探索性数据分析简介

2020/5/27
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▪ 分析方法从实际出发，不以某种理论为依据
传统的统计分析方法是以概率论为理论基础，对各 种参数的估计、检验和预测给出具有一定精度的度量方 法和度量值。EDA则以不完全正式的方法处理数据。在 探索数据内在的数量特征、数量关系和数量变化时，什 么方法可以达到这一目的就采用什么方法，灵活对待， 灵活处理。方法的选择完全服从于数据的特点和研究的 目的，并且更重视数据特征值的稳健耐抗性，而相对放 松对概率理论和精确度的刻意追求。
EDA认为，分析一组数据而不仔细考察残差是不 完全的。EDA可以而且应该利用耐抗分析把数据中的 主导行为与反常行为清楚地分离开。当数据的大部分 遵从一致的模式，这个模式就决定一个耐抗拟合。耐 抗残差包含对于这个模式的剧烈偏离及机遇起伏。
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3. 重新表达（Re－expression）
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2. 次序统计量（Order Statistics）
若把数据批x1，x2，…，xn排成从小到大的次序，
即 x(1)x(2)x(n)
则 x(1),x(2),,x(n) 叫做数据批x1，x2，…，xn的次序统计
量。而x(i)是第i个次序统计量。
在排序的基础上，从最小值到最大值各个数据值
dF=Fu－Fl
它给出数据批的中间一半的宽度，简称四分展布 或F展布。 F展布强调数据批中心部分的行为而不强调 极端值，它是对边远值不敏感的展布，这一点极差和 标准差都做不到。
当然，两个极端值之差即极差也是展布，但是离 群值对极差影响太大，一般极差没有什么耐抗性。
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7. 临界值（Critical value） 在EDA中，称Fl－1.5 Fl与Fu＋1.5 Fl分别为下、上
x(i)：36 37 45 52 56 58 66 68 75 90 100
由于n=11，中位数深度d(M)=(11+1)/2=6，中位数M＝x(6)＝58；四
分数深度d(F)=(6+1)/2=3.5，因而下四分数Fl=(x(3)+x(4))/2=48.5， 上四分数Fu=(x(9)+x(8))/2=71.5
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三、探索性数据分析的常用术语
1. 批（Batch）或数据批
批即由n个观测值x1，x2，…，xn组成的数据组。在
传统统计中，这个数据组常称为样本，但批只是原始 数据组，没有像对样本那样的任何假设，如数据间独 立、服从正态分布等。
注意：在传统统计中，常用的样本均值、方差等 统计量是不耐抗的，即使只有一个异常数据也会对它 们产生巨大的有害影响。而在EDA中，为了探索性目 的，用基于排序和计数的简单的总括统计量，如中位 数，常常是耐抗的，即一批数据的一小部分不论怎样 变化也只对这个总括统计量有很小的影响。
探索性数据分析简介
Exploratory Data Analysis（EDA）
探索性数据分析（EDA）是一个崭新的统计研 究方向。近几十年来，已有多本关于EDA方面 的著作和许多学术研究论文，实际应用也取得 了明显成效。目前，探索性数据分析已得到统 计学界的公认，是一个极有发展前途的新领域。
➢ David C. Hoaglin等著，陈忠琏等译.探索性数据分析.北 京：中国统计出版社，2019
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二、探索性数据分析的四大主题
1. 耐抗性（Resistance）
所谓耐抗性即对于数据的局部不良行为的非敏感 性，它是EDA追求的主要目标之一。对于具有耐抗性 的分析结果，当数据的一小部分被新的数据代替时， 即使它们与原来的数值很不一样，分析结果也只会有 轻微的改变。人们关注耐抗性，主要是因为“好”的 数据也难免有差错甚至是重大差错，因此数据分析时 要有防御大错的破坏性影响的措施。EDA是一种耐抗 分析方法，其分析结果具有较强的耐抗性。
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一、探索性数据分析的主要特点
▪ 研究从原始数据入手，完全以实际数据为依据
