黎曼假设(2)素数个数公式
埃拉托塞尼筛法的素数公式与黎曼猜想的素数公式(第二版).doc
埃拉托塞尼筛法的素数公式与黎曼猜想的素数公式-一都是来自埃氏筛一、摘要本文把黎曼猜想与素数普遍公式通过埃拉托塞尼筛法联系起来了。
［编辑本段1二，黎曼假设概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题的奖金均为100万美元。
其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。
黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家蚕尔伯特列出23个数学问题.其中第8问题中便有黎曼假设(还包括挛生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。
即：关于索数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826-1866)观察到，素数的频率•紧密相关于。
⑴时,(5)2 2 22+……。
(当(5)式的r=L时) 2(1.1尸=1 +上+ £3 3 32O (当(5)式的r=：时)(1.J_)T=1+-L+£+ .... (当(5)式的r=—nt) 5一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z(s)=。
的所有有意义的解都在一•条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,00。
个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕索数分布的许多奥秘带来光明。
1730年，欧拉在研究调和级数：1 1 1 1—=1 + — + — +...+ —n 2 3 n发现：V，1 1 1 1 1 1 1 IT 小1、.]〉一=(1 + — + -+・..)(1 + — + "V + ...)(1 + — + +…)...... =II (1 --------) o (2) n 2 22 3 32 5 52 1 1 P其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n s (s>1),即可。
人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！
人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！质数，也称素数，指大于1的自然数中，除了1和本身外，不能被其他自然数整除的数，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。
素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷。
今天，我们来认识下，素数的重要分布规律——素数定理。
这是目前发现的，最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。
欧几里德欧几里德在大约公元前300年，就漂亮地证明了素数有无数个，从此人们开始了寻找素数公式的历程。
大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的一封信中写道：'素数的计算公式，在我们这辈子可能找不到了。
不过，我还是想用一个式子来表达它，但并不能表示出所有素数。
n^2-n+41，n等于1到40'。
欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德巴赫给欧拉的信中提到：'一个整系数多项式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。
'后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想，欧拉对数论的贡献相当多，数论四大定理之一就有个——欧拉定理，而欧拉的素数乘积式，是开启黎曼猜想的金钥匙。
欧拉和欧拉乘积式对素数的研究，欧拉过后，直到高斯才有了进展，大约在1792年，15岁的高斯就发现，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。
同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想，但他们都无法对其证明，至此，这个问题成了数学界的顶级难题，甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得到永生。
证我者，得永生！直到一百多后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑独立证明，他们的证明都是根据黎曼的思路走的，其中运用到了高深的整函数理论，至此，这个猜想正式升级为定理——素数定理（PNT）。
素数定理值得一提的，他们两人一个活了96岁，一个活了98岁。
素数定理还有个初等表达式：素数定理初等表达式该定理可以推出很多有趣的结论，比如：N是素数的概率～1/lnN；第N个素数～NlnN；这两个推论和PNT互为充要条件。
黎曼猜想_论小于给定数值的素数个数
数，除了 1 之外，对于每个有限的 s ，其值都是有限的. 它也表明，当 s 为偶的负 整数时， (s) 为 0.(1)[4]
如果 s 的实部为负的话，则积分也可通过取别的路径来计算. 与按正方向围
绕先前描述的区域的路径不同，这次的路径是按负方向围绕上述区域的余集，这
是因为对于所有的充分大模的 x ，积分是无穷小的. 在这个区域的内部，仅当 x 等 于 2i 的整数倍时，被积函数才是不连续的，所以积分就等于那些按负方向围 绕这些点的积分之和. 围绕点 n2i 的积分值为(n2i)s1(2i) ，因此，
立即得出
(s 1) (s)
x s1dx 0 ex 1
如果我们现在考虑围道积分
* 全文摘自《黎曼全集》第一卷，127-135 页.
-1-
( x)s1dx ，
ex 1 其中积分路线沿一条闭路径按正方向从 到 ，这条路径内部包含 0 点
但不包含被积函数的其他不连续点，则容易看出它等于
(esi
有限的，而且 (t) 的其他因子的对数亦然，所以，显然仅当t 的虚部位于 1 i 和 1 i
2
2
之间时， (t) 才可能为 0. 方程 (t) 0 的实部位于 0 和T 之间的根，其数目约为
-3-
T 2
log
T 2
T 2
.
