6-4.5.6 静电场的环路定理 电势

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一、高斯定理
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = ∑q内
S
ε0
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量， 真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等 于该曲面所包围的电荷 电荷电量的代数和乘以 于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 ε0 说明
二、高斯定理的应用
v 只与内部电荷有关。 E是所有电荷产生的 ; Φ e 只与内部电荷有关。 +
u =∑ i u
i
u = ∫ du
Q
三、电势的计算
（1） 场强分布 方法 （2） 电荷分布 均匀带电圆环半径为R， 例 均匀带电圆环半径为 ， 电量q 电量 。 求 圆环轴线上一点的电势 解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq 建立如图坐标系，
up = ∫
Q
"0" p
v v E ⋅ dl
u = ∫ du
∫
b a
v v E ⋅ dl
电场强度自 a →b 的线积分
点电荷的电势
r r "0" q 1 v r q ∞ dr r ⋅ dl = ua = ∫ E ⋅ dl = ∫a 3 a 4πε0 r 4π ε0 ∫r r 2 q = 4π ε 0r
"0"
二、 电势叠加原理
点电荷系的电势
q1
P
r E2 r E1
如图所示, 的点电荷所产生的静电场中， 例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中， ∞ 有一带电量为 q 的点电荷 a 求 q 在 a 点和 b 点的电势能 Q c 解 • 选无穷远为电势能零点 q r qQ ∞ 1 ∞ r qQ Wa = ∫ qE ⋅ dl = ∫ra r2 dr = 4πε0ra b a 4π ε0 r ∞ r qQ Wb = ∫ qE ⋅ dl = b 4πε0rb
v E大
等势面疏
v E小
6.6 等势面 电势与电场强度的微分关系
电场中电势相等的点连成的面称为等势面) 电场中电势相等的点连成的面称为等势面 一、等势面 (电场中电势相等的点连成的面称为等势面
u=u0/4
半球面
1. 2.
v E ⊥ 等势面
等势面密
指向电势降落的方向
v E大
等势面疏
v E小
求证: 求证
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动 在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
r r Aab = ∫ q0 E ⋅ dl
=∫
q0 由 a 点经 L1 到 达 b 点所做的功
b a( L ) 1
b
b L1
r r a r r q0E ⋅ dl + ∫ q0E ⋅ dl
b( L2 )
L2 a
2)图示 2)图示
ϕ
0
r
R
例 半径为 ，带电量为q 的均匀带电球体 半径为R，带电量为 求 带电球体的电势分布 根据高斯定律可得场强分布 分布： 解 • 根据高斯定律可得场强分布：
球内: 球内
+ +
r 球外: 球外 E2 = q
+
+ r
R P
+ +
r E1 =
r r (r < R) 3 4πε0R
v v bv v cv v dv v av v ∫ E⋅ dl = ∫ E⋅ dl + ∫ E⋅ dl + ∫ E⋅ dl + ∫ E⋅ dl
a b c d
= ∫ E1dl + ∫ − E2dl
a c
b
d
a d
= E1ab − E2 cd
b
≠0
不是静电场
r c E
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。 静电场是无旋场，可引进电势能。
(P )
∫
r
∫ 4πε r
R 0
2
dr
ϕ =
R
∫ odl + ∫ 4 πε
r R
∞
Q
0r 2
dr
Q
Po
R
Q = 4 πε 0 R
场点在球面外 场点在球面外 即
∞
∞
r >R
P
r r
Q Q ϕ=∫ dr = 2 4πε0r 4 πε 0 r r
1)电势分布 1)电势分布
Q ϕ= r R 等势体 4πε0R ≤ 与电量集中在球心的 Q ϕ= rR > 4πε0r 点电荷的电势分布相同
电场强度等于电势梯度的负值 均匀带电圆环半径为R，电量q 例 均匀带电圆环半径为 ，电量 求 轴线上电场分布。 轴线上电场分布。 解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq 建立如图坐标系， 轴线上电势分布 u = ∫ du = ∫
q
dq
r
R
o
P
x
0
