高中立体几何(传统方法)
高中数学中的立体几何详细解析
高中数学中的立体几何详细解析在高中数学中，立体几何是一个非常重要的部分。
它研究的是空间内的物体及其几何特性，包括体积、表面积、体心等等。
立体几何不仅与日常生活密切相关，而且在科学研究、工程建设等领域都有着广泛的应用。
本篇文章将对高中数学中的立体几何进行详细解析，涵盖常见的几何体及其性质，以及相应的计算方法。
一、点、线、面与空间几何关系立体几何的基础是点、线、面以及它们之间的关系。
点是空间中不占据体积的位置，线是由无数个点连接而成的一维物体，面是由无数个线连接而成的二维物体。
在三维空间中，点、线、面之间存在着复杂而有趣的关系。
在立体几何中，最基础的关系就是点与直线的关系。
一条直线可以通过两个不共线的点来确定，两条直线在空间中的位置关系有三种可能：平行、相交和重合。
当两条直线没有任何一个公共点时，它们被称为平行线；当两条直线有且只有一个公共点时，它们相交；当两条直线重合时，它们重合。
除了点与直线的关系，点与平面的关系也是立体几何中的重要内容。
点在平面上可以有三种情况：点在平面内、点在平面上以及点在平面外。
当一个点与平面上的所有点连成的线都在平面内时，该点在平面内；当一个点与平面上的至少一点连成的线都在平面上时，该点在平面上；当一个点与平面上的所有点连成的线都在平面外时，该点在平面外。
二、立体几何的常见几何体在高中数学中，我们经常研究的几何体包括球体、圆柱、圆锥、棱锥、棱台等。
下面将对这些几何体的性质进行详细的解析。
1. 球体球体是立体几何中的一种重要几何体，具有以下性质：（1）所有的球面上的点到球心的距离都相等；（2）球体的表面积公式为：S = 4πr²，其中r为球体的半径；（3）球体的体积公式为：V = (4/3)πr³。
2. 圆柱圆柱是一个具有圆形底面和与底面平行的上下底面的几何体，具有以下性质：（1）圆柱的表面积公式为：S = 2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h 为圆柱的高；（2）圆柱的体积公式为：V = πr²h。
高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
高中空间立体几何经典例题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版立体几何一、选择题1．（20XX 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D2 2．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C 【答案】A3 3．（20XX 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A4 4．（20XX 年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1B ．2C ．2-12D ．2+12【答案】C5．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A．512πB ．3πC．4πD．6π【答案】B6．（20XX年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200D．240【答案】C7．（20XX年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,m n,那么m n+=（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A二、填空题8．（20XX年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.1D1BPD1CCEBA1A【答案】2559．（20XX 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2410．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-11．（20XX 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π12．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______AB C1A D EF1B 1C【答案】3π三、解答题13．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1 C 1 B 1A 1D C AB14．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,113tan 6233BC CC BC C =⋅∠==从而2333ABC S BC ∆==因此该三棱柱的体积为1336183ABC V S AA ∆=⋅==15．（20XX 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））B 1 A 1C 1ACB如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF ∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF ∥平面ABC 同理:FG ∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SAB AF ⊥SB∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF ⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC ⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB ∴BC ⊥SA16．（20XX 年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=而1AD C ∆中,11AC DC AD ==故132AD C S ∆= AB CSGFE所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.17．（20XX 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD=由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角ACD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O -.CO BDEA CDOBE'A图1图2C DO BE'AH则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =- 由(Ⅰ)知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以3cos ,3n OA n OA n OA'⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.18．