这是因为，积分 d
log (t)（忽略一个阶为 1 T
的次要项）的值为 T
1)
1
x
(见 Jacobi 全集第 1 卷第 235 页)，所以我们有
(
s
1)
s 2
(s)
(
x)x
s 2
1
dx
1
(
1
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
黎曼猜想公式
黎曼猜想公式
黎曼猜想是数学中著名的未解决问题之一，它提出了素数分布的规律。
在数学领域中，素数一直是一种非常重要的数字，它们具有许多独特的特性和应用场景。
黎曼猜想公式是研究素数分布的工具之一，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的。
这个公式的基本形式如下：ζ(s) = ∏p(1-p^(-s))^-1，其中ζ(s)代表黎曼函数，p代表素数，s代表一个复数。
通过黎曼猜想公式，可以推导出一些数学上重要的结论，例如素数分布的性质，素数的数量等。
然而，黎曼猜想一直未被证明，是数学领域中最难解决的问题之一，至今仍是一个活跃的研究领域。
- 1 -。
“素数之恋”——黎曼假设的神秘世界
“素数之恋”——黎曼假设的神秘世界一个仍未确定解决的重要谜题比哥德巴赫猜想重要性大得多的谜题据说一些数学家愿用灵魂换答案的谜题Riemann Hypothesis (RH)以尽量简洁的陈述说明黎曼假设，共5部分：1.黎曼假设的表述2.问题源头的初等问题3.黎曼假设的提出4.历史进展5.意义和对我们的影响•一、黎曼假设的表述：ζ函数所有非平凡零点的实部都是1/2（这个陈述看起来不太友好，然而无法更精简了，这也是没有广泛流传的原因）这里有三个关键词：ζ函数、零点、非平凡（哦，对了，可能还要加上“实部”这个词）但是——但是一上来就解释这三个词，会不那么有趣，所以先记住这三个关键词，进入第二部分，回头再解释这个表述。
•二、问题源头的初等问题1. 素数(Prime number)、素数定理、高斯黎曼假设看起来太遥远，所以说要先来点简单明了的，比如说素数。
素数即质数，我们认识质数通常是在小学5年级课本，并且需要背诵前8个质数：2、3、5、7、11、13、17、19当然，我们也可以把110以内的质数都列出来，并以适当布局排列，会很好记2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109特别是中间两行，注意到了么：尾数几乎一致，且每10个自然数中的质数个数很齐整。
质数的重要性，学过小奥的都知道，就不再解释了。
如果不熟悉质数也没关系，高斯，这位数学王子，连小朋友都是熟悉的，当然，主要是那个速算1~100的和的故事。
然而在他稍大一点的时候，还有另一个故事，就是他从15岁开始，每天“休闲一刻钟”的空闲，用来计算连续1000个自然数中有多少个质数，差不多坚持了1000个1000（也就100万）。
看起来没什么了不起，嗯。
不过我们可以试着处理一个数字：20291，才2万多，这是他第21天就会遇到的1000个数字之一，那么这个数是不是质数呢？——欢迎使用计算器O(∩_∩)O实际上高斯计算了四五年，在19岁猜想了质数在数字中出现的频率：在前N个自然数中，大约有N/lnN 个质数（其中lnN是以e为底的对数运算）这个结论后来被改进的更加精确：前x个自然数中，质数的个数约为Li(x)（其中Li(x)是一个积分式）这个结论叫做素数定理，简称PNT（能猜出是哪几个单词的缩写么？）PNT可以通过枚举来做一些验证，但并不是个简单易证的定理，至少直到高斯甚至直到黎曼去世的时候，素数定理还没有公布于众的任何证明。
黎曼猜想内容
黎曼猜想内容黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。
9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。
已经知道，黎曼猜想是一个二阶逻辑问题，属于无法一次性证明的工作。
黎曼猜想的主项是一个集合概念的命题，所以只能一个个地验证。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
作为数学中最著名的未决问题，黎曼假设有若干种等价的表达形式，其中一种涉及素数定理给出的估计的精度。
高尔斯在《数学》（牛津通识读本）里介绍说，素数定理告诉我们在某数附近素数的近似密度。
素数是大于1且不能被其他整数——1和自身显然除外——整除的整数。
自从古希腊时期以来，素数就一直困扰着数学家们，因为它们表面上多多少少是随机分布的，但又并非全然随机。
从没有人找出一种简单的规则，能够告诉我们第 n个素数是多少。
和小素数比起来，大素数的出现越来越稀疏。
但它们稀少到何种具体程度？如果你在 1 000 001和 1 010 000之间随机取一数，那么这个数有多大的机会是素数？换言之,1 000 000附近的素数“密度”是多大？它是极其小还是仅仅比较小？有许多关于素数的著名问题。
