选择填空平面向量数列不等式

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高二数学平面向量试题答案及解析

高二数学平面向量试题答案及解析1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；①；②；③；④.【答案】①④【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算2.下列各组向量中不平行的是（）A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)【答案】D【解析】略3.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．5.已知向量，，若，则__________________．【答案】或【解析】两向量平行，所以，解得：或．【考点】向量平行的坐标表示6.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．9.设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，由二倍角公式得，故选C．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的三角函数值，从而求得锐角的值．10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。

专题05 均值不等式及其应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1．基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零（6）重要不等式链若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 5、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况（2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值，此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．6【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>热点二配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（） A ．12B ．14C ．18D ．19【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（） A ．3B ．423+C ．6 D ．12【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________．【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t++⋅，再用基本不等式求最值．热点四基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a ＞0)的单调性．热点五利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2B ．4C ．5D ．62．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（） A ．4B ．8C ．16D ．323．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（） A 5B 3C ．2D 24．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（） A ．0B ．1C ．2D ．35．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4B ．8C ．16D ．326．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+ B ．426m +或426m - C ．19m -D ．9m 或1m -7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（） A ．52B ．4C ．92D ．68.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤D ．221x y +≥10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥-D 2a b ≤11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞ D ．a +cos b ＞b +cos a12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．14．（2019·天津·高考真题（文））设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为_____________.17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________．四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b+的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值．。

(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（） A ．12B ．14C ．34D ．322．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（） A ．1B ．25C ．5D ．33．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．324．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（）A ．4B C ．D ．55．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（）A B ．1C ．2D ．226．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为AC 的长为（）A ．B ．3C ．3D ．7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +9．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．410．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+11．设O 是△ABC 20OB OC ++=，则∠BOC =（） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．记集合{|X x b a xc ==+且||||4}a b a b ++-=中所有元素的绝对值之和为(,)S a c ，其中平面向量a ，b ，c 不共线，且||||1a c ==，则(,)S a c 的取值范围是______________．15．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ② A 、B 两点间的距离为(12x x -③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号） 16．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________17．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，28AP AB λ-≥，PA PB ⋅的最小值为_______.18．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.19．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 20．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +.23．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =．（1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标． 24．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围；（2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.25．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点．（1）若AB AC ⊥求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OAC AEC S S =△△，即可得解.【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+，所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.2．B解析：B 【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.3．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴452555D ⎛ ⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,55EA λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=，∴235554λλ⎫⎛⎫⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD上的投影为())1,155ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，15102ED ⎛⎫==⎪⎪⎝⎭；当14λ=时，35102ED ⎛== ⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 4．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号，故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为316bc =，即得AC 的长. 【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅，所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=. 因为ABC 的面积为431sin 43,1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=. 所以24316,33b b =∴= 所以33AC =. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误故选C8．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x yy z x y zx z+=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555 AD ABBD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+3255a b=+.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C【解析】在ABC∆中，060BAC∠=，5,6AB AC==，D 是AB是上一点，且5AB CD⋅=-，如图所示，设AD k AB=，所以CD AD AC k AB AC=-=-，所以21()2556251552AB CD AB k AB AC k AB AB AC k k ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=-，解得25k=，所以2(1)35BD AB=-=，故选C．10．C解析：C【分析】先根据题意得1AD=，3CD=2AB DC=，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案.【详解】由题意可求得1AD=，3CD=所以2AB DC=，又13BE BC=，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC=+=+=+++1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．B解析：B 【分析】不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，可得1,2,7===OC OF OE ，利用余弦定理,再利用两角和余弦公式可得3BOC π∠=【详解】不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，+=OC OF OE ，所以1,2,7===OC OF OE 2221723cos sin 21777+-∠==∠=⨯⨯EOC EOC ， 2273cos sin 2272727∠==∠=⨯⨯EOF EOF 3331cos cos()2727727∠=∠+∠==BOC COE EOF 3π∴∠=BOC故选：B 【点睛】本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点，因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =，故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：53⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．【分析】由条件有两边平方可得当时当时可得答案【详解】解：因为所以所以两边平方得化简得设向量的夹角为则当时当时所以集合中所有元素的绝对值之和为因为所以所以所以所以的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考解析：[3,4)【分析】由条件有|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=，两边平方可得3xa c x ⋅=-，当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，可得答案【详解】解：因为||||4a b a b ++-=，b a xc =+，||||1a c == 所以|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=，所以|2|4||a xc x +=-，两边平方得，2244168xa c x x x +⋅+=-+，化简得，3xa c x ⋅=-，设向量,a c 的夹角为θ，(0,)θπ∈，则cos 32x x θ=-，当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，所以集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--，因为(0,)θπ∈，所以20cos 1θ≤<，所以234cos 4θ<-≤，所以212344cos θ≤<-，所以(,)S a c 的取值范围为[3,4)【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的性质的运用，解题的关键是由已知条件得到3xa c x ⋅=-，然后设出向量,a c 的夹角为θ，则当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，从而可得集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--，再利用三角函数的有界性可求得结果，考查数学转化思想15．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++ ∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确.对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 两点间的距离为()()2222211212212112()()2x x e y y e x x y y e e -+-+--，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =，再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =，利用勾股定理分别求得EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解. 【详解】如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=，因为3AB AC AB AC +=-，所以3AD CB =，设3CB =3AD =，因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以CB AD ⊥，所以AB AC EF ====，所以3AE AF ===，所以2222121113cos 214AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅. 故答案为：1314【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】建立如图所示的坐标系则设则所以从而结合可得对任意恒成立则必然成立可得而从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点以所在的直线为轴以其中垂线为轴建立直角坐标系则设则所以因为所以化简得由于上述解析：9-【分析】建立如图所示的坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=，所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，从而2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，结合28AP AB λ-≥，可得222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥，对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，可得4y ≥，而2225PA PB x y ⋅=+-216259x ≥+-≥-，从而可求得结果【详解】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=，所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，因为28AP AB λ-≥，所以22(21010)464x y λ+-+≥，化简得222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥，由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，222(20040)4100(440436)0x x x y ∆=+-⨯⨯+++≤，解得4y ≥，所以4y ≥或4y ≤-，因为(5,),(5,)PA x y PB x y =---=--，所以2225PA PB x y ⋅=+-，因为x ∈R ，216y ≥，所以2222516259x y x +-≥+-≥-，即9PA PB ⋅≥-，所以PA PB ⋅的最小值为9-，故答案为：9-【点睛】此题考查向量的数量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题18．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小；设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形；设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.19．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题 3【分析】根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案. 【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=-22222||()2||2||1113a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=3【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.20．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时解析：283-【分析】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒，所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--，所以(2)(2)w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++22)(32)(2)(2)x x y y x x y -++-+=22222222834232263()3()333x x y x y -+--=-+--，当222,33x y ==时，w 有最小值，且为283-，故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||25AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OB AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系． 23．（1）52x =；（2）()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）利用//AB BC ，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.（2）设M 点的坐标为()6,3λλ，利用MA MB ⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值，进而求得M 点的坐标. 【详解】（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=- ∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC ∴()2430x +-= ∴52x =．（2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ== ∴()26,53MA OA OM λλ=-=--()36,13MB OB OM λλ=-=--∵MA MB ⊥∴()()()()263653130λλλλ--+--= 即：24548110λλ-+= 解得：13λ=或1115λ=. ∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫=⎪⎝⎭． ∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.24．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =.【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解；（2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--，令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <，当12m =-时，12ma b a b +=-+，此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-，综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，因为222sin 1cos 1a b a b θθ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭，又由()3,2a =-，()2,1b =，可得()22222224sin 651649S a b a b a bθ=⋅=-⋅=-=，解得72S =，即OAB 的面积为72OAB S=. 【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．（1）1；（2）【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABC S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--，又因为AB AC ⊥，所以4(1)40m --+=，解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--，所以4,17AB AC ==所以11422ABC S AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 26．（1）53-；（2）12-. 【分析】（1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+， ()27,4a b -=-，所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=，解得53k =-；（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+，解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