（20XX年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2, 求线段AM的长.6【答案】19．（20XX年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,12AB AA==(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BDOAABCDBDABCDOA⊥∴⊂⊥11,,面且面;又因为,在正方形AB CD 中,BDCAACACAACABDAACOABDAC⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且.在正方形AB CD中,AO = 1 . .111=∆OAOAART中，在OECAOCEAEDB1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD=⋂⊂⊂111111E.E,DDBBCA111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),10(),1(,0,1,0111-=⇒CABACB，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OCOBCAn设平面OCB1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅OCnOBnn).1-,1,0(法向量2=n为解得其中一个21221||||||,cos|cos212111=⋅=⋅=><=nnnnnnθ.所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为3π1A。
易错点08 立体几何(解析版)
易错点08 立体几何易错点1：平行和垂直的判定在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点2：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点3：直线与平面所成的角 1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
第5讲--立体几何问题传统证法的模式
第三讲 立体几何问题传统证法的模式学习立体几何的观点（学习中逐渐落实）1、在平面内如何表示空间图形（画图、空间想象）；2、数学语言转换（文字、图形、符号语言间）3、逻辑关系（正确、恰当地表述定理）；4、证明模式方法 一、知识梳理⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩线质线线线质性质线关线性质条线两个关义线线线线线线质义关线线质义平行公理面平行性定理平行面垂直性定理面面平行定理面平行判定定理平行系面平行面面平行定理面面平行的判定定理面面平行同垂直一直的平面平行位置系定三垂定理(异面直垂直）垂直三垂定理的逆定理面垂直的性定理定垂直系面垂直面垂直的判定定理面面垂直的性定理定面面垂直⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩面面垂直的判定定理⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩线线线点线度量关系线线点线角角面角面面角距距距离面距面距面面距二、知识整合：有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，在解决立体几何问题过程中大量的、反复遇到，而且是各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在立体几何的学习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？一起总结. 1、空间元素基本位置关系：①空间两直线：平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法或判定定理. ②直线与平面： a ∥α、a ∩α=A (a ⊄α) 、a ⊂α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 2、常用定理及结论:“线线平行线面平行面面平行”，“线线垂直线面垂直面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙，切记证题时不能越级． 3、立体几何问题处理思路：若是单纯的判断题，通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决；若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）；若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小． 4、重要定理和命题：①线面平行////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭;////a a αβαβ⎫⇒⎬⊂⎭;ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥ ②线线平行:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭;b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα;b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα;b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫ ③面面平行:βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a O b a b a ;βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ;γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫ ④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα;所成角900；PA a AO a a PO ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂⊥αα(三垂线定理);逆定理呢? ⑤线面垂直:ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //;αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //⑥面面垂直：二面角900; βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ;βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a // 根据新课程标准要求，平行与垂直的证明是立体几何知识模块的核心内容，其中难点是线面平行和面面垂直证明问题，我们知道，要证线面平行，常需要朝线线平行转化；要证面面垂直，常需要朝线面垂直转化.