新浙教版九年级上册知识点

九年级上册
第一章 二次函数
一、二次函数概念：
1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项. 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质： ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2． 2y ax c =+的性质：
上加下减。

3．
y a x h =-的性质:
左加右减。

4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二:
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上(下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2)
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者
通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=
，. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左
右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，（若与x 轴没
有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．
画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小;当2b
x a
>-时，y 随x 的增大而增大;当2b
x a
=-时，y 有最小值
2
44ac b a -. 2. 当0a <时，抛物线开口向下,对称轴为2b
x a
=-,顶点坐标为
2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2
b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a >-时，y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值244ac b a -.
七、二次函数解析式的表示方法
1． 一般式:2y ax bx c =++（a ,b ，c 为常数,0a ≠）； 2. 顶点式:2()y a x h k =-+（a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函
数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 １. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小，反之a 的值越小,开口越大;
⑵ 当0a <时,抛物线开口向下，a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2． 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b
a -
<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴;
当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧.
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;
当0b =时,02b
a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;
当0b <时，02b
a
-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.
总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴a
b
x 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则
0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;
⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式； ４． 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数与一元二次方程:
１. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况)：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况．
图象与x 轴的交点个数:
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
21AB x x =-=
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数，都有0y <.
2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0,)c ; 3． 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ，c 的符号,或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
第二章 简单事件的概率
一、可能性
1、必然事件:有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件. ２、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生,这些事件称为不可能事件.
3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。

4、不确定事件:有很多事件我们无法肯定它会不会发生,这些事件称为不确定事件。

５、一般来说,不确定事件发生的可能性是有大小的。

二、简单事件的概率 1、概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。

2、必然事件发生的概率为1，记作Ｐ（必然事件)=1,不可能事件发生的概率为０，记作P(不可能事件）=０，如果A 为不确定事件，那么0＜P （Ａ)<1。

3、一步试验事件发生的概率的计算公式： （n 为该事件所有等可能出现的结果数,ｋ为事件包含的结果数)。

两步试验事件发生的概率的计算有两种方法（列表法和画树状图） 三、用频率估计概率:
1.对于任何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。

2.有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率，只能通过试验、统计的方法估计其发生的概率。

3.对随机事件做大量试验时,根据重复试验的特征,我们确定概率时应当注意几点:
(1)做实验时应当在相同条件下进行;
(２）实验的次数要足够多，不能太少；
（３）把每一次实验的结果准确,实时的做好记录；
（4)分阶段分别从第一次起计算事件发生的频率,并把这些频率用折线统计图直观的表示出来；观察分析统计图,找出频率变化的逐渐稳定值,并用这个稳定值估计事件发生的概率,这种估计概率的方法的优点是直观，缺点是估计值必须注意：事件发生的概率是一个确定的值,而频率是不确定的。

当实验次数增大时,频率的大小波动变小,逐渐稳定在概率附近，此时它会非常接近概率，但不一定相等。

0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实
根
0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
0∆< 抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
四、概率综合运用：
概率可以和很多知识综合命题，主要涉及平面图形、统计图、平均数、中位数、众数、函数等。

常见考法
(1)判断游戏公平:游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

这类问题有两类一类是计算游戏双方的获胜理论概率,另一类是计算游戏双方的理论得分;
（2）命题者经常以摸球、抛硬币、转转盘、抽扑克这些既熟悉又感兴趣的事为载体，设计问题。

进行摸球、抽卡片等实验时,没有注意“有序”还是“无序”、“有放回”还是“无放回”故造成求解错误。

第三章圆的基本性质
【本章知识框架】
圆基本元素：圆的定义,圆心，半径，弧,弦,弦心距
的垂径定理
认对称性:旋转不变性,轴对称，中心对称（强）
识圆心角、弧、弦、弦心距
的关系与圆有关的角：圆心角,圆周角
弧长,扇形的面积,弓形的面积,及组合的几何图形
圆中的有关计算:
圆锥的侧面积、全面积
一、圆的概念
１、圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点Ａ所形成的封闭曲线,叫做圆.点Ｏ叫做圆心，线段OP叫做半径。

2、弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。

优弧、劣弧以及表示方法。

3、弦，弦心距，圆心角,圆周角,
４、判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP=d，则有:
d>ｒ⇔点Ｐ在⊙Ｏ外;
ｄ＝ｒ⇔点Ｐ在⊙O 上；
ｄ＜r ⇔点P在⊙O内。