数列、向量、斜三角形、均值不等式

数列、向量、斜三角形、均值不等式(易错题警示)1．设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝为等比数列，其公比q ≠1, 且b i ＞0(i=1、2、3 …n) 若a 1=b 1,a 11=b 11则 ( )A a 6=b 6B a 6＞b 6C a 6＜b 6D a 6＞b 6或 a 6＜b 62．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（）A. 22B. 21C. 19D. 183．已知S k 表示{a n }的前K 项和，S n —S n+1=a n （n ∈N +），则{a n }一定是( )A 、等差数列B 、等比数列C 、常数列D 、以上都不正确4．已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则212b a a -的值为( ) A 、21 B 、—21 C 、21或—21 D 、41 5．数列{}n a 的前n 项和为s n =n 2+2n-1，则a 1+a 3+a 5+……+a 25=( )A 350B 351C 337D 3386．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为（）A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 207．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．88．数列}{n a 满足121,12210,2{1<≤-<≤=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2004a 的值为（） A.76 B. 75 C. 73 D.71 9．已知数列}{n a 的前n 项和为)15(21-=n n S n ，+∈N n ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是( )A ．第6项B ．第8项C ．第12项D ．第15项10.}{n a 是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，则数列}{n S 中（）A 、任一项均不为0B 、必有一项为0C 、至多有有限项为0D 、或无一项为0，或无穷多项为011．数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n 各项和为（ C ）A 、2n+1－2－nB 、2n －n －1C 、2n+2－n －3D 、2n+2－n －212.．在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（）。

平坝高考数学试卷题型分值

一、选择题（共25题，每题4分，共100分）1. 数列与不等式（共5题，每题4分，共20分）2. 函数与导数（共5题，每题4分，共20分）3. 三角函数与解三角形（共5题，每题4分，共20分）4. 平面向量与复数（共5题，每题4分，共20分）5. 数列与不等式、函数与导数综合题（共5题，每题4分，共20分）二、填空题（共15题，每题4分，共60分）1. 数列与不等式（共5题，每题4分，共20分）2. 函数与导数（共5题，每题4分，共20分）3. 三角函数与解三角形（共5题，每题4分，共20分）4. 平面向量与复数（共5题，每题4分，共20分）三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 数列与不等式（共20分）- 给定数列，求通项公式；- 求不等式的解集。

2. 函数与导数（共20分）- 求函数的极值、最值；- 求函数的导数，并分析其性质。

3. 三角函数与解三角形（共20分）- 求三角函数的值；- 解三角形问题。

4. 平面向量与复数（共20分）- 求向量的坐标；- 求复数的模、辐角。

5. 综合题（共20分）- 结合数列、函数、三角函数、平面向量等多个知识点，解决实际问题。

四、附加题（共20分）附加题为一道综合性较强的题目，涉及多个知识点，难度较大。

要求考生在规定时间内完成，以考察其综合运用知识的能力。

总结：平坝高考数学试卷题型分值分布较为均衡，涵盖了数学的多个领域。

选择题和填空题主要考察考生对基础知识的掌握程度，解答题和附加题则侧重于考察考生的综合运用能力和分析解决问题的能力。

考生在备考过程中，应全面复习，注重基础知识的学习，同时加强解题能力的培养，以应对各种题型。

选择填空平面向量数列不等式1

绝密★启用前 2013-2014学年度???学校10月月考卷试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是 A ．12)1(3++-=n n n a n n B ．12)3()1(++-=n n n a n n C ．121)1()1(2--+-=n n a n n D ．12)2()1(++-=n n n a n n 2．在等比数列}{n a 中，若11=a ，公比2=q ，则22221n a a a +++ =（） A．2)12(-n B ．14-n D3．若,x y 满足条件32x y y x +≤⎧⎨≤⎩，则y x z 43+=的最大值为（） A. 11 B. 11- C. 7 D. 13 4．某人从2008年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（）(单位为元) A.5)1(r a +C.6)1(r a + 5．已知0.230.23,0.2,3a b c --===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 6．设动点坐标(,)x y 满足(1)(4)03x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩，则22x y +的最小值为( ) 107．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值（） A ．大于零 B ．小于零 C ．不大于零 D ．不小于零 8．设()()7,4,3,2-==b a ，则a 在b 方向上的投影为（）（A （B （C （D 9．在梯形ABCD 中，2,AB DC =AC 与BD 相交于O 点.若,,AB a AD b ==则OC =（） 1a b - B. 1163a b + C. 136a b + D. 11a b -10．已知向量(2,1),10,52,a a b a b b =⋅=+=则等于（） A ． 5 B C D ．2511．若数列{}n a 的通项为，则其前n 项和n S 为（）（A （B （C （D 12．正六边形ABCDEF 中，EF CD BA ++=（） A. 0 B. BE C. AD D. CF13．已知(1,2),(,1)a b x ==，若a a b -与共线，则实数x= A ．12- B ．12 C ．1 D ．214．已知点o 为ABC ∆的外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角A 等于( )A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒15．下列命题不正确．．．的是（）A ．若b a >，d c <，则d b c a ->-B ．0>>b a ，0<<d c ，则C ．若b a >，0>c ，则bc d ac d +>+D ．若b a >>0，0<c ，则b a 16．在直角坐标平面内，已知向量()0OB =1，，()OC =0，1，A 为动点，1CA =，则OA 与OB 夹角的最小值为（）AA .40 B.10 C.4 D.2 18．已知向量,||2,||3,|2|37a b a b a b a b ==+=满足，则与的夹角为（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 19．已知向量)0,1(=a 与向量，则向量a 与b 的夹角是（） A. π B. 3π C. 23π D. 56π 20则下列不等式中恒成立的是 ( )B 2a b >CD 22a b > 21．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212 B ．6 C ．10 D ．11 22时总有sin x kx >成立，则实数k 的取值范围为（） A 23．已知等差数列{}n a 的公差为)0(≠d d ，且32131063=+++a a a a ，若8=m a ，则m 为 A.12 B.10 C.8 D.4 24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则n a = （） A 、2n B 、3n C 、12n - D 、13n - 25．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为12 A.(0,)+∞ B. 26．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA ＝a ，OB ＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC ＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )27．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.3/2C ．2 D.3/428．已知01a b <<<，不等式lg()1x x a b -<的解集是{|10}x x -<<，则,a b 满足的关系是( ) B C ．b a ,的关系不能确定29．已知向量(2,1),10,||52,||a a b a b b =⋅=+=则= （ ▲）A B ．5 D ．2530．已知数列{}n a 的前n 项和为31n n S =+，则n a = ．31．设向量1e ，2e 是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为2=+12AB e e ，3k =+12AC e e ，k ∈R ，则k 的值可能是（）（A ）1-或6 （B ）1 或6 （C ）1-或6- （D ）1或6-32．已知2230x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则）A. 5B. 3C. 2D. 633．数列{}n a 中，则n a =（）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++{}a ,S 26,a a =+S =A 、54B 、45C 、36D 、27 35．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)，我们称{a n }为“比等差数列”．已知在“比等差数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝2，则a 2009a 2006的个位数字是( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 36．已知正项等比数列153{},2,n a a a a =中则= A B ．2 C ．4 D ． 37．定义{}⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,,max ，设实数y x ,满足约束条件则z 的取值范围是（） A. ［－5，8］ B. ［－5，6］ C. ［－3，6］ D.［－8，8］ 38．若,x y R ∈，且0xy >，则下列不等式中能恒成立的是 ( ) A ．222()2x y x y ++>． B ．x y +≥． C ．11x y +≥ ． D ．2x y y x +≥． 39．设向量→→b a ,满足） 40．已知a ,b ,m ∈R ，则下面推理中正确的是（） A ．22bm am b a >⇒> C第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）41．当(12)x∈，时，不等式240x mx++<恒成立，则m的值范围是．（用区间表示）42．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝1n－1(n≥2)，则S n＝．43．A，B，若B⊆A，则a 的取值集合是44．数列{a n}中，S n是其前n项的和，若a1＝1，a n+1n（n≥1），则a n＝45，若,,a b c成等差数列（公差不为零）46．已知数列{}na满足=na4(1,2,3,4)( 5 ,)nn na n n N-=⎧⎨-≥∈⎩，则2010a=_________；47．若对任意恒成立，则a的取值范围是_________ 48．已知()(2)(3)f x m x m x m=-++,()22xg x=-.若同时满足条件:①,()0x R f x∀∈<或()0g x<;②(,4)x∃∈-∞- ,()()0f xg x<. 则m的取值范围是________.49．将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,数列第6项第n项50．．已知定义在[0，＋∞)上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则不等式f(x)·g(x)>0的解集是____________．直角三角形内角的概率是 52．已知(2,1),(3,),,a b x a b ==则x =___________ 53．若不等()0,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是． 54．设1(,=+-∈+）且y x xy R y x ，则y x +的最小值为_________． 55．设,,a b c 是单位向量，且a b c +=，则a c 的值为．三、解答题（题型注释）参考答案1．D【解析】试题分析：数列中正负项（先负后正）间隔出现，必有(1)n -，分母3,5,7,9，……故2n+1，分子3,8,15,24，……恰为2(1)1n +-，所以数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是12)2()1(++-=n n n a nn ，故选D 。