而这两种转化关键是如何从复杂的几何图形中寻求到需要的那条直线.在证题过程中如何快速准确地寻求到那条直线而减少偶然性和盲目性呢？例如：已知矩形ABCD 所在的平面外一点 P , PA ⊥平面ABCD , E 、F分别是AB 、PC 的中点，求证：EF //平面PAD解法一：取PD 的中点G ,连接FG , AG 则四边形AEFG 是平行四边形，所以EF //AG ,从而结论得证解法二：通过构造含EF 的平面与平面PAD 平行.再利用面面平行的性质定理证得.解法三：利用空间向量的方法，找平面PAD 的法向量（AB ），再证AB EF ⊥解法四：利用空间向量的方法，证AD AP EF μλ+=再说明点E （或直线EF ）在平面PAD 外即可证得. 三、典例分析：例1、 （08·安徽理18改编）如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC = 45，OA ⊥底面ABCD ，OA = 2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（1）证明：直线MN ∥平面OCD ；（2）指出异面直线AB 与MD 所成的角； 思路分析：（1）要证直线MN ∥平面OCD ，只需在平面OCD 内找到（若无现成的则需另作）一条直线，证明它与MN 平行（这条思路本题不太容易）；或者证明直线MN 所在的某个平面（常常需要另作）∥平面BACDP F EN M A B D C OOCD ，注意到题设中有两个中点，于是再取AD 或OB 的中点（如下图），则问题立即解决．（2）异面直线所成的角需要转化成两条相交直线所成的锐角或直角．所以平行移动AB 或MD ，使它们相交，结合图形，发现AB ∥CD ，而CD ∩MD = D ，所以∠MDC 就是异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）．连结CM ，在△CDM 中，不难得出DM =2，CM 2= 3－2，而CD = 1，AC 2 = 2－2，进而由余弦定理，得21212)23(21cos =⋅⋅--+=∠MDC ，得∠MDC = 60．所以AB 与MD 所成的角为60．说明：充分利用“线线、线面、面面平行（垂直）的转化关系”进行分析，是顺利解答立体几何试题的重要思路．例2、（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。
高中数学《立体几何》记忆口诀
高中数学《立体几何》记忆口诀学好立几并不难，空间观念最关键点线面体是一家，共筑立几百花圆点在线面用属于，线在面内用包含四个公理是基础，推证演算巧周旋空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间判断线和面平行，面中找条平行性已知线和面平行，过线作面找交线要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线判断线和面垂直，线垂面中两交线两线垂直同一面，相互平行共伸展两面垂直同一线，一面平行另一面要让面和面垂直，面过另面一垂线面面垂直成直角，线面垂直记心间一面四线定射影，找出斜射一垂线线线垂直得巧证，三垂定理风采显空间距离和夹角，平行转化在平面一找二证三构造，三角形中求答案引进向量新工具，计算证明开新篇空间建系求坐标，向量运算更简便知识创新无止境，学问思辩勇登攀高中数学立体几何模块公理定理汇编公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．⊂．（作用：证明直线在平面内）A l∈，B l∈，且Aα∈，Bα∈⇒lα公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）推论①直线与直线外一点确定一个平面．②两条相交直线确定一个平面．③两条平行直线确定一个平面．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．∈，且Pβ∈⇒αβ ＝l，且P l∈．（作用：证明三点/多点共线）Pα公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行．三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直．射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行．面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．。
高中立体几何知识点总结
高中立体几何知识点总结学好立几并不难，空间想象是关键。
点线面体是一家，共筑立几百花园。
点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
下面是为大家整理的关于高中立体几何知识点总结，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高中立体几何知识点总结1点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
空间之中两条线，平行相交和异面。
线线平行同方向，等角定理进空间。
判定线和面平行，面中找条平行线。
已知线与面平行，过线作面找交线。
要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。
已知面与面平行，线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。
判定线和面垂直，线垂面中两交线。
两线垂直同一面，相互平行共伸展。
两面垂直同一线，一面平行另一面。
要让面与面垂直，面过另面一垂线。
面面垂直成直角，线面垂直记心间。
一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。
