这些关系式推广到与之相似的实物、现象和 过程中去，从而揭示这些现象和过程的规律。
2. 对未建立微分方程的问题，根据 影响流动过程的物理参数通过量纲 分析导出相似准则；
8.2.1 相似准则
讨论粘性不可压流体流动的相似准则
1. 纳维－斯托克斯方程(N－S方程)的相似分析
实际系统
（原型)：
p-表示原型
v pz t p
vpx
v pz x p
vpy
v pz y p
vpz
v pz z p
9.1 相似理论基础
流动相似概念： 在两个几何相似的空间中的流动系
统，若对应点的同名物理量之间有 一定的比例关系，则这两个流动系 统相似。
流动相似包括
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
9.1.2 几何相似 指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和 模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
= -gp
1
p
p p z p
p p
2 v pz x p 2
2 v pz y p2
2vpz z p2
模型系统
（模型)：
m-表示模型
vmz tm
vmx
vmz xm
vmy
vmz ym
vmz
vmz zm
=
-gm
1
m
pm zm
m m
2 vmz xm2
2vmz ym2
2vmz zm2
想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。
9.2 相似准则
问题的提出： 在用模型实验模拟原型系统流动时，
如何保证模型系统的流动与原型系统 相似？
问题解决方法：建立相似准则
相似准则是流动相似的充分必要条件
建立相似准则的途径：
1. 对已建立微分方程描述的问题， 根据方程和相似条件建立相似准则；
v3' 3
几何相似的两个流动系统中对 应的流线形状也相似。
v1'
v2'
1
2
v3'' 3
v1''
v2''
1
2
运动相似条件： 作相似变换：
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
v Cvv, l Cll, t Ctt
速度比尺 长度比尺 时间比尺
得两个流动系统运动相似的条件： CvCt 1
加速度比尺
l3'
l2'
A
l3''
l2''
B
l1' 模型
l1''
原型
原型几何特征尺度
l1 l2 l3 lp l1 l2 l3 lm
Cl
长度比尺
面积比尺，体积比尺
模型几何特征尺度
9.1.3 运动相似
是指流体运动的速度场相似，也即两流场各 相应点（包括边界上各点）的速度u及加速 度a方向相同，且大小各具有同一比值。
适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流
动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受 粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另 外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产 生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力 相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和
潜体绕流问题等。
弗劳德数：流体在流动过程中重力位能与 动能的比值。重力位能和动能分别与重力 和惯性力成正比，故Fr也表示流体在流动 中重力和惯性力的比。
8.2.1 相似准则
如果：
Cv Ct
C
2 v
Cl
Cg
Cp Cl C
CvC
C
2 l
C
原型方程 与模型方程 完全相同
C
2 v
Cl
相似准则
边界条件 相同
由模型方程的解可获得原型方程的解
Cl CvC C
Cp C 2C
C
2 v
Cg Cl
Cl Ct C
1
8.2.1 相似准则 相似准数的导出
ClCvC 1 C Cp 1
第十章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理 第二节 相似准数 第三节 模型律 第四节 因次分析法
作业
10-3、10-8 、10-11
第9章 相似原理与量纲分析
9.1 相似理论基础 9.2 相似准则 9.3 模型实验 9.4 量纲分析法
流体力学的研究方法
理论研究方法：从物理概念出发进行数学 分析，建立起反映流体运动的各物理量之 间关系的微分方程式，并根据初始条件和 边界条件对微分方程求解，得到各量之间 规律性关系。
因素。原型中如固体壁面，模型 中也为固体壁面，原型中自由液 面，模型中相应部分也应是自由 液面 。
流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
C 2C
C
2 v
1
Cg Cl
Cl 1 Ct C
lpp p lmm m l Re 雷诺数
p
m
pp pm p Eu
2 p
p
m2 m
2
欧拉数
p2
m2
2
Fr
glp glm gl
弗劳德 数
lp
ptp
lm
mtm
l
t
Sr
斯特劳哈尔数
2. 相似准数的物理意义
Re l
雷诺数：惯性力和粘性力的比值。
将相似变换代入原型系统流动微分方程
8.2.1 相似准则
Cห้องสมุดไป่ตู้Ct
vmz tm
C 2 Cl
vmx
vmz xm
vmy
vmz ym
vmz
vmz zm
= -Cg gm
Cp 1 pm
ClC m zm
CC Cl 2 C
m m
2 vmz xm2
2vmz ym2
2vmz zm2
将方程与模型系统流动微分方程相比较