大学物理第二章练习答案

第二章 运动的守恒量和守恒定律
练 习 一
一. 选择题
1. 关于质心，有以下几种说法，你认为正确的应该是（ C ）
(A) 质心与重心总是重合的； (B) 任何物体的质心都在该物体内部； (C) 物体一定有质心，但不一定有重心； (D) 质心是质量集中之处，质心处一定有质量分布。

2. 任何一个质点系，其质心的运动只决定于（ D ）
(A)该质点系所受到的内力和外力； (B) 该质点系所受到的外力；
(C) 该质点系所受到的内力及初始条件； (D) 该质点系所受到的外力及初始条件。

3.从一个质量均匀分布的半径为R 的圆盘中挖出一个半径为2R 的小圆盘，两圆盘中心的距离恰好也为2R 。

如以两圆盘中心的连线为x 轴，以大圆盘中心为坐标原点，则该圆盘质心位置的x 坐标应为（ B ） (A)
R 4； (B) R 6; (C) R 8
； (D R
12。

4. 质量为10 kg 的物体，开始的速度为2m/s ，由于受到外力作用，经一段时间后速度变为6 m/s ，而且方向转过90度，则该物体在此段时间内受到的冲量大小为 （ B ） (A)s N ⋅820； (B) s N ⋅1020； (C) s N ⋅620； (D) s N ⋅520。

二、 填空题
1. 有一人造地球卫星，质量为m ，在地球表面上空2倍于地球半径R 的高度沿圆轨道运行，用m 、R 、引力常数G 和地球的质量M 表示，则卫星的动量大小为R
GM m
3。

2．三艘质量相等的小船在水平湖面上鱼贯而行，速度均等于0v ，如果从中间小船上同时以相对于地球的速度v 将两个质量均为m 的物体分别抛到前后两船上，设速度v 和0v 的方向在同一直线上，问中间小船在抛出物体前后的速度大小有什么变化:大小不变。

3. 如图1所示，两块并排的木块A 和B ，质量分别为m 1和m 2，静止地放在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过两木块。

设子弹穿过两木块所用的时间分别为t 1和t 2，木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后，木块A 的速度大小为 1A B
F t m m ⋅∆+，木
块B 的速度大小为12F t A B
B
F t m m m ⋅∆⋅∆++。

三、计算题
1. 一质量为m 、半径为R 的薄半圆盘，设质量均匀分布，试求薄半圆盘的质心位置。

解：建立如图所示坐标系，2
2R m
πσ=
，θcos R x = A B
图1
θθθd R dx R ldx ds 22sin 2sin 22-=== θθσσd R ds dm 22sin 2-==
π
σθθθσππ34312cos sin 213022302R
m R d m R xdm m x c =⋅=
-==⎰⎰ 2. 如图2所示，一质量为1m =500kg 、长度为l =60m 的铁道平板车，以初速度0v =2m/s 沿一水平、无摩擦的直线轨道向左运动，另有一质量为2m =50kg 的人站在车的尾端。

初始时，人相对平板车静止，经t =5秒后此人跑到了车的前端。

试求在该段时间内，铁道平板车前进的距离s 。

解：轨道水平、无摩擦，人、车系统在水平方向所受合外力为零，由质心运动定理有：0=c a 故 0v v c = 从而有； t v x x c ct 00+= （1）
建立如图所示坐标系，以初始时刻车的质心处为坐标原点O ， 向左为X 轴正方向，则在初始时刻系统的质心位置坐标为：
21210)
2(0m m l
m m x c +-+⨯=
550
1500-= （2） 设车向前进了S 米，则t =5秒时，车的质心位置为 s x =，人的质心位置为 2
l
s x +=' 则此时刻系统的质心位置坐标为：
2121)
2(m m l
s m s m x ct +++⨯=
550
1500550+=s （3） 联立（1）（2）（3）有：
550
1500550+s 5501500
-=
+10 m s 55.411
60
10550300010≈-=-
= 3. 质量为g 6.5m =的子弹A ，以s /m 501v 0=的速率水平地射入一静止在水平面上的质量为kg 2M =的木块B 内，A 射入B 后，B 向前移动了cm 50L =后而停止，求： (1) B 与水平面间的摩擦系数µ； (2) 木块对子弹所做的功W 1； (3) 子弹对木块所做的功W 2 ； (4) W 1与W 2是否大小相等，为什么 解：取研究对象为子弹和木块，系统水平方向不受外力，动量守恒。