【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型

平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ．例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围；解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5，则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ；（2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=．又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围；（II ）求动点M 的轨迹方程。

成人高考高起专《数学》必考考点

成人高考高起专《数学》必考考点1、集合【注意：请不要忘记空集！！！】交集：A ∩B={x| x ∈A 且x ∈B}并集：A ∪B={x| x ∈A 或x ∈B}补集：C U A={x| x A 但x ∈U}2、数列（选择和填空中的数列请大家掌握）3、解不等式（含绝对值）a>0， |x|<a 则 –a<x<a |x|>a 则 x>a 或 x<-a4、平面向量 0 ,//21211221=+⇔⊥=⇔y y x x y x y x5、平均数、方差6、解三角形（1）正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==（已知两边一对角或已知双角必定用正弦）（2）三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===（3）余弦定理：（已知三条边或两边一夹角必定用余弦）2222cos a b c bc A =+-B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=7、导数0)(='c (c 为常数)，)()(1+-∈='N n nx x n n ，()x x e e ='8、求切线方程步骤【例题】求曲线y=x 3-4x+2在点（1，-1）处的切线方程①求导：y ’=3x 2-4②把x=1 代入○1中：y=3-4=-1（即切线方程的k 为-1）③y=-x+b④把点（1，-1）代入○3：-1=-1+b 得b=0⑤所以切线方程为：y=-x请大家大题目当中的倒数第二题的第一步求导，无论会不会做，第一步请求导。

大题目中的解三角形无论会不会做第一步请写公式。

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)

10．[2019·陕西摸考]对于使f(x)≤m成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为()
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－－＝－－＝－－，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－－ ≤－－2＝－，∴－－的上确界为－，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 －－ |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则＋＝2 ，∵|3 －－ |＝0，
∴3 －－＝0，
∴3 ＝＋＝2 ，
∴ ＝，
∴ ＝，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝，α为锐角，所以cosα＝，sinα＝＝，所以tanα＝＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝＝＝－ .
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点，

集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何

滚动过关检测六集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·湖南师大附中月考]已知全集U ＝{x ∈N *|1≤x ≤6}，集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{3,4,5}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1,6}B ．{2,6}C ．{1,2}D ．{1,2,6}2．[2022·湖北武汉模拟]若复数z 满足i ＋z z＝i ＋2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2022·山东济宁模拟]“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2022·广东中山模拟]数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 4＋a 6＝10，则S 9＝( )A ．40B ．42C ．43D ．455．[2022·河北石家庄模拟]函数f (x )＝cos (π·x )e x －e－x 的图象大致为( )6．[2022·福建福州模拟]将曲线C 1：y ＝2sin x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的曲线C 2，把C 2向左平移π6个单位长度，得到曲线C 3：y ＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为4πB ．x ＝π12是f (x )的一条对称轴C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上的最大值为3 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上单调递增 7．[2022·山东师范大学附中月考]已知定义在R 上的函数f (x )＝3|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a8．[2022·辽宁抚顺二中月考]已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC ＝23，CD ＝PC ＝PD ＝26，若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的是( )A ．BM ⊥平面PCDB ．P A ∥平面MBDC ．四棱锥P ABCD 外接球的表面积为44πD ．四棱锥M ABCD 的体积为6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏如皋模拟]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)，下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的初相位为π3B ．若函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2C ．若ω＝1，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则ω的最小值为1 10．[2022·广东蛇口育才中学月考]已知函数f (x )＝11＋2x，则( ) A ．f (log 23)＝14B ．f (x )是R 上的减函数C ．f (x )的值域为(－∞，1)D ．不等式f (1＋2x )＋f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13 11．[2022·重庆八中月考]等比数列{a n }的公比为q ，且满足a 1>1，a 1010a 1011>1，(a 1010－1)(a 1011－1)<0.记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 1010a 1012－1>0C ．T n <T 1011D ．使T n <1成立的最小自然数n 等于202112．[2022·河北唐山模拟]如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，F A 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则( )A ．AP ⊥EFB ．点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心C ．二面角A EF P 的余弦值为13D ．若四面体P AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·广东顺德一中月考]已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________.14．[2022·清华附中月考]若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45，则sin α＝________. 15．[2022·山东潍坊模拟]圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3，则该圆台的体积为________．16．[2022·福建厦门模拟]已知a ，b 为正实数，直线y ＝2x －a 与曲线y ＝ln(2x ＋b )相切，则a 与b 满足的关系式为________.2a ＋3b的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(b －c )2＝a 2－bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，sin C ＝2sin B ，求△ABC 的面积．18．(12分)如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，B 1C ＝3.(1)证明：BC ⊥A 1C ；(2)若A 1C ＝2，求三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积．19．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足nS n ＋1－(n ＋1)S n －32n 2－32n ＝0.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n ·a n ，求{b n }的前n 项和T n .20．(12分)[2022·辽宁沈阳模拟]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面内有一点E ，点F 为线段AA 1的中点．(1)经过点E 在上底面画一条直线l 与CE 垂直，并说明画出这条线的理由；(2)若A 1E →＝2EC 1→，求CE 与平面FB 1D 1所成角的正切值．21．(12分)[2022·山东淄博模拟]在图1所示的平面图形ABCD 中，△ABD 是边长为4的等边三角形，BD 是∠ADC 的平分线，且BD ⊥BC ，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将△ABM 折起得到四棱锥A BCDM (如图2)．(1)设平面ABC 和ADM 的交线为l ，在四棱锥A BCDM 的棱AC 上求一点N ，使直线BN ∥l ；(2)若二面角A BM D 的大小为60°，求平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值．22．(12分)[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点．①12<a≤e22，b>2a；②0<a<12，b≤2a.。

