Chp7：非参数估计(精)
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中国电信计费帐务系统2.0规范之：接口—CHP7
第七部分本地电信业务计费帐务系统接口设计目录1概述 (4)1.1目标 (4)1.2接口的处理原则 (4)1.3接口的处理范围 (5)1.4接口的实现方式 (5)2与省集中计费结算中心的接口 (6)2.1目标 (6)2.2接口的处理流程 (7)3与省智能网管理系统的接口 (18)4与省数据业务管理系统的接口 (19)5与“九七”营业系统的接口 (19)5.1定义 (19)5.2目标 (20)5.3接口的处理流程 (20)6与1000号客户服务系统的接口 (28)6.1定义 (28)6.2目标 (28)6.3接口的处理流程 (28)7与IC卡管理系统的接口 (35)8与经营分析系统的接口 (35)9与商企客户/大客户管理系统的接口 (35)10与170系统的接口 (35)10.1定义 (35)10.2目标 (36)10.3接口的处理流程 (36)11与180系统的接口 (41)11.1定义 (41)11.2目标 (42)11.3接口的处理流程 (42)12与112系统的接口 (43)12.1定义 (43)12.2目标 (44)12.3接口的处理流程 (44)13与113系统的接口 (45)13.1定义 (45)13.2目标 (46)13.3接口的处理流程 (46)14与纵向联网系统的接口 (46)15与金融系统的接口 (46)15.1定义 (46)15.2目标 (47)15.3接口的数据内容 (47)15.4接口的数据格式 (47)15.5接口的实现 (48)16与其它运营商代收帐目的接口 (49)16.1定义 (49)16.2目标 (49)16.3接口的处理流程 (49)17参考资料 (52)附录1 (53)1概述本处定义的接口为本地电信业务计费帐务系统（简称：本地计费帐务系统）与其它与本地计费帐务系统相关的系统（包括设备系统和应用系统）进行数据交换的逻辑层面。
（由于本文编写时对新的营业系统还没有明确的称谓，为方便起见，对新、旧营业系统仍然统一按照“九七”系统标识说明。
七章节非参数统计
检验环节
1.拟定配对样本，分别计算差别正与负旳数目，无差 别则记为0，将它从样本中剔除，并相应地降低样本容 量n，把正负号数目之和视为样本总个数(n) 。
2.
H0： p=0.5 ； H1：p≠0.5
3.观察样本容量，假如n≤25，则作为二项分布处理
假如n＞25，则作为正态近似处理。
Z
ˆ P 0.5
计算检验统计量
2 k ( foi fei )2
i 1
f ei
抽样并对样本资料编成频 数分布，形成k个互斥旳类 型组。 （f0）
以“原假设H0为真”导出 一组期望频数（fe）
比较χ2值与临界值 作出检验判断
2
2 （k 1m)
自由度（df）＝k-1-m。
其中k为组数。（各组理论频数不得不大于5，如不足5 ，可合并相邻旳组，如需合并，则k为合并后旳组数）
拒绝域 现检验统计量（-）=3 （即3个负号），0.073＞0.05 所以，原假设H0：P=0.5在5%明显性水平上不能被 拒绝。也即不能以为职员在观看影片前后旳认识有 明显提升。
例2：随机抽取60名消费者对甲、乙两种品牌旳饮料评 分，甲 、乙得分之差为“+”号者35个，“-”号15 个，“0”号10个 。以明显性水平α=0.05检验两种饮料是否同等受欢迎。 解：H0：P=0.5， H1：P≠0.5
检验环节 将样本数据配对并计算各对正负差值