例如，哥德巴赫猜想断言，任意大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
这个猜想看起来比维诺格拉多夫所解答的三素数猜想要难得多。
素数的音乐：黎曼假设
素数的音乐：黎曼假设
黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。
希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。
与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。
黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题。
目前有消息指尼日利亚教授奥派耶米伊诺克(OpeyemiEnoch)成功解决黎曼猜想，然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。
历史上关于黎曼猜想被证实的闹剧时常传出，近日所谓黎曼猜想被尼日利亚籍教授证明的网文中并没有说明克雷数学研究所已经承认并授予奖金，克雷数学研究所官网目前并无任何表态，而学界专业评价趋于消极。
4.黎曼假设
黎曼假设黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。
希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。
[1]与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。
黎曼猜想是当今数学界最重要，最期待解决的数学难题。
[2]中文名黎曼猜想外文名Riemann Hypothesis 别称黎曼假设表达式函数ζ(s)的非平凡零点的实部都是1/2[3] 提出者波恩哈德·黎曼提出时间1859年应用学科数学目录.1猜想来源.2了解猜想.▪猜想内容.▪猜想验证进展.3人物简介.4等价定理猜想来源黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。
1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。
作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。
这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
[2]黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。
素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。
这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。
从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。
素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
[2]黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。
黎曼猜想与素数分布
贾朝华(中国科学院数学研究所)
1 §1. 黎曼猜想
在费尔马猜想被证明之后, 数论学家的关注点集中到了黎曼猜想上. 黎曼猜想作 为七个千禧问题之一, 被推荐给本世纪的数学家们, 其重要性不言而喻.
以下我们将黎曼猜想简记为RH.
首先, 我们来看RH的表述. 在学习微积分的时候, 会遇到判别级数
Bombieri无条件地证明了(12)式, 这是他关于(1+3)证明中的关键部分, 也是 他获得菲尔兹奖的主要工作之一.
L(1, χ)与代数数域上的类数有关. 关于单个L(1, χ)的估计比较困难, 但我们 可以有一些好的均值估计.
当q ≥ 3时, 戚鸣皋、张文鹏证明了恒等式
|L(1,
χ)|2
=
π2 12
但事实恰相反. Hilbert第七问题已于1934年被解决, 费尔马大定理由Wiles解 决, 而黎曼猜想依然进展不大.
在中科院数学所的一次座谈会上, Atiyah爵士曾乐观地表示: 黎曼猜想可 望10年左右被解决. 常有消息说黎曼猜想已被解决, 但数论学家们并不抱乐观态 度.
2 §2. 素数分布
自然地, 我们会问为什么要研究ζ(s)的零点呢? 黎曼是在1859年的一篇文章中提出他的猜想的, 文章的题目叫论不超过一个
∞1 na
n=1
当a > 1时, 有Euler乘积公式
∞1 n=1 na
=
p
(1 +
1 pa
+
1 p2a
+···)
=
p
(1 −
1 pa
)−1.