2021年高考数学经典例题专题四：平面向量与不等式【含解析】

真题四平面向量与不等式一、单选题1．已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（） A 2B ．2 C ．2D ．50【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以22||(1)12a b -=-+=故选A2．已知向量()2,3a =，()1,b λ=-，若向量2a b -与向量a 共线，则b =（） A ．32-B ．132 C 13 D ．134【答案】B 【解析】由向量坐标运算得到2a b -，根据向量共线可构造方程求得λ，由模长的坐标运算得到结果. 【详解】()24,32a b λ-=-，又向量2a b -与向量a 共线，()432λλ∴=--，解得：32λ=-，()2239131124b ⎛⎫∴=-+-=+= ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若()11,a x y =与()22,b x y =共线，则1221x y x y =. 3．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C4.已知,,a b c 均为单位向量，且22a b c +=，则a c ⋅=（） A ．12-B ．14-C ．14D ．12【答案】C 【解析】由22a b c +=两边平方得14-⋅=a b ，又因为22a b c +=可得()1=22+c a b ，再计算a c ⋅即可得结果．【详解】由()()2222+=a bc 得222444++⋅=ab a b c因为,,a b c 均为单位向量，则1a b c ===，所以14-⋅=a b ，又()1=22+c a b ，所以()()21111122122224⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b故选：C ．5．已知,a b 是相互垂直的单位向量，与,a b 共面的向量c 满足2,a c b c ⋅⋅＝＝则c 的模为（） A ．1 B 2C ．2D ．22【答案】D 【解析】根据,a b 是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方程进行求解即可. 【详解】,a b 是相互垂直的单位向量，不妨设()1,0a =，()0,1b =，设(),c x y =，由2,a c b c ⋅⋅＝＝可得2x y ==，即()2,2c =，则c 的模为2222822c =+==.故选：D6．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B.7．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意；D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.8．已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.9．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.10．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（） A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.11．设2log 3a =，24log 3b =，则2a b +，ab ，ba 的大小关系为（） A ．2ab b ab a +>> B ．2a b b ab a +>> C ．2a b b ab a +>> D ．2b a bab a +>> 【答案】C 【解析】由已知得1,0a b >>且2a b +=，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得．【详解】易知：0,0a b >>,12a b +=，()214a b ab +<=，1b ab a a >⇔>，显然成立. 所以2a b bab a+>>．故选：C ．12．已知,a b 是平面向量，满足||2,||1a b =≤，且322b a -≤，记a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值是（） A ．1116B ．78C 15D 315【答案】B 【解析】先给322b a -≤两边平方然后展开，代入2a =，得到2143a b b⋅≥+，然后利用23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅，然后当1b ≤时，求解cos θ的最小值. 【详解】由322b a -≤得，()2223294124b ab a a b -=+-⋅≤，所以2143a b b ⋅≥+.则23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅⋅ 令函数13()28xf x x =+，因为()f x 在[]0,1上单调递减. 又因为1b ≤，故当1b =时，cos θ取得最小值，最小值为78. 故选：B 【点睛】本题考查向量间夹角余弦值的取值范围的计算问题，解答的一般思路为：当已知a ，b 和a b λμ+(其中,λμ为常数)时，一般采用平方法，得到2a b λμ+然后展开，得到cos θ的值.13．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D 【解析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃，则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<，所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+，又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-，所以m 是2x bx a c x ++=-的一根，所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=．故选：D ．14．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（） A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C 【解析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C15．已知22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，则+a b 的最小值是（）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】B 【解析】将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<，得到22a b -2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由223a b -≤，，进一步确定62ππθ≤≤，然后由33sin 236a b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解.【详解】因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++， 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，则3sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，因为0,0a b >>，所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩，解得203θπ<<，所以)()22223sin 2sin a b θθθ-=+-，2223cos 23sin cos sin 4sin θθθθθ=++-，()223cos sin 23cos θθθθ=-+3cos23sin 2θθ=，2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为203θπ<<，所以52333ππθπ<+<，因为223a b -≤，所以33sin 23πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭ 解得242333ππθπ≤+≤，所以62ππθ≤≤，则2363πππθ≤+≤，所以33sin 233,236a b πθθθ⎛⎫⎡⎤+=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以+a b 的最小值是3，故选：B关键点点睛：本题关键是将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用三角换元，转化为三角函数求解. 二、多选题16．已知0a b c >>>且1abc =，则下列结论中一定成立的是（） A ．1b = B ．1ab >C ．01bc <<D ．22a c +>【答案】BCD 【解析】由0a b c >>>且1abc =，可以得到1a >，01c <<，然后结合不等式的性质容易对A ，B ，C 选项进行判断，然后利用基本不等式可对D 选项进行判断. 【详解】A ：因为0a b c >>>且1abc =，所以331c abc a <=<，即1a >，01c <<，b 不一定等于1，故A 项不一定成立；B ：因为01c <<，所以11ab c =>，所以B 项一定成立； C ：因为1a >，所以101bc a<=<，C 项一定成立；D ：22211222a a c a a ab ab b+=+≥⋅，D 项一定成立. 17．已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则（） A ．ab 的最大值为14B ．2b a b+的最小值为22C ．221155a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为15D ．2221a b a b +++的最小值为94 【答案】AC 【解析】对于选项A ，直接根据基本不等式可求得结果；对于选项B ，化为积为定值的形式后，根据基本不等式求出最小值可得答案；对于选项C ，变形后利用二次函数求出最小值可得答案；对于选项D ，变形后利用基本不等式求出最小值可得答案. 【详解】对于选项A ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取“=”，故A 正确；对于选项B ，22222b b a b b aa b a b a b++=+=++≥222，当且仅当222b a ==“=”，故B 错误；对于选项C ，22222111()55525a b a b ab +⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222121111()()5525555ab a b ab ab ⎛⎫=++-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当15ab =时取“=”，故C 正确；对于选项D ，22a a ++222(22)(11)121b a b b a b +-+-=++++ 41241221a b a b =+-+++-+++ 41221a b =+-++，令2s a =+，1t b =+，则4s t +=，所以4121a b +++=141(4s s t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭14)414t s t s t ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ 1495244t s s t ⎛≥+⋅= ⎝，当且仅当2s t =，即43t =，83s =时取“=”，所以41221a b +-++91244≥-=，所以221214a b a b +≥++，当且仅当23a =，13b =时取“=”，故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题常采用常数代换法，其解题步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值． 18．