高中立体几何(传统方法)

立体几何（传统方法）

知识精要

1． 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．

2． 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．

3． 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．

例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k 的最大值．

解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC ，BC 1，

A 1D ，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或与正方体只有8个顶点矛盾．故 K 的最大值是4．

练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6心及正方体的中心共计27是多少

解答 两端点都为顶点的共线三点组共有87

282⨯=有61

32⨯=个；线三点组，所以总共有2831849++=个．

例题2 已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求sin α． 解答 如右图所示，平面BCD 与正方体的12条棱的夹角都

等于α，过A 作AH 垂直平面BCD ．连DH ，则

A D H α=∠．设正方体的边长为b ，则

02

sin 6033DH ==

AH ==

所以sin sin AH

ADH AD α=∠==． 练习2 如图所示，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得 B

A H B

(0)AE CF EB FD

λλ==<<+∞，记()f λλλαβ=+，其中λα表示E F 与AC 所成的角，λβ表示E F 与BD 所成的角，证明()0f λ'=，即()f λ为常数．

解答 因ABCD 是正四面体，故AC 垂直BD ，作EG 平行AC

交BC 于G ，连G F ，则GEF λα=∠，且CG AE CF GB FD FD

==，所以G F 平行BD ．所以G F 垂直EG ，且EFG λβ=∠．所以

()f λ为常数． 例题3 三棱锥P -ABC 中，若棱P A =x ，其余棱长均为1，探讨

x 是否有最值．

解答当P -ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，P A 变大，最大极限是P 、A 、B 、C 共面时，P A 为菱形ABPC 的对角线，

所以无最值．

练习3若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．

解答 若P 在底面的射影为O ,易知PO 越小，侧棱越小．故P 、O 重合时，侧棱取最小极限

PO 无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值． 例题4在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，求AP +D 1P 的最小值．

解答 将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至1A A B '，使三角形1A A B '与四边形A 1BCD 1共面，联结1A D '，则1A D '的长即为AP +D 1P 的最小值，所以，

1A D '==练习4已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对棱BB 1、D 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F=λ（102

λ<≤

）．设E F 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，求αβ+的最小值． 解答 当12λ=时，2παβ+=．不难证明()f αβλ+=是单调减函数．因此αβ+的最小值为2

π． 例题5 在正n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．

解答 当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为π．当顶点在无穷远处的时候，正n 棱锥变为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为(2)n n

π-．

练习5 已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，角BAD =600，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 的中点P

的轨

迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积．

解答 联结DP 、DN ，在三角形MDN 为直角三角形，且DP =MN /2=1，又由已知角BAD =600，角ADC =1200，所以点P 的轨迹以点D 为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D 以及三个面围成的几何体的体积为314

21639ππ⨯⨯=．