如果将a换成复数s, 则当Re(s) > 1时, 易见级数 ∞1 ns
n=1
质数个数公式
质数个数公式
质数个数公式，也称欧拉公式，是用来计算小于等于某个数的质数个数的公式。
它的表达式如下：
π(x) = Li(x) - ∑p ≤x ln(p) + O(√x log(x))
其中，π(x)表示小于等于x的质数个数；Li(x)表示x的自然对数的积分；ln(p)表示p的自然对数；∑p ≤x表示p从2到x的所有质数的和；O(√x log(x))表示x趋近于无穷大时的误差项，通常被称为“大O符号”。
这个公式的意义是，我们可以用数学方法计算出小于等于某个数x的所有质数的个数π(x)，而无需逐个遍历判断每个数是否为质数。
虽然这个公式包含了一定的误差项，但随着x的增大误差会逐渐变小，因此可以用来快速估算质数的个数。
素数的个数公式
π ( n, r ) 这个函数我们把它叫筛法函数。它表示从自然数列 1、2、3……n 中依
次筛去最初 r 个素数 p1 , p2 ,
pr 及其倍数，剩余自然数的个数。
当 r = 0 时， π ( n, r ) = n 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……n 中不筛 去任何数，所以 π ( n, r ) = n
素数的个数公式
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail：632158@
要：■ 1. 素数的个数公式在素数分布的研究中具有重要的理论意义。 ■ 2. 素数的个数公式的简化计算一直是素数的个数计算中的一个 关键。 关键词：素数、素数的个数公式、筛法函数 中图分类号：O156.1 素数，又称质数，只有两个正因数（1 和本身）的自然数。 除了 1 和本身 摘 外还有别的约数的数称之为合数，而 1 和 0 既非素数也非合数。在素数中，只有 2 为偶数，其余的全为奇数，并且，当素数 p＞3 时，p 一定是 6k ± 1 的形状（k 为整数） 。 对于正整数 n，定义 π(n)为不大于 n 的素数总个数。 n 表示 n 的算术平方 ⎡ n ⎤ 表示不超过 n 的最大整数。 根， m 为整数， 当 2≦ p1，p 2 ⎣ ⎦ p1，p 2 ⎤ pm ≦ ⎡ ⎣ n ⎦ 时，
pm 为 n 的前部素数， m = π
( n ) 是前部质数的个
数，那么所有不大于 n 的素数的个数
π ( n) = m + n − ∑ ⎢
⎡ n ⎤ ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ ⎥ +∑⎢ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ i j i j k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
费马大定理,哥德巴赫猜想和黎曼假设
费马大定理,哥德巴赫猜想和黎曼假设
费尔马大定理：费尔马大定理由17世纪法国数学家皮耶-德-费玛提出，他断言当整数n>2时，关于x,y,z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁-怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。
黎曼假设：素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s$的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1500000000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想内容为：一是任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；二是任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。
素数个数公式及疑难猜想破解_新稿_
n (1
j 1
1
k 1
∴
i=k+1 时，结论 y k 1 (n) n
(1 p
j 1
1
j
)
成立。
由 I、Ⅱ可得，当 i 为任何正整数，结论都成立。 引理证毕。 定理 1： （素数个数连乘积公式） ：若 p1 2 , p 2 3 ，… p k …, pi , pi 1 为连续素数，
2 去掉 p k 1 这一个合数该减去的 1 的近似值，且随 p k 的增大，精确度越高。
矩形面积 S( p k )在曲线
1 下方的，在 0.35～0.5 之间变化，当 p k >11 时，在 0.4635～ ln x
0.5 之间变化。 又因为有 ( pi 1 ) 个区间， 所以用对数积分 Li(x)代 ( pi 1 ) 个均衡区间的素数 个数应减去 0.5 ( p k 1 ) 个，由此产生的系统误差计入波动误差 g(x),而 g(x)本身就有放大， 可容纳这点系统误差，无需再调整 g(x)的表达式。 ∴
pi2 x＜p i21 , 则不大于 x 的素数个数π(x)有公式（S）’ 和公式（L）’ 为
（S） ’
dt ( x) ln t 2
x
x
2 ln t g ( x)
2
dt
其中 g (x)满足：－
x
dt dt <g (x)< ln t ln t 2 2
2
x
x
（L）’
i
y i (n) n (1
j 1
1 ). pj
证明：I.当 i=1 时, ∵
p1 =2 , p1 |n y i ( n) n n 1 1 n (1 ) n (1 ) 2 2 p1
《在给定大小之下的素数个数》【黎曼】
x s −1 ex −1
dx
，
如果我们考虑下面的积分
∫∞ (−x)s−1 dx ，积分限从 −∞ 到 +∞ ，这其中包括 0，但是不
0 ex −1
包括其他的定义域中的不连续点，容易发现上式等于
∫∞
(e−π si − e−π si )
x s −1
dx ，
0 ex −1
1
基于 (−x)s−1 = e(s−1)log(−x) ，其中当 x 小于零时， log(−x) 有意义，有
=
Σ
1
F
(x
1 n
)
我们可以得到
F
(
x)
=
Σ(−1)μ
1
1
f (xm ) ，其中
n
m
m 取遍所有的无平方因子数， μ 定义 m 的素因子的个数.
