数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结

随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。

算法

算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。

误差

计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表表

第三章泛函分析

泛函分析概要

泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间。如：距离空间，赋范线性空间，内积空间。

范数

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以Cn空间为例，Rn空间类似。最常用的范数就是p-范数。那么

当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+?+│xn│

2-范数：║x║2=1/2

∞-范数：║x║∞=max

其中2-范数就是通常意义下的距离。

对于这些范数有以下不等式：║x║∞≤║x║2 ≤║x║1 ≤ n1/2║x║2 ≤ n║x║∞

另外，若p和q是赫德尔共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：

|| = ||xH*y| ≤║x║p║y║q

当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式

一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。

如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║

α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

本学期讲解过的主要算法列举如下：线性方程组的解法；非线性方程的求根方法；矩阵特征值与特征向量的计算；函数的插值方法；最佳平方逼近；数值积分与数值微分；常微分方程初值问题的数值解法。下面对主要算法进行分析。

线性方程组的解法

本章学习了一些求解线性方程组的常用方法，其中Gauss消元法，列主元消元法，LU分解法，追赶法和LDL’分解法都是解线性方程组的直接方法；而Jacobi迭代法和SOR法则是解线性方程组的基本迭代法。求解线性方程组时，应该注意方程组的性态，对病态方程组使用通常求解方程组的方法将导致错误。迭代求精法可用于求解某些病态方程。

高斯列主元LU分解法求解线性方程组

高斯消元法和LU分解法是直接法求解线性方程组中的两种方法。其中高斯消元法的基本思想是将线性方程组()通

过消元，逐步化为同解的三角形方程组，然后用回代法解出n个解。高斯列主元消元法则是在高斯消元法的基础上提(k?1)(k?1)a?0akkkk出的先选主元再消元的方法，避免了时消元无法进行或者是当的绝

(k?1)a(i?k?1,k?2,ik对值与其下方的元素,n)的绝对值之比很小时，引起计算机

上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解失真的问题。LU分解法是将矩阵A用一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积来表示，即A?LU，然后由A?LU，Ax?b，得LUx?b，将线性方程组的求解化为对两个三角形方程组Ly?b和Ux?y 的求解，由此可解出线性方程组的n个解x1,x2,,xn。这两种求解线性方程组的方法在处理单个线性方程组时没有差别，只是方法的不同，但在处理系数矩阵A相同，而右端项不同的一组线性方程组时，LU分解法就有明显的优势，因为它是将系数矩阵A和右端项b分开处理的，这样就可以只进行一次分解。例如，求解线性方程组Ax?bi,i?1,2,,m，用高斯消元法求解的计算量1313mnn?mn2

大约为3，而用LU分解求解的计算量约为3，后者计算量显然小很多。但是LU分解法同样有可能由于ujj的绝对值很小而引起计算机上溢或产生很

大的舍入误差而导致所求出的解失真。因此提出了结合高斯列主元消元的LU分解法。

我们采用的计算方法是先将A矩阵进行高斯列主元消元，然后再计算相应的L矩阵和U矩阵。但要注意，第k步消元时会产生mik(i?k?1,k?2,,n)，从而可以得到L矩阵的第k列元素，但在下一步消元前选取列主元时可能会交换方程的位置，因此与方程位置对应的L矩阵中的元素也要交换位置。

非线性方程组的求根方法

本章学习的二分法简单迭代法、Newton迭代法等方法，代表着求解非线性方程所采用的两类方法。大范围收敛方法的初值x0选取没有多少限制，只要在含根区间任选其一即可，二分法就是这类方法。局部收敛法要求x0要充分靠近根x*才能保证收敛，以简单迭代法为基础，Newton迭代法为代表的各类迭代法都属这类方法。

迭代法

牛顿迭代法的构造过程是这样的：设x0是f(x)?0的一个近似根，将f(x)在

f''(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0处作Taylor展开得2!'

，若取其

'x?x?f(x)/f(x0)，然后再对x1做f(x)100前两项来近似代替，得近似方程的根

'f上述同样处理，继续下去，一般若(xk)?0，则可以构