高考数学压轴题：函数最值问题

高考数学压轴题：函数最值问题

双层最值问题，就是以最值的最值形式出现，考查对应函数性质，主要考查方向为函数图象、函数单调性、基本不等式应用、数学思想方法以及函数解析式，题型背景较新，综合要求较高.

类型一 二次函数双层最值问题

典例1 函数)(x f 满足22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g .设)}(),(m ax {)(1x g x f x H =，)}(),(m in{)(2x g x f x H =（),max(q p 表示q p ,中的较大值，

),min(q p 表示q p ,中的较小值）

，记)(1x H 的最小值为A ，)(2x H 的最大值为B ，则=-B A ________..

【答案】-16

【解析】 令h （x ）=f （x ）-g （x ）=x 2 -2（a+2）x+a 2 -[-x 2 +2（a-2）x-a 2 +8]=2x 2 -4ax+2a 2 -8

=2（x-a ） 2 -8． ① 由2（x-a ） 2 -8=0，解得x=a ±2，此时f （x ）=g （x ）；

② 由h （x ）＞0，解得x ＞a+2，或x ＜a-2，此时f （x ）＞g （x ）；

③ 由h （x ）＜0，解得a-2＜x ＜a+2，此时f （x ）＜g （x ）．

综上可知：（1）当x ≤a-2时，则H 1 （x ）=max{f （x ），g （x ）}=f （x ）=[x-（a+2）] 2 -4a-2，

H 2 （x ）=min{f （x ），g （x ）}=g （x ）=-[x-（a-2）] 2

-4a+12，

（2）当a-2≤x ≤a+2时，H 1 （x ）=max{f （x ），g （x ）}=g （x ），H 2 （x ）

=min{f （x ），g （x ）}=f （x ）；

（3）当x ≥a+2时，则H 1 （x ）=max{f （x ），g （x ）}=f （x ），

H 2 （x ）=min{f （x ），g （x ）}=g （x ），

故A=g （a+2）=-[（a+2）-（a-2）] 2 -4a+12=-4a-4，B=g （a-2）=-4a+12，

∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．

【点睛】实际考查函数图象

类型二 分式函数双层最值问题

典例2设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x =+

+∈∈+最大值为()g m ,则()g m 的最小值为__________. 【答案】34

【解析】因为223sin sin 33[,]3sin 3sin 2x m x m m m x x +

+=+++-∈+++， 所以33||,||||||,324()max{||,||}33332||,||||||,2224

m m m m m g m m m m m m m m ⎧⎧≥+≤-⎪⎪⎪⎪=+==⎨⎨⎪⎪+<++>-⎪⎪⎩⎩， 因此()g m 的最小值为34

【点睛】实际考查函数单调性或基本不等式应用

类型三 实际应用函数双层最值问题

典例3 已知ABC ∆面积为1,,D E 分别在边,AC BC 上,DE ∥AB 连BD ,设,,DCE DBE DBA ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,123max(,,)y S S S =,则min y =_______.

【解析】1231S S S ++=，由题意得32S S >，所以当13S S =时，min y ，

根据相似得2211111121()()111S S S S S S S S =∴=∴=+-，即min y

= 【点睛】实际考查函数关系

类型四 多元变量函数双层最值问题

典例4. 设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是__________．

【答案】9

【解析】由123445h x x h x x h x x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩

，所以32123454729729h x x x x x x ≥≥≥

当1,942531=====x x x x x 时等号成立，所以最小值为9

【点睛】实际考查思想方法

1. 设0,0a b >>，

22min{,}b h a a b

=+，其中min{,}x y 表示,x y 两数中最小的一个数，则h 的最大值为 . 【答案】2

2 【解析】因为22

min{,}b h a a b =+，所以2222210,022

b b h a h h a h a b a b <≤<≤∴≤⋅≤∴≤++. 2．已知y x ,是正数，且}1,1,min{)(y x

y x x F +=，则函数)(x F 的最大值为_____. 【答案】2

【解析】由题意得111110(),0(),0(),()()F x x F x F x y y y x x F x F x <≤<≤<≤+∴≤≤，211()()2,()()()()

max F x F x F x F x F x F x ∴≤+∴≤≤=3．已知y x ,是正数，且},1,1max {

)(22y x y x x F +=，则函数)(x F 的最小值为_____. 【答案】32

【解析】由题意得22110(),0(),0()F x F x x y F x x y

<≤<≤<+≤，所以223()x y F x xy +≤， 因为22

2x y xy

+≥，所以3min ()2,()()F x F x F x ≥= 4. 已知y x ,是区间()1,0内的两个实数，把12,2,2---y y x x 的最小值记为),(y x F ，则)

,(y x F