量子力学复习重点课件

d dt


i * n ( r , t )dr ( En En ) n ( r , t )dr 0
En* En
2.5 定态薛定谔方程
（2）粒子在空间的几率密度与时间无关
n (r , t ) n n
[ n e xp( iEn t / )] [ n e xp( iEn t / )]


2 (r , t ) d 1
归一化波函数
C
归一化因子
把换成的步骤称为归一化
1 2x 例：给定( x) cos 2 a

x (0, a) 将其归一化
解:令以归一化波函数为 ( x), 设( x) c( x)
1 2 a 2 2x ( x) dx 4 c 0 cos a dx x 1 2 a 1 cos 4a 1 2a c dx c 1 0 4 2 4 2
nx ( x) B sin 2a
n E 2 8ma
2 2
2
2.6 一维无限深势阱
二者合起来可写为：
n kn , 2a
( n 1,2,3, )
2 2 2 En n , 2 8ma
sin n ( x ) An
波函数的归一化是：
n ( x a) 2a
§4 粒子流密度和粒子数守恒定律
§5 定态Schrödinger方程
2.1 波函数的统计解释
（三）波函数的统计解释
物质波是描述粒子在空间的概率分布
的概率波。波函数在空间某点的强度（振
幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的概
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
C

2 (r , t ) d 1

a
a
| n ( x) | dx 1 所以， An
2
1 （与n无关） a
2.6 一维无限深势阱
最后得到能级和波函数是：
n 2 2 2 En 8ma 2
1 n n ( x) sin ( x a). 2a a n 1,2,3,
第三章
经典粒子
量子力学中的力学量
§3.2
动量算符和角动量算符
(3)、角动量Z分量算符的本征值方程
ˆ Y ( , ) mY ( , ) L z lm lm
L z的本征值是m 本征函数是Ylm ( , )
§3.3 电子在库仑场中的运动
（五）总结
2 4 mZ es E n 1 , 2 , 3 , n 2 2 （1）本征值和本征函数 2 n (r , , ) R (r )Y ( , ) nl lm nlm
三 、早期的量子论
1 、 Planck 黑体辐射定律 普朗克能量子假说 * 辐射物体中包含大量谐振 子，它们的能量取分立值 * 存在着能量的最小单元 （能量子=h) * 振子只能一份一份地按不连 续方式辐射或吸收能量
2 、光量子及光电效应理论
• 第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认为， 光不仅是电磁波，而且还是一种粒子。 • 根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能 量 hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光
A coska B sin ka 0, A coska B sin ka 0, (at x a) (at x a)
I -a
II
III
a
A cos ka 0, B sinka 0.
有两种情形的解：
0
A和B不能同 时为零
（1） B 0, coska 0
由力学可知，频率为ν，波长为λ，沿单位矢量 n 方向 传播的平面波可表为：
2 A cos[ k r t ] 其中 2，k n。

写成复数形式
i A exp[ i(k r t )] A exp ( p r Et)
函数。
2.5 定态薛定谔方程
（四）定态的性质 （1）Hamilton算符的本征值E或En必定是实数
n (r , t ) n n
[ n e xp( iEn t / )] [ n e xp( iEn t / )]
* n n exp[i ( En En )t / ]
S
结论：单位时间内V中增加几率应等于从体积V外穿过V的边界 面流进V的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程
2.5 定态薛定谔方程
2、能量本征值方程
2 2 [ U ] E 改写成 2m
ˆ E H
在量子力学中称与上类似的方程为本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征
ˆ ˆ ˆ LrpLrpr i
§3.2
动量算符和角动量算符
(iii)角动量Z方向的分量
ˆ Lz i
角动量的平方
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) 2 ] 2 sin sin
量子力学
Quantum Mechanics
Heisenberg
Schrodinger
矩阵力学
波动力学
第一章
绪论
§1.1经典物理学的困难 §1.2光的波粒二象性 §1.3原子结构的玻尔理论 §1.4 微观粒子的波粒二象性
§ 1.1 经典物理学的困难
一．经典物理学的成就
解释了大到天体小到原子分子的运动和各种电磁现
这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为 描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为 de Broglie 波
二、电子衍射实验
戴维孙
电子衍射实验
正是有了早期的量子论和德布罗意 波才奠定了量子力学的诞生
第二章
波函数和薛定谔方程
§1 波函数的统计解释 §2 态叠加原理 §3 Schrödinger 方程
n exp(iE t / ) n exp( iEn t / )
* n
n