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 2a b 【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(21212a bab a b =+≤++=，2a b 12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 三、填空题19．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________. 10【解析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解．【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+= 10．20．已知点(),C x y 在线段():41,AB x y x y ++=∈R 上运动，则xy 的最大值是____________．【答案】116【解析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：由题设()41,x y x y ++=∈R 可得：4124x y xy +=≥142xy ≤， ∴144xy ≤，即116xy ≤，当且仅当142x y ==时取“=”，故答案为：116．21．已知a ，b 为实数，则221214a b ++______2ab a +．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥ 【解析】利用作差法，配方即可比较大小. 【详解】()2222112121042a b ab a a b a ⎛⎫++--=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =取等号．故答案为：≥22．若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】8 【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=. 故答案为：8.23．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.【答案】1- 【解析】根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案. 【详解】根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A将目标函数3z x y =-化为133z y x =-， z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133zy x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-24．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=．若()1c λa λb =+-，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为______．【答案】32【解析】令M a A =，MB b =，利用已知作出以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，令AN MB =，连接MN ．设c AC =，由已知点C 在直线MN 上，【详解】令M a A =，MB b =，则a b AM MB AB =++=，故3AB =，又0a b ⋅=，所以AM MB ⊥．以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，进而得出当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值．令AN MB =，连接MN ．设c AC =，因为()1c λa λb =+-⋅，所以点C 在直线MN 上，又c a c b ⋅=⋅，所以()0c a b ⋅-=，即0AC NM ⋅=，所以AC NM ⊥．结合图形可知，当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值，且32c AO ==．故答案为：3225．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 26．设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 3【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=327．平面向量OA ､OB ､OC ，满足24OA OB ==，()()20OC OA OC OB -⋅-=，0OA OB ⋅=，则对任意[]0,2θπ∈，11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值为___________. 【答案】221 【解析】建立平面直角坐标系，可得点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-=，然后化简所求式子，转化为两个圆的点之间的最大值问题，简单判断即可. 【详解】由0OA OB ⋅=，24OA OB ==，可设()()()4,0,0,2,,A B C x y由()()20OC OA OC OB -⋅-=，把坐标代入化简可得：()()22112x y -+-= 所以点点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-= 又()()11cos sin ,cos ,sin 42OC OA OB x y θθθθ--⋅=-，所以求11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值即两个圆()()22112x y -+-=、221x y +=上动点最大值，如图所示;当过两圆的圆心时，有最大即221MN = 故答案为：22128．已知向量a ，b ，c 满足22a b c b -+==，b a -与a 的夹角为34π，则c 的最大值为______．【答案】22【解析】根据题意设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b a c OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =由条件可得4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值. 【详解】因为22a b c b -+==，所以2a b c -+=，1b =．设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b ac OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =因为b a -与a 的夹角为34π，所以4OAB π∠=，OAB 的外接圆的直径为：122sin sin4OB R AOB π===∠ 则动点A 2D 中的优弧OB （不含点O ，B ），由2CA =C 的轨迹是以A 2结合图形可知，当点O ，D ，A ，C四点共线，且C 在线段OA 的延长线上时，OC 最大，且最大值是22 故c 的最大值为22 故答案为：22【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算和模长的最值问题，解答本题的关键是在OAB 中，根据题意得到4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值．属于中档题.29．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元．【答案】3 【解析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值. 【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥，则()()()21616168832425125211111f x m x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-++≤-+ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立. 故答案为：3.30．已知正实数x ，y ，a ，b 满足a bx yxy ==，其中1x >，1y >，则4911a b +--的最小值为______. 【答案】12 【解析】解法一根据ab x y xy ==可知11()a b xy xy +=，得到a b ab +=，然后变形所求的式子并结合基本不等式可知结果. 解法二对a b x y xy ==取对数可知lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，然后代入所求式子并结合基本不等式可知结果. 【详解】解法一由abxyxy ==得1()a xy x =，1()b xy y =，所以11()a b xy xy +=，所以111a b+=，即a b ab +=，所以4949139413941311(1)(1)()1b a a b a b a b a b ab a b +-+-+===+------++. 因为111a b +=，所以114994(94)1325b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当49b a a b =时等号成立.故491211a b +≥--，所以4911a b +--的最小值为12. 解法二对a b x y xy ==两边同时取对数，得lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，所以494lg 9lg 1211lg lg x y a b y x +=+≥--，当且仅当23x y =时等号成立，所以4911a b +--的最小值为12. 故答案为：12 【点睛】关键点定睛：解法一关键在于得到111a b+=，解法二结合对数，同时两种解法都使用基本不等式. 31．已知数列{}n a 是等差数列，11a ≥-，22a ≤，30a ≥，则153z a a =-的最大值是______．【答案】16 【解析】由等差数列得通项公式可的1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，15324z a a x y =-=-，利用线性规划知识求最值即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，对应的可行域为如图所示的三角形ABC 及其内部，由15132424a a a d x y -=-=-，由24z x y =-可得124z y x =-，作12y x =沿着可行域的方向平移，当直线过点A 时，z 取得最大值．由220x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得()4,2A -，所以 ()max 244216z =⨯-⨯-=，故答案为：1632．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 四、双空题33．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()22253332113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 五、解答题34．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）分段判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可．【详解】（1）依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩ 所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩．（2）当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增，()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)78030(1)48011f x x x x x=-++-⨯+++，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．因为465480<，所以当4x =时，()480max f x =．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．。

