高考数学压轴题：函数最值问题

高考数学压轴题：函数最值问题
双层最值问题，就是以最值的最值形式出现，考查对应函数性质，主要考查方向为函数图象、函数单调性、基本不等式应用、数学思想方法以及函数解析式，题型背景较新，综合要求较高.
类型一 二次函数双层最值问题
典例1 函数)(x f 满足22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g .设)}(),(m ax {)(1x g x f x H =，)}(),(m in{)(2x g x f x H =（),max(q p 表示q p ,中的较大值，
),min(q p 表示q p ,中的较小值）
，记)(1x H 的最小值为A ，)(2x H 的最大值为B ，则=-B A ________..
【答案】-16
【解析】 令h （x ）=f （x ）-g （x ）=x 2 -2（a+2）x+a 2 -[-x 2 +2（a-2）x-a 2 +8]=2x 2 -4ax+2a 2 -8
=2（x-a ） 2 -8． ① 由2（x-a ） 2 -8=0，解得x=a ±2，此时f （x ）=g （x ）；
② 由h （x ）＞0，解得x ＞a+2，或x ＜a-2，此时f （x ）＞g （x ）；
③ 由h （x ）＜0，解得a-2＜x ＜a+2，此时f （x ）＜g （x ）．
综上可知：（1）当x ≤a-2时，则H 1 （x ）=max{f （x ），g （x ）}=f （x ）=[x-（a+2）] 2 -4a-2，
H 2 （x ）=min{f （x ），g （x ）}=g （x ）=-[x-（a-2）] 2
-4a+12，
（2）当a-2≤x ≤a+2时，H 1 （x ）=max{f （x ），g （x ）}=g （x ），H 2 （x ）
=min{f （x ），g （x ）}=f （x ）；
（3）当x ≥a+2时，则H 1 （x ）=max{f （x ），g （x ）}=f （x ），
H 2 （x ）=min{f （x ），g （x ）}=g （x ），
故A=g （a+2）=-[（a+2）-（a-2）] 2 -4a+12=-4a-4，B=g （a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
【点睛】实际考查函数图象
类型二 分式函数双层最值问题
典例2设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x =+
+∈∈+最大值为()g m ,则()g m 的最小值为__________. 【答案】34
【解析】因为223sin sin 33[,]3sin 3sin 2x m x m m m x x +
+=+++-∈+++， 所以33||,||||||,324()max{||,||}33332||,||||||,2224
m m m m m g m m m m m m m m ⎧⎧≥+≤-⎪⎪⎪⎪=+==⎨⎨⎪⎪+<++>-⎪⎪⎩⎩， 因此()g m 的最小值为34
【点睛】实际考查函数单调性或基本不等式应用
类型三 实际应用函数双层最值问题
典例3 已知ABC ∆面积为1,,D E 分别在边,AC BC 上,DE ∥AB 连BD ,设,,DCE DBE DBA ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,123max(,,)y S S S =,则min y =_______.
【解析】1231S S S ++=，由题意得32S S >，所以当13S S =时，min y ，
根据相似得2211111121()()111S S S S S S S S =∴=∴=+-，即min y
= 【点睛】实际考查函数关系
类型四 多元变量函数双层最值问题
典例4. 设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是__________．
【答案】9
【解析】由123445h x x h x x h x x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，所以32123454729729h x x x x x x ≥≥≥
当1,942531=====x x x x x 时等号成立，所以最小值为9
【点睛】实际考查思想方法
1. 设0,0a b >>，
22min{,}b h a a b
=+，其中min{,}x y 表示,x y 两数中最小的一个数，则h 的最大值为 . 【答案】2
2 【解析】因为22
min{,}b h a a b =+，所以2222210,022
b b h a h h a h a b a b <≤<≤∴≤⋅≤∴≤++. 2．已知y x ,是正数，且}1,1,min{)(y x
y x x F +=，则函数)(x F 的最大值为_____. 【答案】2
【解析】由题意得111110(),0(),0(),()()F x x F x F x y y y x x F x F x <≤<≤<≤+∴≤≤，211()()2,()()()()
max F x F x F x F x F x F x ∴≤+∴≤≤=3．已知y x ,是正数，且},1,1max {
)(22y x y x x F +=，则函数)(x F 的最小值为_____. 【答案】32
【解析】由题意得22110(),0(),0()F x F x x y F x x y
<≤<≤<+≤，所以223()x y F x xy +≤， 因为22
2x y xy
+≥，所以3min ()2,()()F x F x F x ≥= 4. 已知y x ,是区间()1,0内的两个实数，把12,2,2---y y x x 的最小值记为),(y x F ，则)
,(y x F
的最大值为_____________. 【答案】32
1 【解析】因为12,2
,2---y y x x 的最小值记为),(y x F ， 所以12(,)0,2(,)0,2(,)0x x y y F x y F x y F x y ---≥>≥>≥>
1313
222(,)0,2(,)0,(,)x x y y F x y F x y F x y ----∴≥>∴≥>≤ 5. 对任意实数b a ,，不等式C b b a b a ≥--+}2016,,max{恒成立，则C 的最大值为_______.
【答案】1008
【解析】设max{,,2016}a b a b b m +--=，所以,,2016a b m a b m b m +≤-≤-≤， 因为
112016|2016|20162222
a b a b a b a b b b +-++-+-≥-+-=， 所以112016,1008.22m m m m ++≥≥从而C 的最大值为1008. 6. },,max{c b a 为c b a ,,中的最大值，令}2,21,21max{b b a b a M +-+++=，则对任意实数M b a ,,的最小值为________. 【答案】
34 【解析】因为}2,21,21max{b b a b a M +-+++=，所以12,12,2M a b M a b M b ≥++≥+-≥+，
因为4612124212(12)4(2)83M a b a b b a b a b b M ≥++++-++≥++-+-++=∴≥， 从而M 的最小值为3
4 7. 已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭
，，，则M 的最小值为_________.
【答案】2．
【解析】1111max ,,a a M b bc c b M bc M c M ac a b ac
a b ⎧⎫=+++∴+≤+≤+≤⎨⎬⎩⎭，， 2111(
)()2242a M b c a bc M ac b a bc
≥++=+++≥+=∴≥,等于号可以在1a b c ===时取得， ∴M 的最小值为2
8. 设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于0，且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1，则},,,m ax {54433221x x x x x x x x ++++的最小值是__________．
【答案】31
【解析】设12233445max{,,,}x x x x x x x x m ++++=，则12233445,,,x x m x x m x x m x x m +≤+≤+≤+≤，
12344541
3013,3x x x x x x m x m m ∴+++++≤≥∴≤≥，
即},,,m ax {54433221x x x x x x x x ++++的最小值是31。