如果我们将 Σα 限制为有限项，那么 f (x) 的微分随着 x 的增长而快速的减小，接近
于
1
− 2Σα
cos(α
log
−1
x)x 2
log x
log x
这给出了一个关于素数密度和素数平方数密度的一半以及素数三次方数的三分之一的
这是因为
∑ −
log
Π(
s
)
=
n=m
lim (
log(1 +
s
) − s log m) ，
2 m→∞ n=1
2n 2
4
我们有
∑ d 1 log Π( s )
−s
2=
∞
d 1 log(1+ s )
s
2n ，
ds
1
ds
∫ 这样 f (x) 的表达式便成立了，除了 1 1 a+∞i 1 logξ (0)xsds = logξ (0) ，此时取下面的
素数普遍公式
素数普遍公式目录[隐藏]一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题[编辑本段]一、引言2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔素数普遍公式，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。
2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。
黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。
也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。
希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。
实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。
[编辑本段]二、素数普遍公式公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。
（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。
.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。
屉部贞世朗编。
259页）。
（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=p k m k+a k 。
(1)其中p1，p2，.....，p k表示顺序素数2，3，5，,,,,。
a≠0。
即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，p km+0形。
若N<P（k+1）的平方[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
黎曼猜想素数分布
黎曼猜想素数分布素数自古以来就一直是数学界的热门话题，而“黎曼猜想”是其中之一，据说它是20世纪最有吸引力的数学猜想之一。
黎曼猜想是由德国数学家哈勒黎曼（Hermann Minkowski）在1927年提出的，他认为存在一种新的素数分布论，被称为“黎曼分布”。
首先，让我们来看看什么是“黎曼猜想”。
它认为素数的分布并不是平均分布的，而是按照一定的定律分布的，也就是说，它们是按照一定的公式分布的。
黎曼猜想提出了一个素数分布的理论，它认为，素数在自然数的分布比较少，但它们一定是规律性的。
黎曼猜想推论认为，在一个指定的区间中，素数以一定的几率出现，这个几率可以用一个数字表示，称为“黎曼函数”。
这一猜想虽然有一定的特征，但在实践中，却并未被证明过。
很多数学家都认为黎曼猜想是一个不可能被证明的猜想，因为它是一个量子概率的问题，它的具体原因仍然不明。
一些研究表明，有时素数的分布会更加不均匀，但这仍然有待经过更多的研究才能确认。
由于目前我们知道的关于素数分布论的知识仍然有限，所以有很多科学家致力于解决这一问题，试图找出黎曼分布的实际依据。
其中一些研究发现了一些有趣的结果，例如，调查发现，一些素数的分布会伴随着平均分布的函数，表明它们是一些规律性的分布。
同时，还有一些实验表明，黎曼分布的实际依据可能是一种数学结构，也可能是一种连续的函数，也可能是一种生成函数。