q dq q = = 4πε0r 4πε0r 4πε0 R2 + x2
E
• 球外( r > R ) 球外 • 球内 ( r < R )
ρ R3 E= 3ε0 r2 ρ E= r 3ε0
r +r + + + R + + +
E∝
R
1 r2
O
无限大” 例2 “无限大”均匀带电平面，电荷面密度为 无限大 均匀带电平面， 电场强度分布。 求 电场强度分布。
r
σ
无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+ 例3 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为 λ 无限长 求 电场强度分布。 电场强度分布。 分布
r E
up = ∫
∞
p
v v E ⋅ dl
∞
q2
v ∞v v ∞v v v v = ∫ (E1 + E2 ) ⋅ dl = ∫p E1 ⋅ dl + ∫p E2 ⋅ dl
p
= u1 + u2
在点电荷系产生的电场中， 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时， 在时，在该点产生的电势的代数和 —— 电势叠加原理 n 个点电荷构成的系统的电势 电荷连续分布的带电体的电势 电荷连续分布的带电体的电势 连续分布的带电体
c
6.5 电势
一、 电势
电势能 电势 电势差
电势差
电场强度自 a →“势能零 势能零 点” 的线积分
W = q0 ∫ a
"0"
a
r r E ⋅ dl
W v "0" v a ua = q0 = ∫ a E ⋅ dl
uab = ∫
"0" a
v v E ⋅ dl − ∫
"0" b
v v E ⋅ dl =
q
r r (r ≥ R) 3 4πε0r
• 由场强分布求电势分布： 由场强分布求电势分布： 分布 ∞ q r "0" v = 对球外一点P 对球外一点 ： u外 = ∫p E2 ⋅ dl = ∫r E2dr 4 ε r π 0 对球内一点P 对球内一点 1 ： r "0" v R ∞ u内 = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1dr + ∫ E2dr
三、电势能
1. 电势能的差
静电力 保守力 引入静电势能
b
q0
r E
定义： 定义：q0 在a、b 两点电势能之差等于把 q0 、 自 a 点移至 b 点电场力所做的功
a
r r A = ∫ q0E ⋅ dl = W −W b ab a
( a)
( b)
W −W = ? a b
2. 电势能 取b点为势能零点 点为势能零点 Wb = W“0” = 0
u+du
Q
E cosθ dl = −du
El dl = −du
du ∴ El = − dl
u
θ
v dl
El
v E
P
电场强度在l 电场强度在 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值 在直角坐标系中： 在直角坐标系中：Ex = −
∂u ∂x
∂u Ey = − ∂y
∂u Ez = − ∂z
v ∂u v ∂u v ∂u v E = −( i + j + k ) = −grad(u) ∂x ∂y ∂z
rb
r r
a
L
r dl
θ
r E q0 r r r dr =| r + dr | − | r |
qq0 rb 1 = ∫ra r2 dr 4π ε0 qq0 1 1 ( − ) = 4π ε0 ra rb
r r r ⋅ dl = r cosθ dl = r dr
点电荷对q 点电荷对 0 做功与路径无关 与路径无关
"0" a
q0 在电场中某点 a 的电势能： W = A "0" = ∫ 的电势能： a a
r r q0E ⋅ dl
说明 (1) 选势能零点习惯和原则： 选势能零点习惯和原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选在无穷远处。 电荷分布在有限范围内时， 源 电荷分布在有限范围内时 一般选在无穷远处。 • 无限长带电直线，无限带电大板，选有限远处为势能 无限长带电直线，无限带电大板， 零点。 零点。 (2) 电荷在某点的电势能与零点有关，而两点的差值与零 电荷在某点的电势能与零点有关， 点无关。 点无关。 (3) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。 和产生电场的源电荷系统共有。
σ E= 2ε0
λ E= 2πε0r
总结： 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 总结： 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理求解电场分布 场强 E 能否提出积分号 带电体电荷分布的对称性 电荷 无限大平面、 无限大平面、平板 均匀 分布 无限长圆柱面、圆柱体 无限长圆柱面、 球面、 球面、球体