10v )M m (mv +=，0v M
m m
v +=
根据动能定理，摩擦力对系统做的功等于系统动能的增量：
22v )M m (21'v )M m (21gs )M m (+-+=+-μ，0'v )M m (2
1
2=+
图2
得到：2.0v )
M m (gs 2m 202
2
=+=
μ
木块对子弹所做的功等于子弹动能的增量：2
021mv 21mv 21W -=
，J 8.702W 1-= 子弹对木块所做的功等于木块动能的增量：2
2Mv 2
1W =，J 96.1W 2=
21W W ≠，子弹的动能大部分损失克服木块中的摩擦力做功，转变为热能。

第二章 运动的守恒量和守恒定律
练 习 二
一、选择题
1. 在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用，且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统 （ D ） (A) 动量和机械能一定都守恒；
(B) 动量与机械能一定都不守恒；
(C) 动量不一定守恒，机械能一定守恒；
(D) 动量一定守恒，机械能不一定守恒。

2. 下列叙述中正确的是（ A ）
(A) 物体的动量不变，动能也不变； (B) 物体的动能不变，动量也不变； (C) 物体的动量变化，动能也一定变化； (D) 物体的动能变化，动量却不一定变化。

3. 在由两个物体组成的系统不受外力作用而发生非弹性碰撞的过程中，系统的（ C ） (A) 动能和动量都守恒； (B) 动能和动量都不守恒；
(C) 动能不守恒，动量守恒； (D) 动能守恒，动量不守恒。

二．填空题
1. 如图1所示，质量为m 的小球自高为0y 处沿水平方向以速率0v 抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为
2y 0，水平速率为2
v
0，则碰撞过程中，地面对小球的垂直冲量的大小为 0)21(gy m +；地面对小球的水平冲量的大小为0mv 2
1。

2. 如图2所示，有m 千克的水以初速度 v 1进入弯管，经t 秒后流出时的速度为2v
，且
1图图2
v 1=v 2=v 。

在管子转弯处，水对管壁的平均冲力大小是t
mv
F =
，方向垂直向下。

(管内水受到的重力不考虑)
3. 如图3所示，两个用轻弹簧连着的滑块A 和B ，滑块A 的质量为
2
m
，B 的质量为m ，弹簧的倔强系数为k ，A 、B 静止在光滑的水平面上(弹簧为原长)。

若滑块A 被水平方向射来的质量为
2
m
、速度为v 的子弹射中，则在射中后，滑块A 及嵌在其中的子弹共同运动的速度v 2
1
v A =，此时刻滑块B 的速度0v B =，在以后的运动过程中，滑块B 的最大速度v 2
1
v max B =。

4. 质量为m=2kg 的物体，所受合外力沿x 轴正方向，且力的大小随时间变化，其规律为：
F=4+6t (SI)，问当t=0到t=2s 的时间内，力的冲量i 20I
=；物体动量的增量 i 20P =∆。

三、计算题
1. 如图4所示，一质量M=10 kg 的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的倔强系数K=1000 N/m 。

今有一质量m=1kg 的小球以水平速度0v =4m/s 飞来，与物体M 相撞后以v 1=2 m/s 的速度弹回，试问： (1) 弹簧被压缩的长度为多少小球和物体的碰撞是完全弹性碰撞吗
(2) 若小球和物体相撞后粘在一起，则上面所问的结果又如何
解：研究系统为小球和物体及弹簧，系统水平方向上不受外力，动量守恒，取X 轴正方向向右
Mv mv mv 10-=-，)v v (M
m v 10+=
， 物体的速度大小：s /m 6.0v =
物体压缩弹簧，根据动能定理：2
2Mv 21kx 21=，弹簧压缩量：m 06.0x =
碰撞前的系统动能：J 8mv 21E 2
00k ==
碰撞后的系统动能：J 8.3Mv 2
1mv 21E 2
21k =+=，系统发生的是非完全弹性碰撞。