(r ) n (r )
不含时间变量
2.5 定态薛定谔方程
（3）几率流密度与时间无关 i J n (r , t ) [n n n n ] 2m
i * [ n exp(iEnt / ) n exp( iEn t / ) 2m * n exp( iEn t / ) n exp(iEnt / )]
k 2mE
(a x a)
d 2 2 k ( x) 0 2 dx
( x) A coskx B sin kx
( a x a )
2.6 一维无限深势阱
3. 能级与波函数 考虑波函数标准条件 : 单值,有限, 连续 要求波函数在阱内外 V(x) 要连续。所以现在
ˆ ˆ) F (r , p) F (r , p
§3.1
例如
表示力学量的算符
ˆ x i px p x
ˆx x x
2 2 2 ˆ p p ˆ T T 2 2m 2m 2m
2 2 ˆ2 p p 2 ˆ H U (r ) H U (r ) U (r ) 2m 2m 2m
U(x)
I -a
II
III a
在阱外有 ( x) 0
0
势阱内的粒子不可能跑到势阱外面来,所以势阱外找 到粒子的几率为零,阱外波函数为零.
2.6 一维无限深势阱
2. 定态薛定谔方程的解: 在势阱内，薛定谔方程为 :
d 2 2mE ( x) 0 2 2 dx
显然E>0 那么方程变成： 它的通解是：
薛定谔波动方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
w J 0 t
几率守恒定律的微分形式
dS
d w(r , t )d J dS S dt

S
w(r , t )d 表示空间中找到粒子的几率随时间的变化 t
J dS 表示单位时间内通过封闭曲面S而流入V的几率
§3.2
本征值方程
动量算符和角动量算符
2 2 ˆ L Y ( , ) l (l 1) Y ( , )
本征值函数（球函数）
Ylm ( , ) (1)
m
N lm P l
m
(cos )e im
m 0,1,2, ,l
由于量子数 表征了角动量的大小，所以称为角量 子数；m 称为磁量子数。
可用坐标和动量来描写状态(坐标、动量、角动
量、能量等)，任何状态下，力学量都有确定值。
微观粒子
坐标和动量不能同时有确定值，所以状态用波 函数表示，力学量用算符表示。
源自文库
§3.1
表示力学量的算符
量子力学中力学量算符的构成
• 量子力学中表示力学量的算符必须是线性,厄密算 符,且它的本征函数构成完备系.
• 经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标 保持不变,动量换为动量算符就构成了量子力学中 相应的力学量算符.
n ka , (n 1,3,5, ) 2
2.6 一维无限深势阱
n k , (n 1,3,5, ) 2a
k 2mE
k 2 h 2 n 2 2 2 E 2m 8m a2
nx ( x) A cos 2a
n k 2a (n 2,4,6, )
(2) A 0, sin ka 0
速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
• 由相对论光的动量和能量关系
p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子动量 p 与辐射波长
（ λ=C/v）的关系。
总结光子能量、动量关系式如下：
E h E h h p n n n k C C h 2n 其中 k 2
2
解得： c
2
8 a
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
（2）能级简并性
l 0,1,2,, n 1
m 0,1,2,,l
能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, , m 有关，故能级存在简并。 当 n 确定后， = n - nr- 1，所以 最大值为 n - 1。当 确定后，m = 0,±1,±2,...., ±。共 2 + 1 个值。所以 对于 E n 能级其简并度为：
mn [ En Em ] h
量子化条件
假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系 的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：
• •
E = hν P = h/λ

ν= E/h λ= h/p
该关系称为de. Broglie关系。
因为自由粒子的能量 E 和动量 p 都是常量，所以 由de Broglie 关系可知，与自由粒子联系的波的频率ν 和波矢k（或波长λ）都不变，即它是一个单色平面波
象和光的传播等现象. 牛顿力学 麦克斯韦方程 统计物理学
低速宏观
电磁现象
热现象
§ 1.1 经典物理学的困难 当时物理学家们的世界图样:
物质粒子 + 电磁场 = 世界
物质粒子的运动由经典力学描述 电磁场运动由经典电磁学描述.
二、经典物理学的困难
（1）黑体辐射问题
（2）光电效应
（3）康普顿效应 （4）原子光谱
§1.3波尔（Bohr）的量子论
玻尔假定:
1.原子具有能量不连续的 定态的概念。Bohr提 出了量子化条件： 2.量子跃迁的概念. 原子处于定态时不辐射，但 是因某种原因，电子可以从 一个能级 En 跃迁到另一个较 低（高）的能级 Em ，同时将 发射（吸收）一个光子。光 子的频率为：
电子的角动量 L只能 取的整数倍，即 L n 其中 n 1,2,3
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n (r )] 2m
J n (r ) 不含时间变量
2.6 一维无限深势阱
1. 势场
0, U ( x)
| x | a | x | a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
a
0
a
x
2.6 一维无限深势阱