５、三角形的外接圆，外心
三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点,它是三角形外接圆的圆心。

知识点:锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。

三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。

相关知识：三角形重心,是三角形三边中线的交点，在三角形内部。

二、圆的性质
１、旋转不变性：圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;
D ２、圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
性质:在同圆或等圆中，如果两个圆心角,两条弧,两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。

３、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 ④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中,任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD
∴弧AC =弧BD
4、与圆有关的角
⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

⑵ 圆周角：顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质:
① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
② 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等．
③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
三、弧、扇形、圆锥侧面的计算
⑴ 圆的面积:2R S π=，周长:R C π2=
⑵ 圆心角为n°，半径为R 的弧长180
R
n l π= ．
⑶ 圆心角为ｎ°，半径为R,弧长为l 的扇形的面积3602R n S π= 或 lR S 2
1
=.
知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。

⑷ 圆锥的侧面展开图为扇形。

底面半径为R,母线长为l ，高为h 的圆锥的侧面积为Rl S π=,全面积为2R Rl S ππ+= ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有222h R l +=。

四、作图
平分已知弧;作三角形的外接圆。

五、辅助线
圆中常见的辅助线
1．作半径,利用同圆或等圆的半径相等；
B
()()
()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩
，交换内项，交换外项．同时交换内外项2．作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算；
3．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算; 4．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角;
5.作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角;
6．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。

第四章 相似三角形
知识点1 相似图形
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线
段的比是n
m
b a =，或写成n m b a ::=.
注意：在求线段比时,线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：
(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． (2)比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式
为:a
d c b =．
知识点3 比例的性质 基本性质：
(１)bc ad d c b a =⇔=::;
（2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：
由一个比例式只可化成一个等积式
,而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=,c a d b ::=，
c d a b ::=，b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项):
反比性质（把比的前项、后项交换):c
d a b d c b a =⇒=． 合比性质：
d
d c b b a d c b a ±=
±⇒=. 注意：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+-=+--=-⇒=d
c d
c b a b a c c
d a a b d c b a 等等. 等比性质：
如果)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ,那么
b a n f d b m e
c a =++++++++ . 注意:(1)此性质的证明运用了“设k 法” ,这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
（2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(３）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，
再利用等比性质也成立.如:b
a
f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=
⇒==32323322;其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：
(１)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线
段成比例.
(2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边. 知识点5 黄金分割
把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中
AB AC 2
1
5-=
≈0.6１8AB ． 知识点6 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形,叫做相似三角形. 相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数). 相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注意:
①对应性:即两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的. ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
知识点7 相似三角形的基本定理
定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原
三角形相似.
定理的基本图形: 用数学语言表述是: BC DE // ,
ADE ∆∴∽ABC ∆．
知识点8 相似三角形的等价关系
(1)反身性:对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆.
（2)对称性:若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆．
（３)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆．
知识点９ 三角形相似的判定方法
1、定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似．
２、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角
形与原三角形相似． ３、判定定理１：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为:两角对应相等,两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似.简述为：三边对应成比例,两三角形相似.
６、判定直角三角形相似的方法: (１）以上各种判定均适用.
(２)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似．
(3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式 如图,R ｔ△A ＢＣ中，∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：(１)(AD)２＝ＢD ·DC ， (2)(A Ｂ)2=BD ·BC ，
（3)（ＡＣ）2=CD ·BC 。

证明:在 △B ＡD 与△ACD 中，∠B+∠Ｃ=9０°，∠DA Ｃ+∠C=9０°,∴∠B
=∠DAC,又∵∠ＢＤA=∠ADC=９0°,∴△BAD ∽△ＡCD 相似,∴ AD/ＢD ＝CD ／ＡＤ,即
--
--
（AD)２=B Ｄ·D Ｃ。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式(2)+（３)得: （AB)2+（ＡC)２=B Ｄ·ＢC+ＣD ·B Ｃ ＝(BD+C Ｄ)·ＢC=（B Ｃ)２， 即 （ＡB ）2+（AC ）2=(BC ）２。

这就是勾股定理的结论。

知识点10 相似三角形性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比.
边 A CD )
则R ｔ△ＡBC∽Rt△ＡC Ｄ∽Rt△ＣBD 且AC ２=ＡＤ·A Ｂ,CD 2=AD ·BD ,BC 2＝BD ·AB ;
CD DC ，都可（4）当AD AE AC AB
或AD·ＡＢ=ＡＣ·ＡE 时，△ADE∽△ACＢ．
（3）
(4）。