将差数取绝对值按从小到大顺序排列并编上等级， 即拟定顺序号1、2、3等。对于相等旳值，则取其位 序旳平均数为等级
建立假设：H0：T+= T- ； H1 ： T+ ≠T-(双侧) H1 ：T+＞T-或T+＜T-(单侧)
计算检验统计量: 当n>25时 Z T n(n 1) / 4
CDF
简记为 L ( x)
经验影响函数为 ˆ + ed - T (F ˆ) T轾 1 e F ( ) n x n 犏 臌 ˆ L ( x) = lim e® 0 e
21
影响函数的性质
令 T (F ) = ò r ( x)dF ( x) 为一个线性函数， 则 1. ì ï ï L ( x ) = r ( x )- T ( F ) í ˆ ˆ) ï L ( x ) = r ( x )- T ( F n ï ï î
(
n i= 1
ˆ (x) xdF n Xi ÷ ÷ ÷
2
)
2
骣 1 1 2 ç = 邋X i - ç ç n i= 1 n 桫
2 1 n = å (Xi - X n) n i= 1
注意：与样本方差稍有不同。 该估计不是无偏估计
1 S = Xi - X n ) ( å n - 1 i= 1
2 n n 2
可根据下面的步骤构造F的1-α置信区间。
9
EDF置信区间
定义
{ } µ ( x ) + e ,1} U ( x ) = min {F
µn ( x )- e ,0 L ( x ) = max F n
n n
其中
en =
骣 1 2 ÷ log ç ÷ ç ç 桫 2n a÷
则对任意F和所有x
P ( L ( x ) ＃F ( x ) U ( x ), for all x ) ? 1 a
( )
例如：均值
ò xdF ( x) $ = xd F µ ( x) = m ò
m=
n
1 n X n = å Xi n i= 1
Ch7 参数估计(精)
iid
iid
^
试求 ˆ L和
2 ˆ L.
ˆL . 例 设X 1 , , X n ~ U (a , b ), 试求a ˆ L和 b
iid
Stop
极大似然估计有性质： ˆ 1 ,, ˆ m )是(1 ,, m )的极大似然估计 , 若( 而 g(1 ,, m )具有单值反函数 . 则 ˆ 1 , , ˆ m )是g (1 ,, m )的极大似然估计 , g( ˆ 1 , , ˆm). ˆg ˆ (1 ,, m ) g ( 即
(1) 1， 2未知
令 F
2 S1 2 S2 2 1 2 2
~ F (n1 1, n2 1)
n1 n2 1 1 2 2 2 2 其中S1 ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 n1 1 i 1 n2 1 i 1 i
可得
2 1
2 2 2 S2 S1 S2 ( , ) F / 2 ( n1 1, n2 1） F1-/2 ( n1 1, n2 1)
ˆ 1 ,, ˆ m ) max L(1 , , m ). L( L L
j
L
Stop
例 设X 1 , , X n ~ P ( ), 0,试求 L 例 设X 1 , , X n ~ N ( , 2 ), , 0,
Stop
2. 单正态总体方差的置信区间
设X 1， ， X n ~ N (， 2 ) ，给定x1， ， xn， 2 求出（或 ）的置信区间。 (1) 未知 2 ( n 1) S 2 2 令 ~ ( n 1) 2 即得 2的置信度为1- 的置信区间为
iid
( n - 1)s ( 2 , /2 ( n 1)
iid
^
试求 ˆ L和
2 ˆ L.