空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。
引进向量新工具，计算证明开新篇。
空间建系求坐标，向量运算更简便。
知识创新无止境，学问思辨勇攀登。
多面体和旋转体，上述内容的延续。
扮演载体新角色，位置关系全在里。
算面积来求体积，基本公式是依据。
规则形体用公式，非规形体靠化归。
展开分割好办法，化难为易新天地。
高中立体几何知识点总结2三角函数。
注意归一公式、诱导公式的正确性数列题。
1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系。
高中数学中的立体几何解题技巧
高中数学中的立体几何解题技巧作者：王文杰来源：《文理导航》2012年第32期高中数学中的立体几何是重点和难点之一，作为培养空间思维的立体几何，其基础知识的掌握及应用程度取决于我们对空间图形的认识与处理及正确思维方法的选择。
为此，笔者现就立体几何解题中几种常见的技巧予以分解，以供同仁参考。
1、巧作辅助图形，采用特殊化法例：求棱长为a的正四面体A-BCD的体积和外接球的半径。
解析：由于正四面体的六条棱相等，易联想到正方体的六个面的对角线相等。
于是构作辅助图形，即将正四面体补成正方体DE. 由AB=a，易得正方体棱长AE=■a，V■=V■-4V■=■a■由正方体是球的内接正方体，易知外接球半径为■a.例：在三棱锥P—ABC中，三条棱PA，PB，PC两两互相垂直。
设D为底面ABC内任一点，若PD与平面PAB，面PBC所成角分别为30°，45°.求PD与平面PAC所成角的正切值。
解析：本题若直接求解非常冗繁，但若考虑到题设条件，则以PD所在直线为对角线，PA、PB、PC所在线段为三条棱构作辅助图形长方体，使问题特殊化：即求该长方体的对角线PM与侧面PAC所成角的正切值。
设PD与侧面PAB，PBC，PAC所成角分别为α，β，γ.则依据长方体性质有：sin2α+sin2β+sin2γ=1.由条件知α=30°，β=45°.∴sin2γ=1-（sin2α+sin2β）=■.∴tanγ=■为所求。
评注：通过构造辅助图形，使原命题特殊化来解答某些立体几何问题，不但可以简化解题过程，优化问题解答，而且能开拓解题的思维视野，使问题解答独辟蹊径。
2、寻找主要矛盾，采用“隔离法”例：二面角α-l-β为30°，点A在平面α内，点A到直线l的距离为2，点A在平面β内的射影为B，B在平面α内射影为点A′，点A′在面β内射影为B′.求点B′到棱l的距离。
解析：本题由于条件太复杂，干扰因素太多，不便于分析。
高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答
高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
4、反证法。
三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。
2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
5、垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
立体几何第三课用传统方法求距离和角度
DBA C α立体几何第三课 §用传统方法求距离和角度一、知识点1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①作平行四边形对边； ②作三角形中位线；（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）二面角的范围是],0(π，作二面角的平面角常有三种方法①定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③射影面积法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角) 2．空间的距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长． 常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，“一找二证三求”；②等体积法锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）二、例题1、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 例题1证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --例题2证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD （2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角 在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=3、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。
高中数学立体几何的解析几何方法
高中数学立体几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形的性质和变化。
在高中数学中，解析几何尤其在立体几何的研究中发挥了重要作用。
本文将介绍高中数学立体几何中的解析几何方法，并探讨其在求解问题和证明定理中的应用。
一、直线的方程在立体几何中，直线是研究的基本对象。
通过解析几何方法，我们可以方便地求解直线的性质和方程。
1. 直线的斜率和截距直线的斜率和截距是直线方程中的两个重要参数。
给定直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式求得直线的斜率k，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)直线的截距可以通过截距公式求得，即b = y - kx其中b为直线与y轴的交点，也是直线的截距。
2. 直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不能同时为0。
这个方程可以表示任意的直线。
3. 直线的向量方程直线的向量方程形式为r = a + tb，其中r为直线上一点的位置矢量，a为直线上已知的一点的位置矢量，b为直线的方向向量，t为参数。
二、平面的方程除了直线的方程，解析几何方法还可以用来求解平面的方程。
1. 平面的点法向式方程平面的点法向式方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且至少有一个不为0。
这个方程中的A、B、C为平面的法向量的分量。
