平面运动刚体上各点的速度
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четверг, 28 мая
第7章 刚体的平面运动
7.1 刚体平面运动的概述 7.2 平面运动刚体上各点的速度 7.3 平面运动刚体上各点的加速度 7.4 运动学综合应用举例
7.1 刚体平面运动的概述
一、平面运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保
持相等的距离。这种运动称为平面运动。
于是，平面图形上点M的运动是两个运动的合成，因 此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法。
vM vMO’
M
ω
O'
vO’
牵连运动：
ve vO'
vO’ 相对运动：
vr vM'O O'M
点M的绝对速度：
vMvO' vMO '
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随
A'
A
A"
取点B为基点
随点B以vB,aB作平移。
A
d
dt
绕点B转动，角速度： B
d '
dt
由 '于 所 A 以 B A B
平移与基点的选择有关，转动与基点的选择无关。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
已知：vO' ，ω，求 vM 。 取点O'为基点。 平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动， 即随基点O'的平动；2.相对运动，即绕基点O'的转动。
vA
解：取点O为基点，则点C的速度
vDO
vD
Fra Baidu bibliotekvO
vCO
vO vAO
vC vOvCO
vO
vO
ω
vBO vB
vCOR
因0轮纯vO滚动R，所以vC=0，vRO则
vO
点A: vAORvO vA 2vO
点B: vBORvO vB 2vO
点D: vDORvO vD 2vO
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vD
解：杆OA绕O轴转动
vA OA0.2m/s
vB
30º
vA
由速度投影定理，得
vE
vBco3s0 vA
摇杆CD绕C轴转动，有
vB
2vA 3
0.4m/s 3
vD
vB CD CB
3vB
例：曲柄OA以匀角速度ω0转动。求在图示瞬时，点C的 速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。∠OAB=45º。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vBA
vB
vA
ωABC
vA
解：杆OA绕O轴转动
vAO AOrO
取点A为基点，则点B的速度
vBvAvBA
作速度图，得
vBA vBvAco4s522rO AB CvABA B v2B OAA 1 2O
sviA 4n B 5 si9 n vA 0 ()si4 n vB 5 ()
lsinrsviB4 n5 cvosAinssinrl4s(5in45)112062ccmo/ss
1si2n7 2
10
AB
vAB l
1 vA sin45 0.71r4ad/s
l cos
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
考系O'x'y'z'，点O称为基点。
平面图形的平面运动可分
xO' O'
φ
x'
解为随基点的平移和绕基点
的转动。
O
yO''
x
7.1 刚体平面运动的概述
例如 直线滚动车轮的 运动
车轮的平面运动可以 看成是车轮随同车厢的平 移和相对车厢的转动的合 成．
车轮对于地面（定系）的平面运动
车厢（动系Ax y ) 相对定系的平移 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
yO' f2(t)
xO' O'
φ
S
f3(t)
O
yO'
x
平面图形作平面运动的运动方程
7.1 刚体平面运动的概述
四、平面运动的分解
1.如 f3(t)常数平面图形在Oxy内作平移。
2.如 x O 'f1 (t) 常y O 数 'f2(t) 常数
平面图形绕 O' 轴转动。
y
y'
在点O'建立一个平移的参
M
图形绕基点转动速度的矢量和。
vB vBA
B
ω
A
vA
根据这个结论，平面图形内任 意两点的速度必存在一定的关系。
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
其中
v AB BA
方向垂直AB。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知
轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。
(vB)AB(vA)AB
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB 带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB， 图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求此瞬时点E的速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
（绝对运动） （牵连运动） （相对运动）
7.1 刚体平面运动的概述
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动
和绕基点的转动．
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
五、图形平面运动的角速度和角加速度 练习：7-2
B" 取点A为基点
B
B'
随点A以vA,aA作平移。
φ φ'
绕点A转动，角速度：
例：曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度ω=5rad/s转动。连杆
AB长l=200cm，求当曲柄与水平线成45º角时，滑块B的速 度及连杆AB的角速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vA
解：杆OA作定轴转动
vA
vAr20c0m/
θ
取点A为基点，则点B速度
vB
vBvAvBA
vBA 作速度图，得
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
二、平面运动的简化
直线A1A2作平移
O
点A可代表直线A1A2的运动
直线B1B2作平移
y
点B可代表直线B1B2的运动
B1
x
B
B2
于是，平面图形 S 在自身平面内的运动可代表刚体 的平面运动。
7.1 刚体平面运动的概述
三、平面运动的方程
y
M
xO' f1(t)
vC
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这 两点连线上的投影相等。
vB vBA
B
ω
A
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
vA 将上式两端在直线AB上投影，得
(v B )A B(vA )A B (v B)AB
因 vBA⊥AB，所以（vBA)AB=0，则
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
θ vCB vB vC
vBA
vB
vA
ωABC
vA
再取点B为基点，则点C的速度
vC vBvCB
vCB BvBC A22B rC 2r O 1 2练O 习 ：r7 -3O
vCvB 2vC 2 B 2vBvCB co4s5