若小球和物体相撞后粘在一起，动量守恒：v )M m (mv 0+-=-
4图图3
0v M m m
v +=
，物体的速度大小：s /m 364
.0
v =
弹簧压缩量：，m 038.0x =，系统动能损失更大，为完全非弹性碰撞。

2. 如图5所示，质量为M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水平向右飞行，以速度1v (对地)与滑动斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为v 2 (对地)，若碰撞时间为
t ，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。

解：研究对象为小球和滑块构成的系统，水平方向上动量守恒，取X 轴正方向向右，Y 轴向上为正。

)v v (M Mv mv 1∆+=+，1v M
m
v =
∆ 小球在Y 方向受到的冲量：2y mv t mg t F =-∆∆
Y 方向上作用在滑块上的力：mg t
mv F 2
y +=
∆ 滑块对地面的平均作用力：Mg mg t
mv Mg F N 2
y ++=+=∆
第二章 运动的守恒量和守恒定律
练 习 三
一、选择题
1. 质量为m 的小球，以水平速度v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为（ D ）
(A) mv ； (B) 0； (C) 2mv ； (D) -2mv 。

2. 质量为m 的质点，沿正三角形ABC 的水平光滑轨道以匀速度v 运动，如图1所示，质点越过A 点时，轨道作用于质点的冲量的大小为（ C ） (A) mv ； (B)
2mv ； (C) 3mv ； (D) 2mv 。

3. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速度沿图2所示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩。

子弹射入后与摆球一起运动的速度为（ A ） (A) 4m/s ； (B) 8m/s ； (C) 2m/s ； (D) 7m/s 。

4. 如图3，一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上，在卡车沿水平方向加速起动的过
5
图2图3
图图1
程中，物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块的冲量 （ B ） (A) 水平向前； (B) 只可能沿斜面上；
(C) 只可能沿斜面向下； (D) 沿斜面向上或向下均有可能。

二、填空题
1. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时A 粒子的速度为j 4i 3
+，粒子B 的速度
为j 7i 2 -，由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为j 4i 7
-，此时粒子B 的速度等于 j 5i -。

2. 如图4，质量为m 的质点，在竖直平面内作半径为R ，速率为v 的匀速圆周运动，在由A
点运动到B 点的过程中：所受合外力的冲量为 j mV i mV I
+= ；除重力外其它外力对物
体所做的功为 mgR A -=非。

3. 如图5，一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度匀速转动，在小球转动一周
过程中：小球动量增量的大小 为 0 ；小球所受重力的冲量的大小等于ω
π
2mg
；
小球所受绳子拉力的冲量大小等于ω
π
2mg
三、计算题
1. 两个自由质点，其质量分别为m 1和m 2，它们之间的相互作用符合万有引力定律。

开始时，两质点间的距离为l ，它们都处于静止状态，试求两质点的距离为2
l
时，两质点的速度各为多少
解：两个自由质点之间的相互作用为万有引力，在不受外力作用下，系统的动量和机械能守恒。

动量守恒：0v m v m 2211=+
机械能守恒：2
2
22112121v m 21v m 21)2L (m Gm 0L m Gm ++-=+-
求解两式得到两质点距离为2
L
时的速度：
)m m (L G 2m v 212
1+= 和 )
m m (L G
2m v 2112+-=
2. 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(bt a -)N (b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1) 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2) 求子弹所受的冲量．(3) 求子弹的质量。

4图5
图
解： (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(=-=bt a F ,得b
a t = (2)子弹所受的冲量 ⎰-=-=
t
bt at t bt a I 0
2
2
1d )( 将b a t =代入，得 b
a I 22
=
(3)由动量定理可求得子弹的质量 0
2
02bv a v I m =
= 3. 设两粒子之间的相互作用力为排斥力f ，其变化规律为3
r k
f =
，k 为常数，r 为二者之间的距离，(1)试证明 f 是保守力吗 (2)求两粒子相距为r 时的势能，设无穷远处为零势能位置。