2. 平面的截距式方程平面的截距式方程可以表示为 x/a + y/b + z/c = 1，其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、解析几何在立体几何中的应用解析几何方法在立体几何中具有广泛的应用，可以用来求解各种问题和证明定理。
1. 直线与平面的交点通过解析几何方法，我们可以求解直线与平面的交点。
给定直线的参数方程和平面的方程，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关于参数的方程组，通过解方程组可以求解直线与平面的交点。
高中数学立体几何的学习方法
高中数学立体几何的学习方法在高中数学中，立体几何是一个重要的部分，对于学生来说，正确的学习方法能够帮助他们更好地理解和掌握立体几何的知识。
下面将介绍几个学习立体几何的方法，希望能对同学们有所帮助。
一、建立基本概念学习立体几何首先要建立基本的概念，包括点、线、平面以及各种几何体的定义。
在学习的过程中，建议同学们使用图片或模型来帮助理解，可以通过观察实物或使用计算机软件进行模拟，从而更加直观地感受立体几何的特点。
二、掌握空间想象力立体几何是立体空间中的研究，因此，对空间的想象力是非常重要的。
为了提高空间想象力，同学们可以进行以下练习：1.绘制立体图形：通过绘制平面图形和透视图来理解几何体的形状，练习将二维转化为三维；2.拼装模型：使用纸板或积木等材料拼装各种几何体，观察它们的特点和变化；3.观察实物：观察日常生活中的各种立体物体，如球体、圆柱体、长方体等，加深对于几何体形状的认识。
三、理解几何体的性质学习立体几何还需要理解各种几何体的性质和特点。
同学们可以通过以下方法来加深对几何体性质的理解：1.推演证明：参考教材或相关资料，学习已经证明的几何定理，并通过基本的逻辑推理来理解其证明过程；2.解题实践：大量练习各种立体几何题目，掌握几何体的性质和定理的应用，加深对知识的理解；3.思维导图：可以使用思维导图整理几何体的性质，帮助记忆和理解。
四、与数学知识的结合立体几何与其他数学知识也有一定的联系，同学们可以通过以下方法将其进行结合：1.运用向量：立体几何中的几何体可以用向量表示，可以通过向量的运算来解决一些几何问题；2.利用解析几何：通过坐标系来描述和分析立体几何的问题，可以将几何问题转化为代数问题进行求解；3.与三角学的联系：利用三角函数和三角关系来推导和解决一些立体几何的问题。
总之，在学习高中数学中的立体几何时，同学们应该注重理论和实践的结合，通过丰富的练习和思考来加深对几何体的理解。
同时，培养好空间想象力和逻辑推理能力也是非常重要的。
高中数学立体几何教学现状及对策分析
高中数学立体几何教学现状及对策分析
立体几何是高中数学中的重要组成部分，它涉及到空间中的实体、几何体的性质和关系等内容，是数学教学中不可或缺的一部分。
近年来立体几何的教学面临一些挑战，包括学生学习兴趣不高、教材内容过于抽象难懂、教学方法单一等问题。
本文将对高中数学立体几何教学现状进行分析，并提出相应的对策。
一、教学现状分析
1. 学生学习兴趣不高
由于立体几何的内容较为抽象，与学生平时的生活经验联系不够紧密，因此很多学生对立体几何的学习兴趣不高，认为这门课程枯燥乏味。
2. 教材内容过于抽象难懂
传统的立体几何教材内容较为抽象，缺乏直观性和生活化，导致学生难以理解和掌握其中的知识点，进而影响学习效果。
3. 教学方法单一
传统的立体几何教学方法主要是讲授和解题，缺乏趣味性和互动性，导致学生对课程的兴趣和参与度不高。
二、对策分析
1. 创设情境，增加趣味性
针对学生学习兴趣不高的问题，可以通过创设生活化的情境，引导学生从生活中感受立体几何的存在和应用，增加课程的趣味性和吸引力。
3. 多元化教学方法
针对教学方法单一的问题，可以采用多元化的教学方法，如案例教学、实践操作、小组讨论等，增加课堂的活跃度和互动性，激发学生的学习兴趣和参与度。
三、结语
立体几何是高中数学中的一门重要课程，对学生的综合能力和空间想象力有着重要的影响。
当前立体几何教学面临的问题也不容忽视，需要教师和教育部门共同努力，通过创新教学方法、重新编写教材等措施，提升立体几何教学的效果，激发学生的学习兴趣和提高学习成绩。
相信随着相关方面的努力和改进，高中数学立体几何教学将会迎来更好的发展。
立体几何中空间角的求法
立体几何中空间角的求法立体几何是高中数学的核心内容之一，在高考中占有很大的比重。
考查的知识点、题型等相对稳定，但对学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力要求较高，而且在2010年高考立体几何试题对转化与化归思想、数形结合思想、割补思想等数学思想的考查也体现的淋漓尽致，而高考对立体几何中空间角的考查一直是热点内容，更成为必考内容，空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届高考试题中频繁出现，求解方法也多种多样，本文就是空间角常用的方法--传统法与空间向量法。
一、异面直线所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：平移转化法或补形法，使之成为两相交直线所成的角，放入三角形中利用余弦定理计算，若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求。
（2）空间向量法：设异面直线ab与cd所成的角为θ，则cos θ = cos〈，〉参考例题：例1，如图在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc= ，oa⊥面abcd，oa=2，m为oa的中点，则异面直线ab与md所成角的大小为（）a. b. c. d. π解析：（法1）∵cd∥ab ∴∠mdc为异面直线ab与md所成的角（或其补角）在△abc中，ab=1，∠abc= ，bc=1 ，∴ac2=2-又oa⊥面abcd ∴rt△amc中，am2=1，∴mc2=3-又cd=1 md=∴在△mdc中，cos∠mdc= = ∴∠mdc=（法2）作ap⊥cd于p，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系。
则a（0，0，0）， b（1，0，0）， d（- ，，0），o（0，0，2）， m（0，0，1）设ab与md所成的角为θ，又 =（1，0，0） =（ - ，，-1）∴cosθ= = ∴θ=二、直线与平面所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的角，然后放入直角三角形中求解。
怎样学好高中数学立体几何精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版怎样学好高中数学立体几何怎样学好高中数学立体几何呢?同学们清楚吗，不清楚的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“怎样学好高中数学立体几何”，仅供参考，欢迎大家阅读。