ˆL . 例 设X 1 , , X n ~ U (a , b ), 试求a ˆ L和 b
iid
Stop
极大似然估计有性质： ˆ 1 ,, ˆ m )是(1 ,, m )的极大似然估计 , 若( 而 g(1 ,, m )具有单值反函数 . 则 ˆ 1 , , ˆ m )是g (1 ,, m )的极大似然估计 , g( ˆ 1 , , ˆm). ˆg ˆ (1 ,, m ) g ( 即
(1) 1， 2未知
令 F
2 S1 2 S2 2 1 2 2
~ F (n1 1, n2 1)
n1 n2 1 1 2 2 2 2 其中S1 ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 n1 1 i 1 n2 1 i 1 i
可得
2 1
2 2 2 S2 S1 S2 ( , ) F / 2 ( n1 1, n2 1） F1-/2 ( n1 1, n2 1)
ˆ 1 ,, ˆ m ) max L(1 , , m ). L( L L
j
L
Stop
例 设X 1 , , X n ~ P ( ), 0,试求 L 例 设X 1 , , X n ~ N ( , 2 ), , 0,
Stop
2. 单正态总体方差的置信区间
设X 1， ， X n ~ N (， 2 ) ，给定x1， ， xn， 2 求出（或 ）的置信区间。 (1) 未知 2 ( n 1) S 2 2 令 ~ ( n 1) 2 即得 2的置信度为1- 的置信区间为
iid
( n - 1)s ( 2 , /2 ( n 1)
(6)概率密度函数的非参数估计
解：选正态窗函数
(u )
(u ) (
1 exp( u 2) 2 2
| x xi | hN ) 1 | x xi | )] exp[ ( 2 hN 2 1
2
1
∵x是一维的
V N
VN hN h1 , 其中选 h1 0.5 6，N 6 N
个近邻)
注意事项: 1) kN不要增长太快,以使随N的增加捕获kN个样本的体
积VN不致于缩小到0
2)
k1的选取要使 kN ≥1
使PN(x)收敛于P(x)的充分必要条件：
lim ① N K N ，N与KN同向变化
②
N
lim
KN 0 N
，KN的变化远小于N的变化
N N 1 P( x) V 1 KN N KN N ③当 K N ＝ N时，V N PN ( x) P( x) P( x) N N
N1 P( x) V V k
只反映了p(x)的空间平均估计，而反映不出空 间的变化
② N固定,体积变小 当 V 0 时,
k=0时 P ( x )
k 0时 P ( x )
kkN 0 V NhomakorabeaN V
所以起伏比较大,噪声比较大,需要对V进行改进.
ˆ p( x )的收敛性讨论
理论上假设样本总数是无限的，可以利用极限的方法来 研究密度函数的估计。设：
则有:
P p( x )dx p( x ) V k ˆ ˆ ( x )dx p( x ) V ˆ P p N
V dx
V是区域 的体积.
ˆ p( x )
k
N V
非参数密度估计
非参数密度估计非参数密度估计是一种在概率论和统计学中非常重要的技术。
该技术旨在通过从样本数据中推断出其真实数据的概率密度函数，而无需在先验上做任何假设。
与参数化估计技术不同，非参数化技术仅使用可得到的数据，而不需要先假设数据的概率分布。
下面是关于非参数密度估计的一些步骤解析。
1. 理解非参数密度估计的概念在探讨非参数密度估计的各个方面之前，理解该方法的概念非常重要。
非参数密度估计旨在通过从已知数据集中推断出一个未知数据集的概率密度函数。
这种方法通常用于连续型和离散型数据的处理，特别是在数据量较大时使用较为广泛。
2. 特征评估为了进行非参数密度估计，首先需要评估样本数据的一些特征。
这些特征包括样本的平均值、方差、分布形状和分布密度等。
这些特征可以用来确定所需的估计方法的类型以及确定最佳估计量的标准。
3. 创建直方图在进行非参数密度估计时，首先需要创建一个直方图，以了解样本数据的分布形状以及密度。
直方图通过将样本数据分成若干等宽的区间，并计算每个区间中数据的数量来展现数据的分布情况。
在这种情况下，每个区间的高度表示该区间中数据的数量。
4. 核密度估计核密度估计是一种最广泛使用的非参数密度估计技术。
这种方法通过在每个数据点附近放置核心函数，并将它们相加来计算概率密度函数。
核心函数通常采用高斯分布，其平均值为所估计的数据点，方差由样本数据确定。