此外，除了研究素数分布外，很多科学家也在研究素数和其他基本数学结构之间的关系。
比如，Vinogradov和Deligne提出的Vinogradov猜想，即认为一个数字可以写成一系列素数的和，而且这一系列素数的数量不会大于某一个数字。
同时，也有许多其他的猜想，比如Mordell猜想、Riemann猜想等，都与素数有关。
总之，素数分布及其与基本数学结构之间的关系都是一个引人入胜、研究激动人心的课题。
黎曼猜想可能就是一个伟大的科学发现，它可以为我们提供一个更深入、更清晰的理解素数分布，从而为我们更好地研究素数提供一个有效的工具。
黎曼定理的证明
黎曼定理的证明黎曼定理是数学里最著名的定理之一，又被称为数论宝库，它可以指出任何两个质数之间仍有其他质数存在，被视为数论发展的重要里程碑。
风靡全球的黎曼定理，其证明过程却令众人费解。
本文将给出黎曼定理的合理证明过程，让读者加深对此定理的理解。
一、定义黎曼定理的形式如下：若p为质数，则在整数集合Z中，有p | (p + 2) (p + 4) (p + 6)...即余数为0，p整除(p + 2)(p + 4)...，为此定理的等价性形式。
二、定理的推导1.先，根据质因子定理，可知任何一个正整数N都可以表示为N=p1^a1 x p2^a2 x… pk^ak，其中p1<p2<pk是质数，a1,a2…ak都是正整数。
2.证明黎曼定理，我们需要利用大数定理，即如果N是正整数，则N等于(N+1)的质因子总数，也等于(N+2)的质因子总数。
3. 令N=(p+2)(p+4)(p+6)…，根据第二步的结果，将N+2分解为素数因式，可得：N + 2 = (p+2)(p+4)(p+6)… (p+1)(p+1)因为p为质数，所以N+2是N的完全整除数，即p|(p+2)(p+4)(p+6)…此时，就得证了黎曼定理，即当p为质数时，p整除(p+2)(p+4)(p+6)…三、定理的应用黎曼定理在数学上有很多应用，其中最为重要的就是用来解决古典恒等式的问题。
恒等式是一种非常有趣的算法，它可以用来查找一组数值的等价组合，给出其中一组的算法，便可轻易地求出另外一组。
另外，黎曼定理也可用于证明其他著名的数论定理，如莫比乌斯定理，以及众多分辨定理和质数定理。
四、总结本文详细阐述了黎曼定理的证明过程，并分析了定理的数学算法以及其应用。
黎曼定理是数论发展重要里程碑，也是全球数学界最为重要的定理，其背后的推导理论仍有许多深层次的研究存在。
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黎曼假设(2)素数个数公式《黎曼假设》(2)突破性解答素数分布规则③——素数个数公式千禧年世界数学难题之四解答1900年希尔伯特23个问题第8题世界数学难题解答作者：中国数论研究者江西景德镇乐平林登发 (经济师)邮箱：2208831455@2015.7.8㈠前言随着《黎曼假设》素数分布被级数筛法突破性解答，《孪生素数猜想》素数对被序号筛法突破性解答，在数论史上还有关于素数无限发展，无限延伸从0至∞的发展趋势，它们的数量计算还是渺茫，难以捉摸。
古今很多学者創造过一些计算素数个数公式，不是属于数理逻辑推导出来的，而是捕风捉影硬套产生的，所以很多公式一用就失效，目前世界上还沒有素数个数精确公式，那怕局部区域使用的也沒有，大家都在渴望，期盼着……当前是万民创业，万众创新时代，陷入僵局的素数分布问题应运而生，应运而解，上可顺乎天意，下和谐接地气，素数分布个数公式要出世了，古老数论将有突破性进展。
㈡基础理论引导自然数是素数及素数变換形态模式共同产生的混合体，六进制1633规则级数筛法揭露自然数中素数分布规则，只有在阳奇数6N+1和在阴奇数6N-1中有素数存在。
阳奇数中的素数叫阳素数，阴奇数中的素数叫阴素数，从此知道素数也有阴阳之分。
由六进制中6分解：6=1X2x3中得到1，2，3，是0号原始素数。
因此素数理念革命性改变了，素数有三种：原始素数，阳素数，阴素数。
因此素數数量精确公式：∑全体素数分布数量个数=∑原始素数+∑阳素数+∑阴素数。
后二种统称普通素数，1是先天性原始素数。
在阳奇数中除阳素數以外，还有阳复合“积”合数，可以用十字街规则把它筛选出来。
同样在阴奇数除阴素数以外，还有阴复合“积”合数，也可以用十字街规则把它筛选出来。
这些复合“积”合数在相对区域来说数量是变化的，是动态的。
随区域变化而变化，分布数量十分不均匀。