怎样学好高中数学立体几何1、把必修二的公理和各种线线线面面面的平行或垂直的定理反复研究，尝试三种语言及符号、图形、叙述来表达。
2、平常积累几种求二面角的模型很重要。
简单的如、垂面、三垂线定理、面积投影，复杂一点的如空间余弦定理。
3、注意图形的学习和运用，对立体几何中的一些基本图形要了如指掌，一些基本图形，如正方体与四面体等，其特有的数量关系和位置关系。
拓展阅读：如何学好高中化学一、认真听课，做好笔记好的笔记是教科书知识的浓缩、补充和深化，是思维过程的展现与提炼。
由于化学学科知识点既多又零碎、分散，所以，课堂上除了认真听课，积极思考外，还要在理解的基础上，用自己的语言记下老师讲的重点、难点知识，以及思路和疑难点，便于今后复习。
二、及时复习复习并不仅仅是对知识的简单回顾，而是在自己的大脑中考虑新旧知识的相互联系，并进行重整，形成新的知识体系。
所以，课后要及时对听课内容进行复习，做好知识的整理和归纳，这样才能使知识融会贯通，避免出现越学越乱的现象。
比如学习了SO2的漂白性就跟氯水的漂白性进行比较，找出两者的不同之处。
三、学会巧记由于要记的化学知识点比较多，如果靠死记硬背是难以记牢的，所以应学会巧记。
化学上常用的记忆方法有：比较法(常用于容易混淆、相互干扰的知识。
如同位素、同素异形体、同系物、同分异构体四个相似的概念，可以通过比较，使理解加深，记忆牢固。
)、归纳法、歌诀记忆法、理解记忆法和实验记忆法。
四、勤练练习是理解消化巩固课堂知识的重要途径。
但练习要有针对性，不能搞题海战术，应以掌握基本方法和解题规律为目标。
在解题过程中，要注意一题多解和归纳总结，这样才能达到做一题会一类的效果。
如化学计算中常用的技巧法有：守恒法、关系式法、极值法、平均值法、估算法、差量法等。
高中数学立体几何学习方法有哪些
高中数学立体几何学习方法有哪些高中数学立体几何学习方法有哪些立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。
因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。
论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。
所以学好立体几何要找到对的学习方法，下面是小编分享给大家的高中数学立体几何的学习方法的资料，希望大家喜欢!高中数学立体几何的学习方法一、逐渐提高逻辑论证能力论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。
符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。
切忌条件不全就下结论。
其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(“推出法”)形式写出。
二、立足课本，夯实基础直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。
例如：三垂线定理。
定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。
但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。
掌握好定理有以下三点好处：(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。
(2)培养空间想象力。
(3)得出一些解题方面的启示。
在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。
对后面的学习也打下了很好的基础。
三、“转化”思想的应用我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。
例如：(1)两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。
斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。
(2)异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的`距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。
高考数学立体几何知识点总结
高考数学立体几何知识点总结高中数学学习不仅要讲究方法记住知识，还要规避数学学习中的一些易错点。
今天把高考数学必考的立体几何部分的知识点易错易考点都给大家整理出来啦！还有必考题型和解题方法，同学们学会这些高考肯定没问题！高考立体几何试题一般共有4道（选择、填空题3道，解答题1道），共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
知识整合1、有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题这是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。
3、两个平面平行的主要性质：（1）由定义知：“两平行平面没有公共点”。
（2）由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（3）两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。
（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（5）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（6）经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
高三数学知识点：立体几何注重传统方法
高三数学知识点：立体几何注重传统方法主持人说：各位网友，大伙儿好!我是主持人东海，今天是全国高考的第一天，我们的语文跟数学的两门科目差不多考试终止了，刚才我们做了有关于语文今年试题专门是作文的一些点评，现在我们请来了大伙儿都专门关怀的数学方面的专家老师来请他为我们点评一下今天的数学的考试题目，第一我介绍一下今天咱们的老师是我们北京八中的教学处副主任市级骨干教师，也是我们的合作伙伴天利考试信息网的特邀专家王春辉老师，欢迎您!王春辉说：大伙儿好!主持人说：王老师，您也是看到了我们北京的数学试卷包括我给您发过去的全国的理科的数学试卷，您看了那个数学试卷之后，对刚过去的数学高考您最想说些什么?而且我听说您今年也是参加了高考的一些工作。
王春辉说：我是在监考。
因为不在高三就能够去监考，我在实验中学那个考点。
主持人说：那对我们今年的高考应该有切身的，更近距离的如此一种体会。
您觉得今年的高考，您最想说点什么，专门是数学这方面。