传统的统计分析方法是先假定数据服从某种分布， 如多数情况下假定数据服从正态分布，然后用适应这种 分布的模型进行分析和预测。但客观实际的多数数据并 不满足假定的理论分布（如正态分布），这样实际场合 就会偏离严格假定所描述的理论模型，传统统计方法就 可能表现很差，从而使其应用具有极大的局限性。EDA 则不是从某种假定出发，而是完全从客观数据出发，从 实际数据中去探索其内在的数据规律性。
内界值，称最接近它们的数据为临界值，将小于下内 界值和大于上内界值的数据称为界外值或离群值。
进一步，又称Fl－3 Fl与Fu＋3 Fl为下、上外界值，
而称这之外的数据为远外值或异常值。
EDA要求总括统计量要对离群值特别是异常值具 有耐抗性。
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四、耐抗线性回归
传统回归使用最广泛的是最小二乘回归，但 最小二乘回归不能提供耐抗性。耐抗线性回归避 免了这一困难。它把数据分成3个组，用组内中 位数达到耐抗性。基本思路是：首先把n个数据
n2k1 n2k
d(M)n21kk12
n2k1 n2k
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5. 四分数（Fourth）
EDA规定：深度为 [d(M)]1 的点为四分点，相 应的数分别称为四分数。 2
四分数有下、上两个，分别记作 Fl、Fu ，则
d(F)[d(M2)]1ll12
[d(M)为 ] 奇数 [d(M)为 ] 偶数
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2. 确定总括点
在所形成的3个组内，先求组内x值的中位数，
然后单独求y值的中位数，得到总括点的x坐标和
y坐标：
(xL，yL)
(xM，yM)
(xR，yR)
得到的这3个总括点可能是数据点，也可能 不是数据点，因为x和y的中位数是单独确定的。
这种确定组内总括点的方法给了拟合直线耐 抗性。
把中位数、四分数和极端数放在一起组成五数总 括，可以给出一些又用的信息。
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【例1】Bendixen（1977）给出了需要24小时以上呼吸支持（一种强 化治疗）的11类病人的生存百分率。分析什么百分率是典型的。 次序统计量为
i： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
[ ]表示取整运算，当d(F)遇有1/2时，表示四分数 取深度d(F)相邻两数的平均。
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由四分数的定义可知，每个四分数都在中位数和 那个相应的极端值的半中间，从而两个四分数括住了 这批数据的中间那一半，这一半通常被认为具有典型 意义。显然，在次序统计量中，下四分数以下为“低 值”部分，上四分数以上为“高值”部分。
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3. 深度（Depth）
数据批中一个数据值的深度是它的升秩与降秩两 者中的最小值。在EDA中规定：
次序统计量中，
两个极端值x(1)和x(n)的深度为1 两个次极端值x(2)和x(n-1)的深度为2 第i个数据值和第n+1-i个数据值的深度皆为i 在EDA中，用深度的概念可以规定怎样从数据批中提 炼出各种探索性总括值。
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3. 计算斜率和截距或中心值 若回归直线为 yˆ abx， 则，初始直线的斜率
b0
yR xR
yL xL
初始直线的截距
1 a 0 3 [y ( L b 0 x L ) (y M b 0 x M ) (y R b 0 x R )]
当所有的数据点的x值都远离0时，用斜率和
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▪ 分析工具简单直观，更易于普及
传统的统计分析方法应用的数学工具越来越深奥， 统计研究也越来越理论化，这样就使应用的人越来越害 怕统计。EDA提供多种多样丰富多彩的详细考察数据的 方法。例如，它运用简单直观的茎叶图、箱线图、残差 图、字母值、数据变换、中位数平滑等与传统统计方法 截然不同的方法，使得具有一般数学知识的人就可以进 行复杂的数据分析。这不仅极大地扩大了统计分析的用 户群体，而且为统计思想注入了新的活力。
将中位数、极端数、四分数放在一起的五数总括可知：这11类病 人生存百分率的典型值是58%，尽管生存率可以高达100％，低到 36％，但其中一半的生存率是48.5%~71.5%
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6. 展布（Spread）
