与图形旋转有关的问题

与函数相联系的图形旋转问题举例

图形的旋转是图形变换的重要内容之一,又是新课程标准明确的重要内容。

其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图

形旋转问题，来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。

一、与一次函数相联系的图形旋转问题

A．三角形作旋转

例1（06沈阳）．如图1-①，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。

(1)求点C的坐标；

(2)如图1-②，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A’B’C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)

(3)在(2)的基础上，将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。

分析：（1）要求点C的坐标只需求出OC长即可；（2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形；（3）问题关键是“其中A’C交直线OA于点E”，所以“当△COE的面积为

时”要注意多解。

解：（1）在中，，．

点的坐标为．

（2），，．

（3）如图1-③，过点作于点．

，．

∵在中，，，．

∵点的坐标为．直线的．

同理，如图1-④所示，点的坐标为．

设直线．

例2（08金华）如图2，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图2-①图2-②

分析：（1）要求直线AB的解析式只需知道点A、点B的坐标即可，点A坐标已知，由已知△AOB是等边三角形、AO=AB过点B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标；（2）因为△ABD是由△AOP旋转而得到的，易证△ADP是等边三角形，所以DP的长即为AP的长；求点D坐标，一般可过点D作DH⊥x 轴于点H，但此题不易直接求得线段OH、DH的长，因而可过点B作BG⊥DH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.（3）

由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为（t，0），所以分当t

＞0、＜t≤0、t≤

时三种情况讨论。

解：（1）如图2-③，过点

B作BE⊥y轴于点E，作BF

⊥x轴于点F.

由已知得BF=OE=2, OF= =

∴点B的坐标是(，2)设直线AB的解析式是y=kx+b，

则有解得

∴直线AB的解析式是y=x+4

(2) 如图2-④，∵△ABD由△AOP旋转得到，

∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴DP=AP=.……（2分）

如图，点B作BG⊥DH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.

在Rt△BDG中，∠BGD=90°, ∠DBG=60°.

∴BG=BD·cos60°=×=. DG=BD·sin60°=×=. ∴OH=KG=, DH=∴点D的坐标为(, )

(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD的面积等于.

设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:

①t＞0时，如图2-⑤，BD=OP=t, DG=t,

∴DH=2+t. ∵△OPD的面积等于，∴，

解得, ( 舍去) . ∴点P1的坐标为 (, 0 ) ②当＜t≤0时，如图2-⑥，BD=OP=－t, BG=－t,

∴DH=GF=2－（－t）=2+t. ∵△OPD的面积等于，

∴，解得, .

∴点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(, 0).

③当t≤时，如图，BD=OP=－t, DG=－t,

∴DH=－t－2.

∵△OPD的面积等于，∴，

解得(舍去), ∴点P4的坐标为(, 0)

综上所述,点P的坐标分别为P1 (, 0)、P2 (, 0)、P3 (, 0) 、P4 (, 0) B．角作旋转

例3（06南通）如图3-①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．

（1）求直线CB的解析式；（2）求点M的坐标；

（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（30°＜α＜60°）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC交直线CB于点F，设DE＝m，BF＝n .求m与n的函数关系式．

图3-①

分析：（1）要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐标即可；求点C坐标只需过点C作CG⊥x轴于点G。（2）求点M的坐标只需求出线段OM的长度，由△ODM∽△BMC 即可求得。（3）由于∠DMC绕点M顺时针旋转，点M有两种情况，因而需分情况讨论。

解：（1）BC解析式：y=

（2）略证△ODM∽△BMC设OM=x，2×2＝x（5－x），x＝1或4M（1，0）或（4，0）（3）当M （1，0）时，△DME∽△CMF，

CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m ，即m＝1＋

当M(4，0) 时∴m＝2（2－n），即m＝4－2n