小学数学《定义新运算》练习题

小学数学《定义新运算》练习题

（一）直接运算型

【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a和b，a除以b的余数记为a b.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：

（1）(269) 4等于多少？

（2）108（200819）

【例2】（★★★奥数网题库）定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），

（1）求5※7，7※5；

（2）求12※（3※4），（12※3）※4；

（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？

【例3】（★★★奥数网题库）我们规定：a c

b d

＝ad+bc，求

25

16

40

21

的值．

分析：25

16

40

21

＝25×21+40×16＝525+640＝1165

【例4】（★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].

【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍

数，则a*b ＝a b

3

+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b

＝

a b-2

3

+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）

【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定m

n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；

[(1)(1)][(1)1]m m m

n m n

n n n m m m C

P P =÷=⨯-⨯

⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：

1

2

3

4

5

6

666666,,,,,C C C C C C

（二） 反求未知数

【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.

【例8】 （★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=y mx y

x 26+⋅⋅ (其中

m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?

（三）计算机程序语言

【例9】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是1999，输入B值是9时，运算器输出的C值是_____．

【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.

(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？

(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？

（四）其他常见类型

【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：

8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．

导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．

【例12】 （★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q 、W 、E 、…N 、M 这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：

Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

'(1263)32

'17(12631)31

'8(12632)3

x

x x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩

是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：

，即R 变为L ； ，即A 变为S ．

按上述方法将明文HAK 译为密文．

1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？ 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.

（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！

3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n⊙8＝68，那么n的值是多少？

4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B

＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.

5．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？