数理统计论文

数理统计“假设检验”

[摘要]：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用。

[关键词]：假设检验样本总体检验

科技日新月异，人们的生活水平也随之得到提高。在生活水平提高的同时，人们在生活中需要检验的物件或事情也越来越多。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用，尤其在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用，甚至在医学方面有着广泛的前景，尤其在产品的质量管理方面，假设检验已成为必不可少的检验方法。因此，我们需要对假设检验作进一步的了解。

假设检验是用判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法，是一种基本的统计推断形式。假设检验的目的就在于排除抽样误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事件发生的概率。

一、假设检验的概念

事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立。

二、假设检验的基本思想

假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法。为了检验一个假设

H是否

正确，首先假定该假设

H正确，然后根据样本对假设0H作出接受或拒绝的决策。如果样

本观察值导致了不合理的现象的发生，就应拒绝假设

H，否则应接受假设0H。

假设检验中所谓“不合理”,并非逻辑中的绝对矛盾,而是基于人们在实践中广泛采用的原则, 即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”, 显然, “小概率事件”的概率越小，否定原假设

H就越有说服力。常记这个概率

值为)1

α,称为检验的显著性水平。对不同的问题, 检验的显著性水平α不一定相同, <α

0(<

但一般应取为较小的值, 如0.1,0.05或0.01等。

三、假设检验的一般步骤

在假设检验问题中，通常对于一个需要用假设检验方法处理实际问题，首先要明确问题的性质，明确基本前提。由于基本前提是考虑问题的出发点，必须先明确下来。在明确了基本前提之后，假设检验一般可按以下步骤进行：

1.充分考虑和利用已知的背景知识提出原假设0H 和备择假设1H 。

2.确定检验统计量，给出拒绝域形式。

3.选择显著性水平。

4.给出拒绝域。

5.根据得到的样本值和拒绝域对原假设0H 作出拒绝或接受的判断。 四、假设检验的两类错误

当假设0H 正确时, 小概率事件也有可能发生, 此时我们会拒绝假设0H , 因而犯了“弃真”的错误, 称此为第一类错误. 犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率

α, 即

P {拒绝0H |0H 为真}=α.

反之, 若假设0H 不正确, 但一次抽样检验结果, 未发生不合理结果, 这时我们会接受0H , 因而犯了“取伪”的错误,称此为第二类错误. 记β为犯第二类错误的概率, 即

P {接受0H |0H 不真}=β.

理论上, 自然希望犯这两类错误的概率都很小。 当样本容量n 固定时, α,β不能同时都小, 即α变小时, β就变大;而β变小时,α就变大。一般只有当样本容量n 增大时，才有可能使两者变小。在实际应用中, 一般原则是: 控制犯第一类错误的概率, 即给定α, 然后通过增大样本容量n 来减小β.

关于显著性水平α的选取: 若注重经济效益, α可取小些, 如01.0=α; 若注重社会效益, α可取大些,如01.0=α;若要兼顾经济效益和社会效益, 一般可取05.0=α. 五、几种常见的假设检验 参数假设检验

设总体的分布函数)(x f 已知，而其中有若干个参数是未知的，假设θ未知。Θ∈θ，Θ为参数空间。（Θ可为一维或多维）将Θ分解成二个互不相交的部分：0Θ，1Θ（0Θ非空）考察检验问题。

0H ：0Θ∈θ，1H ：1

Θ∈θ

0H 为原假设，1H 为备择假设。

一般说来，对这三种假设所采用的假设统计量是相同的，差别在拒绝域上。当备择假设1H 在原假设0H 一侧时的检验称为单侧检验，当备择假设1H 分散在原假设0H 两侧时的检

验称为双侧检验。 u —检验

在原假设成立时，检验统计量服从标准正态分布，故称u —检验。对常见的检验形式：

(1) 00μμ≤：H vs 01μμ>：H ； (2) 00μμ≥：H vs 01μμ<：H ； (3) 00μμ=：H vs 01μμ≠：H ；

检验统计量相同，只是拒绝域形式不同。如果所用检验统计量为U ，对于（1）的拒绝域为}{1α->u u ；对于（2）的拒绝域为}{αu u <；对于（3）的拒绝域为}{2/1α->u u ，其中u 为检验统计量的值。即根据备择假设的形式来确定拒绝域。因此一般只要确定了检验统计量，该检验的检验方法也就可以确定了。 1）单个正态总体均值的检验

设n x x x ,,,21 是来自正态总体),(2

σμN 的样本， 在总体方差已知的情况下也总体均值的检验。如0H ：0μμ∈，1H ：0μμ≠，故有检验统计量n

x u σ

μ0

-=

2) 两个正态总体均值之差的检验

设m x x x ,,,21 是来自正态总体),(211σμN 的样本，n y y ,1是来自于另一个正态总体

),(2

21σμN 的样本，在两个总体方差已知的情况下对总体均值之差的检验。如

0H ：021=-μμ，1H ：021≠-μμ。检验的统计量为： n

m

y x u 2

2

2

1

)

(σ

σ+

-=

3)大样本检验

在上面我们介绍两类有关均值假设检验，是在样本容量不大的情况下使用的。如果在样本容量较大的情况下，使用上面两类假设检验就不方便。那么在样本容量较大的情况下，我们可用近似的检验方法

_______

大样本检验。其基本原理为：设n x x x ,,,21 是来自某总

体的样本，总体均值为θ，方差为θ的函数。，记为：)(2θσ。在样本容量n 充分大的情况下，对总体均值θ的检验。如0

H

：0θθ=，1H ：0θθ≠。检验统计量为：

)

()

(2

o

x n u θ

σ

θ

-=

t —检验

在原假设成立时，检验统计量服从t 分布，故称t —检验。

1）单个正态总体在方差未知的情况下总体均值的检验。如0H ：0μ∈，1H ：0μθ∈。

检验统计量为：s

x n t )

(0μ-=

2) 两个正态总体均值之差的检验

设m x x x ,,,21 是来自正态总体),(2

11σμN 的样本，n y y ,1是来自于另一个正态总体

),(221σμN 的样本，在两个总体方差未知的情况下，但2

2221σ

σσ==，21μμ-的检验。

如 0

H

：021=-μμ，1H ：021≠-μμ。检验的统计量为:

n

m

s y x t w

11)

()(21+

---=

μμ。

2

χ—检验