所以在无数次探索中釆取以动制动求解，才符合数理逻辑。
只有转换思维方法，简单而直接的答案就可能是最合理可行的。
㈢主题：素数分布规则③——素数个数公式从铁路规则双轨数中结构分析：①原始素数即0号素数1，2，3，共三个。
②双轨数中阳奇数6N+1包括：阳素数+阳复合“积”合数。
③双轨数中阴奇数6N-1包括：阴素数+阴复合“积”合数。
所以求素数个数公式可以这样描述表达：∑全体素数个数=∑0号素数个数+∑(双轨数阳奇数一阳复合“积”合数)+∑(双轨数阴奇数一阴复合“积”合数)那么阳奇数，阴奇数怎么求呢？它们根据需要目的区域数量来确定，是在1633规则范围中，很容易根据序号N来确定掌控。
因为所有自然数及双轨数都是以1633规则为经线的定位的，序号N就是经线带号，既不会重复又不会遗漏，各自有唯一的户籍，身分证，从不排错队，一个不多也一个不少。
这就是六进制级数筛法特点和要达到的目标。
验证：在1000以内数域(0∽999)之间N=0~166号，双轨数阳奇数和阴奇数都是166号。
N=0号是原始素数序号3个N=1∽166号是普通双轨数序号，阴奇数与阳奇数都是166个。
那么十字街规则复合“积”合数是根据双轨数6N+1和6N-1交叉相乘四种模式产生二种阴、阳复合“积”合数模式，同样是6N十1和6N一1，只是能分解二个以上因素的合数。
这样复合“积”在定位计算上只能计算一次，以被免重复。
相对区间来说是不固定的，是动态的。
例如：1000以內十字街复合“积”：阳复合数86个，阴复合数80个。
把以上数据代入公式：∑(1000以內)全体素数个数=∑原始素数3个+∑(阳奇数166个一阳复合数86个)+∑(阴奇数166个一阴复合数80个)=3+(166-86)+(166-80)=3+80+86=169个答：自然数1000以內范围有素数169个，因为1是原始素數，故比以前埃拉多染尼筛法素数表多1个。
还有一个表现形式：素数数量个数公式：∑素数分布数量个数=∑原始素数+∑双轨数一∑十字街数其中：双轨数=(自然数一原始素数3个 )/六进制6×阴、阳奇数双轨数2列，十字街数=不同阴、阴复合“积”个数总和数，代入数据，得：∑素数分布个数=原始素数3个+(自然数999-原始素数3个)/六进制6x双轨奇数2列一(十字街阳复合“积”合数86个+十字街阴复合“积”合数80个)=3+(999-3)/6x2-(86+80)=3+332-166=169个答：在自然数0∽999以內素数分布个数是169个，和上述解答完全相同正确！这就是数理逻辑推导出来素数分布数量个数计算公式，是正整数基础理论研究重大突破性进展，是梦寐以求的表达式，破天荒反映素数分布规则真相，是吃第一口螃蟹。
现时代已进入智能时代，大数据，云计算，互联网+，C++，数据库……先进设备，计算技术齐备，完全可以把上述双轨数产生十字街规则运用起来，把任意范围的复合“积”计算出来收藏，要什么区间的素数分布一点就出来了，随意釆用。
突破了无限空间素数分布盲区。
只有沒有想到，沒有做不到的，将引领科学技术革新，创造出新的光明前景。
(四)素数分布动态：概率，百分比，频率曲线，树枝形态规则素数在自然数中分布状况，在十进制习惯看来很不自然，并且极不规则，不均匀。
总趋势好像越来越稀，有的说这样下去到∞，是不是会到顶了？是不是到底了？其实换位思考站在六进制角度观念就清楚明白了，铁路规则双轨数，树枝形态规则能说明无穷无尽无限的素数分布趋向走势问题。
1、素数概率，百分比素数分布状态:下面以1000为例，每50个序号划为一区段。
①原始素数序号：0号原始素数0号1，2，3，计3个不作描绘。
②以下是普通素数分布个数数据:序号:1∽50阳：7，13，19，31，37，43计6个阴：5，11，17，23，29，41，47计7个总计：13个百分比：0.26序号：51∽100阳：61，67，73，79，97计5个阴：53，59，71，83，89计5个总计：10个百分比：0.2序号101∽150阳103，109，127，139计4个阴101，107，113，131，137，149计6个总计：10个百分比：0.2序号151∽200阳：151，157，163，181，193，199计6个阴：167，173，179，191，197计5个总计：11个百分比：0.22序号201∽250阳：211，223，229，241计4个阴：227，233，239