展布是反映数据集中程度的一个指标，在EDA中， 通常用两个分位点的差距来定义。如一个简单的耐抗 量度是四分展布dF，它定义为
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4. 残差拟合与迭代 得到初始直线后，计算每个数据点的残差
eiyi[a0 *b0(xixM )]
按先前的分组找出eL，eM，eR，利用三个残
差数据的总括点
(xL，eL)
(xM，eM)
(xR，eR)
用相同的方法拟合直线，得到斜率和水平1、1
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3个组，使组的大小尽可能相等。当xi之间没有等
值结时，组内的数据点数依赖于n除以3得到的余
数：
组
n=3k
n=3k+1
n=3k+2
左
k
k
k+1
中
k
k+1
k
右
k
k
k+1
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当xi之间有等值结时，各组数据点个数可能不 能达到上述配置，因为有同样x值的点应该进入
同一组。
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中位数平滑是一种耐抗技术。中位数（Median） 是高耐抗统计量，而样本均值不是。
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2. 残差（Residuals）
残差是数据减去一个总括统计量或模型拟合值以 后的残余部分，即：残差＝数据－拟合。
例如：用若干对(xi，yi)拟合 yˆi abxi，则残差 为 ei yi yˆi。
点(x1，y1)，…，(xn，yn)分成3个组，每个组内用
中位数形成一个总括点，再在这3个总括点的基 础上得到一条线，然后通过迭代调整或平滑这条 直线。
这种方法称为三组耐抗线法。
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1. 形成3个组
首先把x的值排序，使得 x(1)x(2)x(n)，在
此基础上，把n个数据点 (xi，yi) 分成左、中、右
重新表达即找到合适的尺度或数据表达方式以更 利于简化分析。EDA强调，要尽早考虑数据的原始尺 度是否合适的问题。如果尺度不合适，重新表达成另 一个尺度可能更有助于促进对称性、变异恒定性、关 系直线性或效应的可加性等。
重新表达亦称变换（Transformation），一批数据
x1，x2，…，xn的变换是一个函数T，它把每个xi用新值
T(xi)来代替，使得变换后的数据值是
T(x1)，T(x2 ) ，…，T(xn )。
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4. 启示（Revelation）
EDA强调启示。所谓启示就是通过EDA新的图解 显示和各种分析显示，发现规律，得到启迪，满足分 析者的需要：看出数据、拟合、诊断量度以及残差等 行为，从而抓住意想不到的特点以及常见的一贯行为。
的先后名次，即为观测值的升秩（Upward rank），即
x(1)的升秩为1，x(2)的升秩为2，x(i)的升秩为i；
类似地，有降秩的概念，在排序基础上，从最大
值到最小值的先后名次即为降秩（Downward rank），
x(i)的降秩为n+1-i，同一个数据有：升秩＋降秩＝n+1
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用残差拟合得到的斜率和水平对初始直线的 斜ห้องสมุดไป่ตู้和水平进行调整，得到调整后的斜率和水平
b 1 b 01
a 1 * a 0 *1
然后用新的直线再计算残差，并进行残差拟
合，并用拟合结果对直线进行调整，直到斜率的
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4. 中位数（Median）
中位数是处于次序统计量中间的数据，它用计数 的方法给出数据批的中心，中位数将次序统计量分成 “低值”和“高值”两部分。中位数用字母M表示，
即 Mme xid
M 中位m 数的ex深id 度 记x 1 2(为[k)x(dk)(Mx)(k1)]
截距来表示拟合直线意义不大，以斜率和中心值
来表示通常更有用。
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以斜率和中心值来表示的初始直线是
yˆa0 *b0(xxM)
式中，斜率b0的计算和前面一样，中心值（又 称水平）a0*用下式计算：
a 0 * 1 3 {y L [ b 0 (x L x M ) y M [y R b 0 (x R x M )]