第1讲 二次函数与特殊三角形

1 二次函数与特殊三角形

模块一二次函数与等腰直角三角形

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如图，★ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，可构造如图所示的三垂直全等模型“△ACD≌△BAE”，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算．

若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三个顶点坐标．

一般情况下，已知直角顶点坐标计算量会小很多．

在上述结论的基础上，加上二次函数的背景思路依然不变．

题型一从45度到等腰直角三角形

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二次函数中经常会出现45度的条件，其中有一种常见思路就是把45度放入直角三角形中就变成，再利用三垂直的算法就可以达到解题的效果．

例1如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．点D(3，4)在第一象限的抛物线上，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

解：连接CD，过点B作BF⊥CD交CD延长线于点F，过点D作DM⊥BD交BP于点M，过点M作ME ⊥CD交DC延长线于点E，则△BDM为等腰直角三角形．

∵y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，∴

04

44

a b a

a

⎧

⎨

⎩

＝－－

＝－

，解得

1

3

a

b

⎧

⎨

⎩

＝－

＝

，∴抛物线的解析式为y

＝－x2＋3x＋4，当y＝0时，0＝－x2＋3x＋4，解得x1＝4，x2＝－1，∴B(4，0)，又∵D(3，4)，∴DF＝1，BF＝4，∵DM⊥BD，∴∠MDB＝90°，∴∠EDM＋∠BDF＝90°，∵BF⊥CD，ME⊥CD，∴∠E＝∠F＝90°，∴∠EDM＋∠EMD＝90°，∴∠BDF＝∠EMD，∵∠DBP＝45°，∠MDB＝90°，∴DM＝DB，∴△EDM≌△FBD，∴EM＝DF＝1，ED＝FB＝4，∴M(－1，3)．设直线BM解析式为y＝kx＋h，∵B(4，0)，

M(－1，3) ，∴

04

3

k h

k h

⎧

⎨

⎩

＝＋

＝－＋

，解得

3

5

12

5

k

h

⎧

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

＝－

＝

，∴直线BM解析式为y＝－

3

5

x＋

12

5

．∴

234

312

55

y x x

y x

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

＝－＋＋

＝－＋

，

－x2＋3x＋4＝－3

5

x＋

12

5

，整理得5x2－18x－8＝0解得x1＝4，x2＝－

2

5

，当x＝－

2

5

时，y＝－(－

2

5

)2＋

3×(－2

5

)＋4＝

12

5

，∴P(－

2

5

，

12

5

)．

练习

如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ＝135°．求直线PQ的解析式．

解：过点A作AE⊥AC交PC于点E，过点E作EH⊥x轴点H．

令抛物线y＝x2－4x＋3中，当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，AO＝1，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，CO＝3．∵AC∥PQ，∠CPQ＝135°，∴∠ACE＝180°－∠CPQ＝45°，∴△CAE为等腰直角三角形，∴AC＝AE．∵AE⊥AC，EH⊥x轴，∴∠CAE＝∠AHE＝90°，∴∠CAO＋∠EAH＝∠AEH ＋∠EAH＝90°，∴∠CAO＝∠AEH，又∵∠COA＝∠AHE＝90°，∴△AOC≌△EHA，∴AO＝EH＝1，AH＝CO＝3，∴OH＝AO＋AH＝4，∴E(4，1)，设直线CP解析式为y＝kx＋b，∵直线CP经过点C(0，

3)，E(4，1)，∴

3

14

b

k b

⎧

⎨

⎩

＝

＝＋

，解得

1

2

3

k

b

⎧

⎪

⎨

⎪⎩

＝－

＝

，∴直线CP解析式为y＝－

1

2

x＋3．∴

243

1

3

2

y x x

y x

⎧

⎪

⎨

⎪⎩

＝－＋

＝－＋

，解得

03x y ⎧⎨⎩＝＝或72

54x y ⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

＝

＝，∴P (72，54)．设直线AC 解析式为y ＝k 1x ＋b 1，过A (1，0)，C (0，3)两点，则111

30b k b ⎧⎨⎩＝＝＋ 解得k 1＝－3，∵AC ∥PQ ，∴设直线PQ 解析式为y ＝－3x ＋b 2，过P (72，54)， 则54＝－3×7

2

＋b 2，解得b 2＝

474，∴直线PQ 解析式为y ＝－3x ＋47

4

．

例2如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点C ，D 为抛物线的顶点，在

抛物线上有一动点P ，使得∠PCB ＝∠CBD ，求点P 的坐标．

解：①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过D 作DH ⊥y 轴于点H ，作∠PCE ＝∠BCO 交x 轴于点E ，过点E 作EF ⊥CE 于点E ，交CP 于点F ，作FG ⊥x 轴于点G ．

∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点D (1，4)，令y ＝0，则0＝－x 2＋2x ＋3，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴B (3，0)，当x ＝0时，y ＝3，则C (0，3)，∴OC ＝OB ＝3，CH ＝DH ＝1，∴△DCH 与△COB 为等腰直角三角形，∴∠DCH ＝∠OCB ＝45°，且DC

BC ＝

∴∠DCB ＝180°－∠OCB －∠DCH ＝90°，∵∠PCE ＝∠BCO ＝45°，∴∠OCE ＝∠PCB ＝∠CBD ，又∵∠DCB ＝∠EOC ＝90°，∴△COE ∽△BCD ，∴

OC BC ＝OE CD

OE ＝1，∵∠ECP ＝45°，∠CEF ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CE ＝EF ，∵∠CEO ＋∠OCE ＝∠CEO ＋∠FEG ＝90°，∴∠OCE ＝∠FEG ，又∵∠COE ＝∠FEG ＝90°，∴△COE ≌△EGF ，∴FG ＝OE ＝1，EG ＝CO ＝3，∴OG ＝OE ＋EG ＝4，∴F (4，1)，设直线CP 解析式为

y ＝kx ＋b ，∵直线CP 经过点C (0，3)，F (4，1)，∴314b k b ⎧⎨⎩＝＝＋，解得123

k b ⎧⎪

⎨⎪⎩＝－＝，∴直线CP 解析式为y ＝－

12x ＋3．∴22313

2y x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＋＋＝－＋，解得03x y ⎧⎨⎩＝＝或5

2

74x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

＝

＝，∴P (52，74)．