基础专项练(二) 平面向量、不等式

专项练(二) 平面向量、不等式一、单项选择题1.(2021·天津卷)已知a ∈R ，则“a ＞6”是“a 2＞36”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析由题意，若a ＞6，则a 2＞36，故充分性成立；若a 2＞36，则a ＞6或a ＜－6，推不出a ＞6，故必要性不成立；所以“a ＞6”是“a 2＞36”的充分不必要条件.2.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1).若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.15 B.－35 C.－3 D.－17答案 C解析易知AB →＝(3，1)，且OC →＝(2m ，m ＋1)，由AB →∥OC →，得2m ＝3(m ＋1)，∴m＝－3.3.(2021·浙江卷)已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析由a ·c ＝b ·c 可得(a －b )·c ＝0，所以(a －b )⊥c 或a ＝b ，所以“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的必要不充分条件.故选B.4.已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则当1a 2＋4b 2取最小值时，a 2的值为( )A.45B.2C.43D.3答案 C解析因为P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，所以a 2＋b 2＝4. 所以1a 2＋4b 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝94，当且仅当b 2＝2a 2＝83时取等号，故a 2＝43.5.(2021·青岛调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2 D.22答案 C解析因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，所以AC→⊥BC →. 又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.6.(2021·长沙一模)在平面直角坐标系xOy 内，已知直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，若OC →＝2OA →－OB →且M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( ) A. 3 B.2 2 C.3D.4解析由OC→＝2OA →－OB →，知A ，B ，C 三点共线.因为|AB |＝4，M 是线段AB 的中点，则OM ⊥AB ，所以|OM |＝R 2－22＝8－4＝2.在直角△CMO 中，OC →·OM →＝|OM →|·|OC→|cos ∠COM ＝|OM →|2＝4.7.已知单位向量a ，b 满足|a －b |＋23a ·b ＝0，则|t a ＋b |(t ∈R )的最小值为( ) A.23 B.32 C.223 D.22答案 B解析由|a －b |＋23a ·b ＝0，得|a －b |＝－23a ·b ，平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝12(a ·b )2，整理得(2a ·b ＋1)(3a ·b －1)＝0，所以a ·b ＝－12或a ·b ＝13.因为|a －b |＝－23a ·b ≥0，所以a ·b ≤0，所以a ·b ＝－12，所以|t a ＋b |＝|t a ＋b |2＝t 2＋1＋2t a ·b ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝12时取“＝”. 8.若对任意的x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，1] C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )对任意x ，y ∈R 恒成立等价于x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0对任意x ，y ∈R 恒成立，∴Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ≤0， ∴4a ≥－y 2＋2y ＋3＝－(y －1)2＋4，当y ＝1时，－y 2＋2y ＋3取得最大值4， ∴4a ≥4，解得a ≥1.因此，实数a 的取值范围是[1，＋∞). 二、多项选择题9．(2021·湖南四校联考)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A.EF →＝12CA →－12BC → B.BE →＝－12BA →＋12BC → C.AD →＋BE →＝FC → D.GA→＋GB →＋GC →＝0 答案 CD解析如图，因为点D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，所以EF→＝12CB →＝－12BC →，故A 不正确；BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CA →＝BC →＋12(CB →＋BA →)＝BC →－12BC →－12AB →＝－12AB →＋12BC →，故B 不正确；FC →＝AC →－AF →＝AD →＋DC →＋F A →＝AD →＋12BC →＋F A →＝AD →＋FE →＋F A →＝AD→＋FB →＋BE →＋F A →＝AD→＋BE →，故C 正确；由题意知，点G 为△ABC 的重心，所以AG→＋BG →＋CG →＝23AD →＋23BE →＋23CF →＝23×12(AB→＋AC →)＋23×12(BA →＋BC →)＋23×12(CB →＋CA →)＝0，即GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选CD.10．(2021·山东质检)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．0<1ab ≤14 B.ab <2 C.1a ＋1b ≥1 D.1a 2＋b 2≤18答案 CD解析 A 选项，由ab ≤a ＋b 2＝2知ab ≤4.因为a >0，b >0，所以ab >0，所以1ab ≥14，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故A 错误；B 选项，ab ≤a ＋b2＝2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故B 错误； C 选项，1a ＋1b ≥21a ·1b ＝2ab≥2×12＝1，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故C 正确；D 选项，因为a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以1a 2＋b 2≤18，故D 正确．故选CD. 11.(2021·南京、盐城一模)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的是( ) A.(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c B.(a·b )·c ＝a·(b·c ) C.a·b ≤|a|·|b| D.|a －b|≤|a|＋|b|答案 ACD解析对于A ，因为向量满足分配律，所以A 一定成立；对于B ，因为(a·b )·c ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉·c 表示一个与c 平行的向量，a·(b·c )＝|b||c| cos 〈b ，c 〉·a 表示一个与a 平行的向量，而c 与a 不一定共线，所以B 不一定成立；对于C ，a·b ＝|a|·|b|cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b|，所以C 一定成立；对于D ，因为|a －b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 〈a ，b 〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，所以|a －b|≤|a|＋|b|，所以D 一定成立.综上所述，选ACD. 12.(2021·济南统考)设a ，b 为正实数，下列命题正确的是( ) A.若a 2－b 2＝1，则a －b <1 B.若1b －1a ＝1，则a －b <1 C.若|a －b |＝1，则|a －b |<1D.若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1 答案 AD解析若a 2－b 2＝1，则a 2－1＝b 2，即(a ＋1)(a －1)＝b 2.∵a ＋1>a －1，∴a －1<b <a ＋1， ∴a －b <1，故A 正确；若1b －1a ＝1，则可取a ＝7，b ＝78，而a －b >1，故B 错误；若|a －b |＝1，则可取a ＝9，b ＝4，而|a －b |＝5>1，故C 错误；若|a 3－b 3|＝1，当a >b >0时，得a 3－b 3＝1，a 3－1＝b 3，即(a －1)(a 2＋a ＋1)＝b 3.∵a 2＋a ＋1>b 2，∴a －1<b ，即a －b <1；当0<a <b 时，得b 3－a 3＝1，b 3－1＝a 3，即(b －1)(b 2＋1＋b )＝a 3. ∵b 2＋1＋b >a 2，∴b －1<a ，即b －a <1.故|a －b |<1，D 正确.故选AD. 三、填空题13.(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a －λb )⊥b ， ∴(a －λb )·b ＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.法二由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0，从而λ＝a ·bb2＝（1，3）·（3，4）32＋42＝1525＝35.14.(2021·天津卷)若a ＞0，b ＞0，则1a ＋ab 2＋b 的最小值为________. 答案 2 2解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋ab 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋ab2＋b 的最小值为2 2. 15.(2021·枣庄模拟)如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD 中，AF →＝3AE →.设AF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 的值为________.答案 65解析连接BD 交AF 于点M (图略). 令|BF |＝1，则|AF |＝3，所以tan ∠ABF ＝3，所以tan ∠FBM ＝tan(∠ABF －45°)＝3－11＋3＝12，所以|FM |＝12，|AM |＝52，则|AM ||AF |＝56，所以AM→＝56AF →＝56xAB →＋56yAD →. 因为点M 在BD 上，所以56x ＋56y ＝1，即x ＋y ＝65. 16.(2021·福州质检)已知a >b ，b >0，若不等式m 3a ＋b≤3a ＋1b 恒成立，则m 的最大值为________. 答案 16解析由题意，不等式m 3a ＋b≤3a ＋1b 恒成立，且a >0，b >0，即有m ≤(3a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b 恒成立，即m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b min 成立.由(3a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝10＋3a b ＋3b a ≥10＋23ab·3ba＝16，当且仅当3ab＝3ba，即a＝b时，取得等号，即有m≤16，则m的最大值为16.。