王春辉说：我看了全国一卷，你发给我的，我今天监考的时候考的是北京的理科那份题，我就看着学生答的，因此不让我们做题，不让我们抄题，然而我能够看，我能够看着人家做，也能够看看那个题。
实际上今年专门多省市差不多进到新课程，因此北京可能今年还不是，今年是新课程前的最后一次高考，实际上正因为那个，因此这份题不仅仅是学生、家长、社会关注，我们老师也专门关注，因为在这之前，也有专门多的名师、专家对这份考试题的一个推测，今天我的感受是什么呢?确实是应该揭底的时候，应该是真相大白的时候。
主持人说：您之前是不是也做过这方面的推测，因为我觉得老师，尽管您不在高三，然而也想猜一猜今年数学出什么题目?您看了那个题而且您刚才说有真相大白的感受，跟您事先的估量是一个什么样的结果?王春辉说：高考前在《新京报》有一篇他采访我，那个时候不是对高考的推测，而是考试说明出来以后，你觉得高考可能会如何出，大致说这么一个东西，因此现在那个推测要紧是集中在几方面，一个确实是知识点的覆盖，确实是说，考些什么东西，我记得那个时候我跟学生讲，因此在报纸上也说，我觉得一个好的考试题应该是考要紧的知识，关键的内容，大的，一份试卷摊开应该是专门光明正大的，不能总是找犄角旮旯的东西，应该是正义凛然的，不能冒的差不多上邪气，从我目前看到的北京卷，全国一卷差不多上是如此子。
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立体几何（传统方法）
知识精要
1． 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．
2． 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．
3． 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．
例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k 的最大值．
解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC ，BC 1，
A 1D ，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或与正方体只有8个顶点矛盾．故 K 的最大值是4．
练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6心及正方体的中心共计27是多少
解答 两端点都为顶点的共线三点组共有87
282⨯=有61
32⨯=个；线三点组，所以总共有2831849++=个．
例题2 已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求sin α． 解答 如右图所示，平面BCD 与正方体的12条棱的夹角都
等于α，过A 作AH 垂直平面BCD ．连DH ，则
A D H α=∠．设正方体的边长为b ，则
02
sin 6033DH ==
AH ==
所以sin sin AH
ADH AD α=∠==． 练习2 如图所示，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得 B
A H B
(0)AE CF EB FD
λλ==<<+∞，记()f λλλαβ=+，其中λα表示E F 与AC 所成的角，λβ表示E F 与BD 所成的角，证明()0f λ'=，即()f λ为常数．
解答 因ABCD 是正四面体，故AC 垂直BD ，作EG 平行AC
交BC 于G ，连G F ，则GEF λα=∠，且CG AE CF GB FD FD
==，所以G F 平行BD ．所以G F 垂直EG ，且EFG λβ=∠．所以
()f λ为常数． 例题3 三棱锥P -ABC 中，若棱P A =x ，其余棱长均为1，探讨
x 是否有最值．
解答当P -ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，P A 变大，最大极限是P 、A 、B 、C 共面时，P A 为菱形ABPC 的对角线，
所以无最值．
练习3若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．
解答 若P 在底面的射影为O ,易知PO 越小，侧棱越小．故P 、O 重合时，侧棱取最小极限
PO 无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值． 例题4在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，求AP +D 1P 的最小值．
解答 将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至1A A B '，使三角形1A A B '与四边形A 1BCD 1共面，联结1A D '，则1A D '的长即为AP +D 1P 的最小值，所以，
1A D '==练习4已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对棱BB 1、D 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F=λ（102
λ<≤
）．设E F 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，求αβ+的最小值． 解答 当12λ=时，2παβ+=．不难证明()f αβλ+=是单调减函数．因此αβ+的最小值为2
π． 例题5 在正n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．
解答 当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为π．当顶点在无穷远处的时候，正n 棱锥变为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为(2)n n
π-．
练习5 已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，角BAD =600，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 的中点P
的轨
迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积．
解答 联结DP 、DN ，在三角形MDN 为直角三角形，且DP =MN /2=1，又由已知角BAD =600，角ADC =1200，所以点P 的轨迹以点D 为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D 以及三个面围成的几何体的体积为314
21639ππ⨯⨯=．。