计3个总计：7个百分比：0.14序号251∽300阳：271，277，283计3个阴：251，257，263，269，281，293计6个总计：9个百分比：0.18序号301∽350阳：307，313，331，337，349计5个阴：311，317，347计3个总计：8个百分比：0.16序号351∽400阳：367，373，379，397计4个阴：353，359，383，389计4个总计:8个百分比：0.16序号401∽450阳:409，421，433，439计4个阴:401，419，431，443，449计5个总计:9个百分比:0.18序号451∽500阳:457，463，487，499计4个阴:461，467，479，491计4个总计:8个百分比:0.16序号501∽550阳:523，541，547计3个阴:503，509，521计3个总计:6个百分比:0.12序号:551∽600阳:571577计2个阴:557，563，569，587。
593，599计6个总计:8个百分比:0.12序号601∽650阳:601，607，613，619，631，643计6个阴:617，641，647计3个总计:9个百分比:0.18序号651∽700阳:661，673，691计3个阴:653，659，677，683计4个总计:7个百分比:0.14序号701∽750阳:709，727，733，739计4个阴:701，719，743计3个总计:7个百分比:0.14序号751∽800阳:751，757，769，787计4个阴:761，773，797计3个总计:7个百分比:0.14序号801∽850阳:811，823，829计3个阴:809，821，827，839计4个总计:7个百分比:0.14序号851∽900阳:853，859，877，883计4个阴:857，863，881，887计4个总计:8个百分比:0.16序号901∽950阳:907，919，937计3个阴:911，929，941，947计4个总计:7个百分比:0.14序号951∽1000阳:967，991，997计3个阴:953，971，977，983计4个总计:7个百分比:0.14共计:3+86+80=169个2、素数分布频率曲线素数分布曲线呈现波浪振蕩，缓慢平滑趋向下坡，如果数据实验越大越明显。
频率曲线永远不会相交，永远不会等于0。
3、树枝形态规则铁路规则双轨数交叉相乘，就是十字街规则复合“积”合数共计四种:阳X阳，阴X阴，得到阳复合“积”合数。
阴X阳，阳X阴，得到阴复合“积”合数。
这两种复合数统称合数“积”的形态模式。
图中交叉点数字就是复合数。
图中X，y轴就是双轨数数列。
数论基础原理:阴、阳奇数双轨数二个数列筛除十字街四种复合“积”数就是全体素数。
这就是素数分布树枝形态规则，以平方线为树干，相同值为树枝，转換45度象雪松形状而命名的，与《科学美国人》的素数螺旋对比一下，它的视觉反应是素数分布杂乱无章现象展示无规律，而本图是揭示素数分布规律深层次实质性內涵有科学规则，是素数分布级数筛法突破性解析关键不同点。
本图形象地揭示复合“积”与双轨数关系的十字街规则內涵:①自然数无限则双轨数无限，复合“积”合数就无限，筛选出来的素数就无限、无穷大。
②本图呈现无限发散模式，随着自然数无限发展产生无穷双轨数，再由双轨数产生无穷复合“积”合数与素数。
所以素数分布永远不会等于0，不会到顶！不会到底！无极限！这是新理念，新常态，新创造，新突破！素数分布规则论述告一段落，由于本人水平有限，只能尽力把此突破性理论阐述清楚明白，做到极致，不弄虚作假，不搞伪科学，不使用模棱两可词汇描绘，学术问题来不得半点虚假，不糊弄世人。
外国人只要转換一下观念，同样能理解阴阳学说。
人有男女也如此，纯数学数字有阴阳也如此！希望全世界数学界专业学术人士来评论、完善这个突破性解答，形成素数系统专业研究正规确认教材，推广发行，造福全人类，这是我的“中国梦”。
共同分享科学理论知识，传播正能量。
以后将介绍研究素数组合规则。
著名世界数学难题——素数之谜《哥德巴赫猜想》究竟是怎么回事？偶数1+1，奇数1+1+1，谜底是什么？为什么到1+2就停止了？……请等候看拙作的另辟蹊径，別开生面，与众不同的突破性解析、证明！作者: 中国数论研究者:江西景德镇乐平林登发 (经济师)邮箱:2208831455@qq. com2015.7.8。