海南省2023-2024学年高三上学期高考全真模拟(四)数学试题含答案

2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：集合､常用逻辑用语､不等式､三角函数､平面向量､解三角形､函数与导数､数列､立体几何､解析几何.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{1},3,2,1,0,1,2,3A xx B ==---∣ ，，则A B ⋂=（）A.{}3,2,1,0--- B.{}2,1,0,1-- C.{}1,0,1,2- D.{}1,0,1-2.若函数()13221x x a f x x ++=⋅+为R 上的偶函数，则实数a 的值为（）A.-2 B.2 C.1 D.-13.已知211sin2cos 22αα+=，则tan α=（）A.0 B.4 C.-4 D.0或44.已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列12,,,,m k k k a a a ，其中11k =，则数列{}n k 的通项公式为（）A.21n n k =- B.21n k n =+C.22n n k =- D.21n k n =-5.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中5,1,,0918A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A.3ω=B.3πϕ=-C.直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴D.11,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心6.已知函数()22e 4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知圆C 过点()()1,1,5,3，且直线:l x y +=0被圆C 所截得的弦长为若圆C 的圆心在y 轴右侧，则圆C 的面积为（）A.16πB.25πC.36πD.49π8.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, ，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）A.1012B.1016C.1912D.1916二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A.11a b b a +>+ B.sin sin a b a b ->-C.2a ab > D.22c c a b<10.已知向量()((sin ,cos ,,a b c θθ=== ，则（）A.若a ∥b ，则3πθ=B.b 在c 方向上的投影向量为12cC.存在θ，使得a 在c b -方向上投影向量的模为1D.a b - 的取值范围为[]1,311.已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在6x π=处取得最大值()2,f x 的最小正周期为π，则下列结论正确的是（）A.()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.将()y f x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到2cos y x =的图象D.将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到2cos y x =的图象12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin 1g x xf x =-为奇函数，()()32h x f x =+的图象关于点()0,1对称，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于1x =对称B.函数()y f x =的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.函数()y f x =的一个周期为4D.20241()2024i f i ==∑三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线C 的焦距为__________.14.已知向量,a b满足||4,||2,||4a b a b a b λ==-=⋅=- ，则λ=__________.15.等差数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T ，且9133S T =，则57a b =__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为1,2M 为C 上任意一点，且12MF F 的周长为6，若直线():11l y k x =-+经过定点N ，则1MN MF +的最小值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求A 的大小；（2）若AD 为BC 上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.18.（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，点M 为AB 的中点，点N 是1BB 上靠近1B 的三等分点，1BD 与1B D 交于点O .（1）求证：OM ∥平面11BCC B ；（2）若1CO B D ⊥，求点N 到平面COM 的距离.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()212122,7n n nS n S n n a +-+=+=.（1）求n S ；（2）若5nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ABC ∠∠== ，2222AD PA AB BC ====，点E 为PB 的中点.（1）证明：PB DE ⊥；（2）求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1l ：()12y k x =+与直线()22:2l y k x =+与抛物线C 分别交于点,P Q 和点,R S .（1）若112k =，求PQF 的面积；（2）若直线PS 与RQ 交于点A ，证明：点A 在定直线上.22.已知函数()2ln f x x x ax =-.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()()2e 1xf x a a x x >+--恒成立，求实数a 的取值范围.2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学·答案1.D2.A3.D4.Α5.C6.A7.B8.C9.ABC10.BCD 11.ABD 12.ACD13.14.2或52-15.13316.317.解：（1）因为sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合正弦定理得，sin sin sin sin ,3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为sin 0B >，所以sin sin 3A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin 22A A A =+，所以tan A =又()0,A π∈，所以3A π=.（2）由题意得，11sin 22ABC S BC AD bc A =⋅= ，故34a bc =.由余弦定理，得2222cos abc bc A =+-，22223216b c b c bc bc bc bc ∴=+--= ，163bc ∴ ，当且仅当b c =时取等号，ABC ∴ 面积的最小值为1163432323⨯⨯=.18.解：（1）连接11,AD BC .易知,O M 分别为线段1,BD AB 的中点，所以OM ∥1AD .又11AB D C =且AB ∥11D C ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以1AD ∥1BC ，故OM ∥1BC ，又OM ⊄平面111,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，故OM ∥平面11BCC B.（2）连接11,B C C N .由题易知1BC =易知O 为1B D 的中点，又1CO B D ⊥，所以1CD B C ==以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则4(0,(2,(1,2,3C M O N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()1,,2,CO CM == .设平面COM 的法向量为()111,,m x y z =，则0,0,m CO m CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111110,20,x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令11x =，则111y z ==，可得()m = .因为42,0,3CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故点N 到平面COM 的距离为53CN m d m ⋅== .19.解：（1）依题意，()()2112221,n n nS n S n n n n +-+=+=+故121n n S S n n+-=+，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.而21212212S S a a --==，又27a =，解得13a =，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为3，则()31221n S n n n=+-⋅=+，则22n S n n =+.（2）由（1）可知，当1n =时，113a S ==；当2n时，()221122(1)141,3n n n a S S n n n n n a -=-=+----=-=也满足该式，故()*41n a n n =-∈N，故()415n n b n =-⋅，则()1233575115415n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ，()234153575115415n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅ 两式相减得，12445454n T -=⋅+⋅+⋅()3115454155(24)510n n n n n ++++⋅--⋅-=-⋅- ，故()121552n n n T +-⋅+=20.解：（1）法一：连接AE ，在Rt PAB 中，,,.PA AB PE EB PB AE ==∴⊥PA ⊥ 底面,ABCD PA AD ∴⊥.又在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，,PA AB ⊂平面,PAB PA AB A ⋂=，AD ∴⊥平面,PAB AD PB ∴⊥，而,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面ADE ，PB ∴⊥平面ADE ，PB DE ∴⊥.法二：PD BD ===,,PD BD PE BE =∴==又PB DE ∴⊥.（2）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，()()1,2,0,1,1,0,BD DC ∴=-=- ()0,2,1DP =- .设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，0,0,20,0,n DC x y y z n DP ⎧⋅=-=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令即令1x =，则()1,1,2n = ，设直线BD 与平面PCD 所成角为θ，则30sin |cos ,|30||||n BD n BD n BD θ⋅=〈〉=== .即直线BD 与平面PCD所成角的正弦值为30.21.解：（1）依题意，()1,0F ，联立()24,12,2y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2880y y -+=.设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，故8,8P Q P Q y y y y +==，故P Q PQ y =-==，点()1,0F 到直线1l的距离d =，故12PQF S =⨯= .（2）设222312123,,,,,444y y y P y Q y R y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，244,4y S y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立()122,4,y k x y x ⎧=+⎨=⎩得211480k y y k -+=，则128y y =.同理可得，348y y =.则直线241112241:444y y y PS y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，化简得，()141440x y y y y y -++=，①同理可得，直线()2323:4RQ x y y y y y -++=0，②联立①②消去y 可得，()()()()2314142323144y y y y y y y y x y y y y +-+=⎡⎤+-+⎣⎦()()12323412413423144y y y y y y y y y y y y y y y y +--=⎡⎤+-+⎣⎦()()3241231488882,4y y y y y y y y +--==⎡⎤+-+⎣⎦故点A 在直线2x =上.22.解：（1）当1a =时，()2ln ,0f x x x x x =->，所以()ln 12f x x x =+-'，令()()ln 12,0m x f x x x x =-'=+>，可得()1122x m x x x -=-='，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,m x m x '>单调递增；当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,m x m x '<单调递减，所以当12x =时，()m x 取得极大值，也为最大值，且111ln 11ln 0222m ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，所以()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）由()()2e 1xf x a a x x >+--，得2e ln x a x x x x <-+，即2ln ex x x x x a -+<在()0,∞+上恒成立.令()()2ln ,0,ex x x x x h x x ∞-+=∈+，可得()()()12ln e xx x x h x ---='，令()2ln x x x ϕ=--，可得()111x x x xϕ-=-='，令()0x ϕ'>，可得1x >；令()0x ϕ'<，可得01x <<，所以()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，又()3333e e 2lne e 10ϕ----=--=+>()112ln110,ϕ=--=-<()442ln422ln20,ϕ=--=->所以在()3e ,1-中存在唯一的1x 使得()10x ϕ=，在()1,4中存在唯一的2x 使得()20x ϕ=，即有11222ln 0,2ln 0x x x x --=--=.因为()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以当10x x <<时，()0x ϕ>；当11x x <<时，()0x ϕ<；当21x x <<时，()0x ϕ<；当2x x >时，()0x ϕ>.又()()()12ln e xx x x h x ---='()()1,0xx x x ϕ-=>e ，所以当10x x <<时，()0h x '<；当11x x <<时，()0h x '>；当21x x <<时，()0h x '<；当2x x >时，()0h x '>，所以()h x 在()10,x 单调递减，在()1,1x 单调递增，在()21,x 单调递减，在()2,x ∞+单调递增，所以()0,1x ∈时，()h x 的极小值为()1211111ln ,ex x x x x h x -+=()1,x ∞∈+时，()h x 的极小值为()2222222ln .e x x x x x h x -+=因为11222ln 0,2ln 0x x x x --=--=，可得1122ln 2,ln 2x x x x -=-=，所以1122ln ln 22e e ,e e x x x x --==，12212e e e ,x x x x ==即所以12212e e e x x x x -==.代入11ln 2x x =-和22ln 2x x =-，则有()()1121111112e e x x x x x x x h x --+==-=2e --，同理可得()22e h x -=-，所以()()12h x h x =，所以2min 21()e e h x -=-=-，所以21e a <-，即实数a 的取值范围为21,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)

cos
x

0

2

的部分图象如图所示，f
x0

f
0 ，
则正确的选项是（）
试卷第 2页，总 9页
A．

6
,
x0

1
C．

3
,
x0

1
B．

6
,
x0

4 3
D．

3
,
x0

2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ．．设 G 是 ABC 的重心，且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（）

CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2

上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数

平面向量不等式综合自测题

平面向量不等式综合自测题
王战波;洪其强
【期刊名称】《高中数理化（高三）》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】@@ 一、选择题(每小题5分,共计60分)rn1.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2(→OA)+(→OB)+((→OC))=0,那么( ).
【总页数】2页(P41-42)
【作者】王战波;洪其强
【作者单位】河北保定三中;贵州省龙里中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.不等式与不等式组实数自测题（A） [J], 无
2.不等式与不等式组实数自测题（B） [J], 徐标
3.不等式与不等式组自测题 [J], 煜明
4.“不等式的综合应用”自测题B卷 [J],
5.“不等式的综合应用”自测题A卷 [J],
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高中数学公式知识点填空-填空版

