高阶导数和应用

一、案例 [国防预算]
1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和 参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，国 会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，若 用f (x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数 f (x) 0预算仍然在增加，只是 f (x) 0 即预算的增长 变缓了．
解 (1) p(t) 0 表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。
(2) p(t) 0表示通货膨涨存在， p(t) 0 表示通货膨涨率正在下降；
(3) p(t) 0 表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来．
练习3 [股票曲线] 假设P(t)代表在时刻t某公司的股票价格.请根据以下 叙述判定P(t)的一阶、二阶导数的正、负号． (1) 股票价格上升得越来越快； (2) 股票价格接近最低点； (3) 如图所示为某种股票某天的价格 走势曲线，请说明该股票当天的走势．
二、 概念和公式的引出
曲线的凹、凸与拐点: 在区间I上任意作曲线y=f (x)的切线，若曲线总是在 切线上方，则称此曲线在区间I上是凹的；若曲线 总是在切线下方，则称此曲线在区间I上是凸的． 曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点．
曲线凹凸性的判定: 设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间 (a,b)内具有二阶导数，如果对于任意 x (a,b) ，有
解 (1) 股票价格上升得越来越快，一方面说明股票
价格在上升 dP 0
dt
另一方面说明上升的速度也是单调
增加的，即
d2P dt 2
0
(2) 股票价格接近最低点时，应满足 dP 0
dt
(3) 从某股票在某天的价格走势曲线可以看出，
此曲线是单调上升且为凸的，这说明该股票当日
的价格上升得越来越慢．
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2.4 高阶导数及其应用
2.4.1 高阶导数的概念 2.4.2 二阶导数的意义
2.4.1 高阶导数的概念
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
一、案例 [加速度的表示]
我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t)
关于时间t的导数，即
v(t )
ds dt
或
v(t)
s (t )，而加速度
(1) f (x) 0 ，则函数f (x)在区间[a,b]上是凹的； (2) f (x) 0 ，则函数f (x)在区间 [a,b]上是凸的．
三、 进一步练习
练习1 [水量增加量]
如果一个容器中的水量W随着时间的增加而
增加，但增加量越来越小，则
dW dt
,
d2W dt 2
的正、负符号分别为什么？
练习1 [刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车 行驶的距离（单位：m）与时间t (单位：s)满足
s 19.2t 0.4t3 假设汽车作直线运动，求汽车在t=4s时的速度和 加速度．
解 汽车刹车后的速度为
v ds dt
(19.2t 0.4t3) 19.2 1.2t2 (m/s)，
dx 2
类似地，二阶导数 f (x)的导数称为y= f (x)的三阶导数，
记作 y、 f (x) 或 d3 y
dx 3
y= f (x)的n-1阶导数 f (n1) (x)的导数称为y= f (x)的n阶导数，
记作
y
(n、) f
(n)
(x)
或
dn y dxn
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．
三、进一步的练习
a又是速度v(t)关于时间t的导数，即
a
dv dt
d dt
ds dt
或
a
s(t)
我们称这种导数
v(t )
ds dt
的导数 d
dt
ds dt
或s
(t)
为s(t)对t的二阶导数。
二、 概念和公式的引出
n阶导数 对于函数y= f (x),称 f (x) 的导数为函数
的二阶导导数，记作 y、 f (x) 或 d 2 y 。
汽车刹车后的加速度为
a dv (19.2 1.2t2 ) 2.4t (m/s2)，
dt
t=4s时，汽车的速度为
v (19.2 1.2t2 ) t4 0 (m/s)，
t=4s时，汽车的加速度为
a 2.4t t4 9.6 (m/s2)，
2.4.2 二阶导数的意义
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
解 因为水量W随着源自文库间的增加而增加，所以
dW 0
dt
但因为增加量越来越小，所以
d2W dt 2
0
练习2[通货膨涨]
设函数p (t)表示在时刻t某种产品的价格，则
在通货膨涨期间， p (t)将迅速增加。 请用p (t)的导数描述以下叙述： (1) 通货膨涨仍然存在。 (2) 通货膨涨率正在下降。 (3) 在不久的将来，物价将稳定下来。