微分中值定理

oa
b x oa
bx
如果函数f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导
f ( )
f (b) f (a) ba
那么 (a, b) 使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
Ø证明思路
罗尔定理
拉氏定理
几何方法: (x) f (x) L(x)
代数方法:
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
u例1 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)
a u例8 设ab>0，a≠b,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
证明 (a, b) 使得
1a a b f (a)
b f ( ) f ( )
f (b)
罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
辅助函数方法
证明等式、不等式
学习愉快！
0
2
x x
1 1
1 1 x 2
2．定理的条件是充足的 例 f (x) 1 x2
y
o
x
y
o
x
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
Ø定理
yØ用于理论证明
u例3 如果f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内f '(x)=0
证明f(x)在闭区间[a,b]上恒为常数．
Ø用于证明等式
u例4
证明 arcsin x arc cos x
2
Ø用于证明不等式
(1 x 1)
u例5 证明 sin x2 sin x1 x2 x1
证明 (1, 3) 使得 f ( ) 0
u例2
a0 n1
a1 n
an
0
证明 a0 xn a1 xn1 an 0
有小于1的正根．
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
推广 特例
柯西定理
Ø三个中值定理的注:
1．关系：前者是后者的特例，后者是前者的推广
2．只是肯定了ξ的存在性，没有指出ξ的确切位置
3．中值定理是联系函数与导数的桥梁
中值定理并不是一种无聊的数学游戏， 而是数学科学最有力的杠杆之一．
恩格斯
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
u例6
证明
x 1 x
ln(1
x)
x
(x 0)
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
u例7 设0<a<b，f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
证明 (a, b) 使得 f (b ) f (a ) f ( ) ln b
o
x
f ( x)在(a,b)内可导
o
x
f (a) f (b)
Ø定理
如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
(3)在区间端点处函数值相等,即f(a)=f(b)
那么在(a,b)内至少有一点 (a b), 使得 f ( ) 0
Ø证明思路
费马引理
闭区间上 连续函数 的性质
微分中值定理
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
Ø几何事实
y
f (x)
Ø数学结论 Ø成立条件
y
oa
bx
(a, b) 使得 f ( ) 0
y
y
o
x
f ( x)在[a,b]上连续
设函数f(x)在点x0的某 y
邻域U(x0)内有定义,
并且在x0处可导,如果
对任意的x∈U(x0),有
f(x)≤f(x0)
o a
(或f(x)≥f(x0)), 那
么f '(x0)=0
f (x)
bx
l注
1．定理的条件是重要的
（1）条件不满足结论有可能不成立
（2）条件不满足结论也有可能成立
例
f
(x)
x2
f
( )
f (b) f (a) ba
0
辅助函数
(a) (b) ?
f (x)
f (b) f (a) ba
x
0
φ(x)
f(x)
l注 1．与罗尔定理的关系
罗尔定理
推广 特例
拉氏定理
2．定理结论的其它形式 f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) ξ在x2与x1之间 f (x1 x) f (x1) f ( )x ξ在x1与x1+Δx之间 f (x1 x) f (x1) f (x1 x)x 0 1 有限增量公式
Ø柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足:
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
(3)对任一 x (a, b), F ( x) 0
那么在(a,b)内至少有一点
,
使等式 f F
(b) (b)
f (a) F (a)
f ( ) F ( )
成立
l注
与拉格朗日定理的关系
拉氏定理
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
拉格朗日中值定理
f ( )
f (b) f (a) ba
x (t)
y
(t
)
( (
) )
(b) (b)
(a) (a)