对数函数
y loga x(a 0, a 1)
(当 a e 时，y=
；当 a 10 时，y= )
a>1 时的图象 0<a<1 时的图象
a>1 时的图象
0<a<1 时的图象
图象恒过点
，
且不与
轴相交.
11．幂函数的图象与性质：
解析式 y x
y x2
图象恒过点
，
且不与
轴相交.
y x3
y x1
1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0； 0 次幂的底数 0；对数函数的真数 0；
2．分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；
分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的
；值域是各段值域的
.
3．函数的单调性：
设 x1, x2 [a,b] ，且 x1 x2 ，那么：
7．分数指数幂与根式的性质：
m
(1) a n
( a 0, m, n N* ，且 n 1)；
m
(2) a n
1
m
an
1 n am
( a 0, m, n N* ，且 n 1 )；
(3) ( n a )n a ；
(4)当 n 为奇数时， n an a ；当 n 为偶数时， n an | a | .
1
y x2
图象
定义域值域奇偶性单调性 12．反函数
函数 y ax 的反函数是
；函数 y loga x 的反函数是
13．二次函数：二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象的对称轴方程是
是
，判别式
，当 0 时，图象与 x 轴有

2022年全国统一高考数学试卷和答案(新高考ⅰ)

2022年全国统一高考数学试卷和答案（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3 4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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绝密★启用前2013-2014学年度???学校10月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．直三棱柱ABC —A1B1C1中，若c CC b CB a CA ===1,,，则1A B =（）A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b －cD ．－a +b +c2．已知平面区域{}( , )|1 2 , 12D x y x y =-≤≤-≤≤，z ax y =+ (a 是常数)，00( , )P x y D ∀∈，记为事件A ，则使的常数a 有A ．0个B ．个．3个以上3．直线01032=+-y x 的法向量的坐标可以是（）A.()3,2-B.()3,2C.()3,2-D.()3,2-- 4．已知A(1,3)和直线l :2x+3y-6=0，点B 在l 上运动，点P 是有向线段AB 上的分点，P 的轨迹方程是（） A ．6x-9y-28=0 B ．6x-9y+28=0 C ．6x+9y-28=0 D ．6x+9y+28=0 5．下列命题不正确．．．的是（） A ．若b a >，d c <，则d b c a ->- B ．0>>b a ，0<<d c ，则C ．若b a >，0>c ，则bc d ac d +>+ D ．若b a >>0，0<c ，则6．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是（）A ．若b a >,则22b a > B ．若b a >,则22b a > C ．若b a >,则22b a >D ．若b a ≠,则22b a ≠7．在表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( )A. 1B. 2C.3D.48．在梯形ABCD 中，2,AB DC =AC 与BD 相交于O 点.若,,AB a AD b ==则OC =（） 1a b - B. 11a b + C. 1a b + D. 11a b - 9．在约束条件0024x y x y S y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35S ≤≤时，目标函数32Z x y =+的最大值的变化范围是（）A. [6,8]B. [7,8]C. [6,15]D. [7,15]10．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值（）A ．大于零B ．小于零C ．不大于零D ．不小于零11．等差数列{}n a 中7916a a +=，前7项的和为77S =，则12a =（）（A ）15（B ）32（C）16（D ）3012．平面α∩平面β=m ，直线l ∥α，l ∥β ，则 A ．m ∥lB ．m ⊥lC ．m 与l 异面D ．m 与l 相交13．设D 是由不等式组2030.x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（）（A ）（B ）（C ）（D ）14．若,x y 满足条件32x y y x +≤⎧⎨≤⎩，则y x z 43+=的最大值为（） A. 11 B. 11- C. 7D. 1315．已知向量AB ＝(cos120°，sin120°)，AC ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形16．已知点o 为ABC ∆的外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角A 等于( )A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒17．数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是A ．12)1(3++-=n n n a nn B ．12)3()1(++-=n n n a n nC ．121)1()1(2--+-=n n a nn D ．12)2()1(++-=n n n a n n 18．设动点坐标(,)x y 满足(1)(4)03x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩，则22x y +的最小值为( )D.1019．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（）A．6 B ．7 C ．8D ． 920．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则218a a +=( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33 21．在等差数列{}n a 中，前n 项的和为,n S 若81126,a a =+则9S =（）A 、54B 、45C 、36D 、2722．(理)已知两点M (－1，－6)，N (3,0)，点P (y )分有向线段MN →的比为λ，则λ，的值为( )A 8 B. 8 C 8 D.423．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则n a = （） A 、2nB 、3nC 、12n - D 、13n -24．设向量1e ，2e 是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为2=+12AB e e ，3k =+12AC e e ，k ∈R ，则k 的值可能是（）25则下列不等式中恒成立的是 ( ) B 2a b > C D 22a b >26．已知01a b <<<，不等式lg()1xxa b -<的解集是{|10}x x -<<，则,a b 满足的关系是( )BC ．b a ,的关系不能确定27．已知向量)0,1(=a 与向量，则向量a 与b 的夹角是（）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π28(A) n ＜m ＜1 m ＜n (D )m ＜n ＜1 29．数列{}n a 中，则n a =（） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 30．已知正项等比数列153{},2,n a a a a =中则= A B ．2C ．4D ．31时总有sin x kx >成立，则实数k 的取值范围为（） A 32．函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >> 33．△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且AD 的长为( ) A ．1 B C D ．334．已知数列{}n a 的前n 项和为31n n S =+，则n a = ．35．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为12 A.(0,)+∞ B.36．定义{}⎩⎨⎧<≥=ba b baa b a ,,,max ，设实数y x ,满足约束条件则z 的取值范围是（）A. ［－5，8］ B. ［－5，6］C. ［－3，6］D.［－8，8］37．设向量→→b a ,满足）38．已知a ,b ,m ∈R ，则下面推理中正确的是（）A ．22bm am b a >⇒> C第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）39．数列{}n a 满足，21=a ，则 40．A ，B ，若B ⊆A ，则a 的取值集合是41．已知{}n a 是等比数列，若0<n a ，且252645342=++a a a a a a ，则42．已知,0,0x y xy x y +=>>则x y +的最小值是； 43．已知12-=n n a ， 44．若数列{}n a 的前n 项和(21)n n S n n a =-，且 45．定义一种运算＆，对于N n ∈，满足以下性质：（1）2＆2=1，（2）（)22-n ＆2=（n 2＆2）+3,则2008＆2的数值为46．已知数列{}n a 是等比数列，且45678910128,a a a a a a a ∙∙∙∙∙∙=则47．若对任意恒成立，则a 的取值范围是_________ 48．将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,数列第6项第n 项49．已知(2,1),(3,),,a b x a b ==则x =___________ 50．设0x >，则的最小值是三、解答题（题型注释）参考答案1．C【解析】1111.AB A A AB C C CB CA CC CB CA c b a =+=+-=-+-=-+-故选C 2．C 【解析】平面区域D 表示的是图中边长为3的正方形EFGH 内部及边界；正方形面积为9.事件A 表示在正方形EFGH 内且在过定点5(0,)2Q 的直线52ax y +=上方的平面区域；且该区域的面积为9;8由图形可知：这样的直线存在两条；故选C 3．C【解析】直线01032=+-y x 的一个方向向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,1，而()3,2-02232,1=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅，所以向量()3,2-与直线垂直，所以选C 4．C【解析】设0000(,),(,);2360(*)P x y B x y x y +-=则 001(1,3)(,);2x y x x y y --=--所以00111(),3(),22x x x y y y -=--=-即032,x x =- 036;y y =-代入（*）得：2(32)3(36)60,x y -+--=即69280.x y +-=故选C5．D【解析】因为b a >，d c <，所以c d ->-，所以d b c a ->-，所以A 正确；因为0>>b a ，0<<d c ，所以0c d ->->，所以ac bd ->-，所以ac bd <，所以B 正确；因为b a >，0>c ，所以ac bc >，所以bc d ac d +>+，所以C 选项正确，综上所述D 不正确。