例谈初中数学中客观性问题的几种解题方法

例谈初中数学中“相关面积客观性问题”的几种解题方法近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点，尤其是相关“面积问题”中的选择、填空等客观性题，直接求解，计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，使用准确的方法，巧算面积，化难为易，既能得出准确答案，又能节省答卷时间，可达到事半功倍之效果。

下面，本人就以几个典型的试题为例，谈谈“相关面积客观性问题”的几种解题方法。

一、割补法
例1．如图1，以BC为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交AB 于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（）
图1
A. B. C. D.
解析：观察图形，能够适当实行“割”与“补”，从而组合成便于计算的几何图形，根据此图的条件，只要把弓形CD与弓形BD互换，即把弓形CD“割”下来“补”到弓形BD上，则阴影部分的面积就等于扇形ABC的面积减去△ADC的面积，故选A。

二、平移法
例2．下面是两位同学关于配有如图2的一道题目的争论：甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”乙：“为什么这么说？”甲：“你看，题目只告诉我们AB的长度等于24，却要求出阴影部分的面积！事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢。

”乙：“那，不过AB不过小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”请问，真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？
图2
解析：只要将小半圆向左平移至大、小半圆圆心重合的特殊位置时，已知条件就能充分利用，阴影部分的面积就能用整体思想解决。

解：甲说的不对，根据现有条件能求出阴影部分的面积，如图3，连结OC、OB，则OC⊥AB，CB=12，
图3
所以。

三、旋转法
例3.如图4，已知正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，A点坐标为（2，1），分别以A、B为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和为__________。

图4
解析：根据图中两圆关于点O成中心对称的特征，以点O为旋转中心将其中一圆旋转到另一圆上，两个不规则的阴影部分刚好构成一个圆，很快就得两个阴影部分面积的和为。

四、翻折法
例4．如图5，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、E、O 分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分面积为_________。

图5
解析：求图形的面积要注意观察图形的结构，此题的特征是I区域与II区域关于直线OD成轴对称，只要把I区域沿直线OD翻折到II区域，问题就转化为求矩形ACDF的面积。

解：因为OC=1，所以OD=OA=，
所以。

五、比例法
例5．如图6，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积，分别为和，那么△DOC的面积是________。

图6
解析：在三角形中，在高相等的情况下，两个三角形的面积比等于底的比，利用这个等比关系就能够便捷地求出△DOC的面积。

解：，
，
求得。

六、规律法
例6．将n个边长都为的正方形按如图7所示的方法摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）
图7
A. B. C. D.
解析：此题可先研究两个正方形重叠部分的面积，根据题意可知，点、、…、分别是正方形的中心，所以与重叠部分为的面积的四分之一，以此类推。

若两个正方形的重叠面积为1个正方形面积的，则三个正方形的重叠面积为2个，四个正方形的重叠面积为3个，于是从一般到特殊的转化，然后再从特殊到一般，得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，故选C。

七、实验法
例7．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，如图8，在不远处向圈内掷石子，且记录如下，则封闭图形ABC的面积是平方米。

掷石子次数石子落在的区域50次150次300次
石子落在⊙O内（含⊙O上）次数14 43 93 石子落在阴影内的次数19 85 186
图8
解析：不规则的封闭图形ABC的面积难以用常规方法解决，但根据小明游戏实验的启发，此类问题能够巧妙地转化为统计中的概率问题，因为经过较多次数的实验后发现：实验中，石子落在⊙O内（含⊙O上）的概率约为31%，石子落在封闭图形ABC的概率约为93%，从而推出封闭图形ABC的面积约为⊙O面积的3倍，约
平方米。

八、数形结合法
例8、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图9）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 。

图9
解析：四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，，可设它们的边长分别为a、b、c、d，不难证出△ABC≌△BDE，由直角三角形全等，再根据勾股定理，可得：
解得：a²+b²+ c²+ d²=4，即S1+ S2+ S3+ S4=4。

“数缺形时少直观，形缺数时难入微。

”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。

我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到"形帮数"的目的;同时我们又要使用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到"数促形"的目的。

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往能够简捷地解决问题，得出准确的结果。