解：根据问题中给出的力3r
k
f =
，只与两个粒子之间位置有关，所以相对位置从r 1变化到r 2时，力做的功为：⎰
--==2
1
r r 21223)r 1r 1(k 21dr r k A ，做功与路径无关，为保守力； 两粒子相距为r 时的势能： ⎰∞
==r
23P r 2k
dr r k E
第二章 运动的守恒量和守恒定律
练 习 四
一、 选择题
1. 对于一个物体系来说，在下列条件中，哪种情况下系统的机械能守恒（ C ） (A) 合外力为零； (B) 合外力不做功；
(C) 外力和非保守内力都不做功； (D) 外力和保守内力都不做功。

2. 一水平放置的轻弹簧，弹性系数为k ，一端固定，另一端系一质量为m 的滑块A ， A 旁又有一质量相同的滑块B ， 如图1所示， 设两滑块与桌面间无摩擦， 若用外力将A 、B 一起推压使弹簧压缩距离为d 而静止，然后撤消外力，则B 离开A 时的速度为（ C ）
(A) d/(2k) ； (B) d k/m ； (C) d )(2m k/ ； (D) d k/m 2。

3. 两个质量相等的小球1和2置于光滑水平面上，小球1以速度0v 向静止的小球2运动，并发生弹性碰撞。

之后两球分别以速度1v 、2v 向不同方向运动，则1v 、2v 的夹角是（ D ）
(A) 30º； (B) 45º； (C) 60º； (D) 90º。

4. 下列说法中正确的是（ D ）
(A) 作用力的功与反作用力的功必须等值异号；(B) 作用于一个物体的摩擦力只能做负功； (C) 内力不改变系统的总机械能；(D) 一对作用力和反作用力做功之和与参照系的选取无关。

二.填空题
1.一质点在二恒力的作用下, 位移为r =3i +8j (SI), 在此过程中,动能增量为24J, 已知其中一恒力F 1=12i －3j (SI), 则另一恒力所作的功为 12J .
2.一长为l , 质量为m 的匀质链条,放在光滑的桌面上,若其长度的1/5悬挂于桌边下,将其慢慢拉回桌面,需作功 mgl/50
3. 如图3所示,倔强系数为k 的弹簧, 上端固定, 下端悬挂重物. 当弹簧伸长x 0 , 重物在O 处达到平衡, 现取重物在O 处时各种势能均为零, 则当弹簧长度为原长时, 系统的重力势能为
20 kx , 系统的弹性势能为2
0-kx /2 ,系统的总势能为20
kx /2 三.计算题
1. 一质量为m 的陨石从距地面高h 处由静止开始落向地面，设地球质量为M ，半径为R ，忽略空气阻力，求:
(1) 陨石下落过程中，万有引力的功是多少 (2) 陨石落地的速度多大
解：1）引力做功等于石块引力势能的改变：)1
1(
h
R R GMm E A P +-=∆-= 2）石块下落过程中，系统机械能守恒：)1
1(212h
R R GMm mv +-=
gh R
h
GM h R R h GM h R R GM v 22)(2)11(
222=≈+=+-= gh v 2≈ 2. 在宇宙中的某些区域中有密度为 的尘埃，这些尘埃相对惯性参考系是静止的.有一质量为m 的宇宙飞船以初速0v 进入尘埃区域并穿过宇宙尘埃,由于尘埃粘贴到飞船上，致使飞船的速度发生改变。

求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的函数关系。

(设飞船的外形是横截面积为S 的圆柱体)
解：尘埃与飞船作完全非弹性碰撞, 把它们作为一个系 统，则其动量守恒
00v m mv =
3. 电子质量为319.110kg -⨯，在半径为115.310m -⨯ 的圆周上绕氢核作匀速运动，已知电子的
O O x 0 图3
v v
v d d 20
0m m -
=t S d v ρ=dt v m S v dv ⋅-=0
03ρ⎰⎰-=t
t
m S
03d d 0
v v v
v
v
ρ0
210
00
)2(
v v v m t S m +=∴ρ
角动量为/2h π，求它的角速度。

解：设电子质量为m ，绕核作匀速圆周运动的速率为v ，基态电子轨道半径为r ，则电子对核的角动量为mvr L =，由题中已知条件，有：
mr
h
v π2=
， s rad mr h r v /1013.4)
103.5(1011.914.321063.6216
2
1131342⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---πω。