a12r0crsvB iOsni1n351826'
第7章 刚体的平面运动
7.1 刚体平面运动的概述 7.2 平面运动刚体上各点的速度 7.3 平面运动刚体上各点的加速度 7.4 运动学综合应用举例
7.1 刚体平面运动的概述
一、平面运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保
持相等的距离。这种运动称为平面运动。
于是，平面图形上点M的运动是两个运动的合成，因 此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法。
vM vMO’
M
ω
O'
vO’
牵连运动：
ve vO'
vO’ 相对运动：
vr vM'O O'M
点M的绝对速度：
vMvO' vMO '
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随
A'
A
A"
取点B为基点
随点B以vB,aB作平移。
A
d
dt
绕点B转动，角速度： B
d '
dt
由 '于 所 A 以 B A B
平移与基点的选择有关，转动与基点的选择无关。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
已知：vO' ，ω，求 vM 。 取点O'为基点。 平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动， 即随基点O'的平动；2.相对运动，即绕基点O'的转动。
vA
解：取点O为基点，则点C的速度
vDO
vD
Fra Baidu bibliotekvO
vCO
vO vAO
vC vOvCO
vO
vO
ω
vBO vB
vCOR
因0轮纯vO滚动R，所以vC=0，vRO则
vO
点A: vAORvO vA 2vO
点B: vBORvO vB 2vO
点D: vDORvO vD 2vO
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vD
解：杆OA绕O轴转动
vA OA0.2m/s
vB
30º
vA
由速度投影定理，得
vE
vBco3s0 vA
摇杆CD绕C轴转动，有
vB
2vA 3
0.4m/s 3
vD
vB CD CB
3vB
例：曲柄OA以匀角速度ω0转动。求在图示瞬时，点C的 速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。∠OAB=45º。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vBA
vB
vA
ωABC
vA
解：杆OA绕O轴转动
vAO AOrO
取点A为基点，则点B的速度
vBvAvBA
作速度图，得
vBA vBvAco4s522rO AB CvABA B v2B OAA 1 2O
sviA 4n B 5 si9 n vA 0 ()si4 n vB 5 ()
lsinrsviB4 n5 cvosAinssinrl4s(5in45)112062ccmo/ss
1si2n7 2
10
AB
vAB l
1 vA sin45 0.71r4ad/s
l cos
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
考系O'x'y'z'，点O称为基点。
平面图形的平面运动可分
xO' O'
φ
x'
解为随基点的平移和绕基点
的转动。
O
yO''
x
7.1 刚体平面运动的概述
例如 直线滚动车轮的 运动
车轮的平面运动可以 看成是车轮随同车厢的平 移和相对车厢的转动的合 成．
车轮对于地面（定系）的平面运动
车厢（动系Ax y ) 相对定系的平移 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
yO' f2(t)
xO' O'
φ
S
f3(t)
O
yO'
x
平面图形作平面运动的运动方程
7.1 刚体平面运动的概述
四、平面运动的分解
1.如 f3(t)常数平面图形在Oxy内作平移。
2.如 x O 'f1 (t) 常y O 数 'f2(t) 常数
平面图形绕 O' 轴转动。
y
y'
在点O'建立一个平移的参
M
图形绕基点转动速度的矢量和。
vB vBA
B
ω
A
vA
根据这个结论，平面图形内任 意两点的速度必存在一定的关系。
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
其中
v AB BA
方向垂直AB。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知
轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。
(vB)AB(vA)AB
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB 带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB， 图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求此瞬时点E的速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
（绝对运动） （牵连运动） （相对运动）
7.1 刚体平面运动的概述
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动
和绕基点的转动．
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
五、图形平面运动的角速度和角加速度 练习：7-2
B" 取点A为基点
B
B'
随点A以vA,aA作平移。
φ φ'
绕点A转动，角速度：
例：曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度ω=5rad/s转动。连杆
AB长l=200cm，求当曲柄与水平线成45º角时，滑块B的速 度及连杆AB的角速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vA
解：杆OA作定轴转动
vA
vAr20c0m/
θ
取点A为基点，则点B速度
vB
vBvAvBA
vBA 作速度图，得
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
二、平面运动的简化
直线A1A2作平移
O
点A可代表直线A1A2的运动
直线B1B2作平移
y
点B可代表直线B1B2的运动
B1
x
B
B2
于是，平面图形 S 在自身平面内的运动可代表刚体 的平面运动。
7.1 刚体平面运动的概述
三、平面运动的方程
y
M
xO' f1(t)
vC
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这 两点连线上的投影相等。
vB vBA
B
ω
A
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
vA 将上式两端在直线AB上投影，得
(v B )A B(vA )A B (v B)AB
因 vBA⊥AB，所以（vBA)AB=0，则
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
θ vCB vB vC
vBA
vB
vA
ωABC
vA
再取点B为基点，则点C的速度
vC vBvCB
vCB BvBC A22B rC 2r O 1 2练O 习 ：r7 -3O
vCvB 2vC 2 B 2vBvCB co4s5
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