5. 交叉验证交叉验证是一种可以判断估计量性能优劣的方法。
该方法利用将数据集分成训练集和测试集来评估方法的泛化能力。
如果对测试数据的预测能力很强，那么我们可以确定该方法可以在其他未见数据上得到可靠的效果。
综上所述，非参数密度估计是一种有用的统计分析技术，其主要用途是从样本数据中推断出概率密度函数而无需考虑预先设定的概率分布。
然而，在应用该技术时，必须考虑到数据的特征，创建直方图，应用核密度估计，以及使用交叉验证来评估所用方法的效果。
非参数估计(完整)PPT演示课件
P p xdx p xV R
Pˆ k N
pˆ x k / N
V
对p(x) 在小区域内的平均值的估计
9
概率密度估计
当样本数量N固定时，体积V的大小对估计的 效果影响很大。
过大则平滑过多，不够精确； 过小则可能导致在此区域内无样本点，k=0。
此方法的有效性取决于样本数量的多少，以 及区域体积选择的合适。
11
概率密度估计
理论结果：
设有一系列包含x 的区域R1，R2，…,Rn,…，对 R1采用1个样本进行估计，对R2用2 个，…， Rn 包含kn个样本。Vn为Rn的体积。
pn
x
kn / N Vn
为p(x)的第n次估计
12
概率密度估计
如果要求 pn x 能够收敛到p(x)，那么必须满足：
分布，而不必假设密度函数的形式已知。
2
主要内容
概率密度估计 Parzen窗估计 k-NN估计 最近邻分类器（NN） k-近邻分类器（k-NN）
3
概率密度估计
概率密度估计问题：
给定i.i.d.样本集： X x1, x2 , , xl
估计概率分布： p x
4
概率密度估计
10.0
h1 0.25
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 2 0 2
h1 1 2 0 2
h1 4 2 0 2 27
由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 ①当N＝1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正
贝叶斯 参数估计 和 非参数估计
贝叶斯参数估计和非参数估计下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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总体分布的非参数估计
神经网络方法
核函数方法
核函数方法估计的目的
从样本集 X x1, x2 ,xN 出发，估计样本空间中任何一点 的概率密度 p ( x) 基本方法
用某种核函数表示某一样本对待估计密度函数的贡献， 所有样本所作贡献的线性组合视作对某点概率密度p(x) 的 估计
ˆ N ( x) ( x xi ) p
，窗口为一线段 d 2 ，窗口为一平面 d 1 ，窗口为一立方体 d 3 ，窗口为一超立方体 d 3
Parzen窗口估计
( x) 是以点X为中心的超立方体
在 xi 落入方窗时，则有
hN x x i 2 x x hN i 2
在 VN 内为1 在 VN 内为0
密度估计
为此，设 p( x) 连续，并且区域R足够小，以致使 p( x) 在 这么小的区域中没有什么变化，则可得
ˆ P ˆ ( x)dx P ˆ ( x) V k P R N
其中， V dx 是R包围的体积 R
k ˆ ˆ P( x) V P N
ˆ ( x) N 故概率密度的估计：P V
x xi hN / 2 1 ( ) 1 h h 2 N N
落入 VN 的样本数为 K N (
i 1
N
x xi hN
)
K /N 1 故此，密度估计 PN ( x) N VN N
x xi 1 ( ) V h i 1 N N
N
1 1 h exp[ u 2 ], hN 1 2 2 N
i 1
x xi N 1 ( ) h1 hN h1 N
i 1
非参数估计(完整)ppt课件
1 1 u 1 , ,d j , j u 2 0 o th e r w is e
中心在原点的 单位超立方体
Parzen窗估计
落入以X为中心的立方体区域的样本数为：
x xi kn i 1 hn X处的密度估计为：
n
n k / n x x 1 1 n i ˆ p x n V n n V i 1 n h n
估计P(x|ω1)即PN(x) x6 0 1 2 x5 x3 x1 x2 3 4
1
x4 5 6
x
( u ) 解：选正态窗函数
12 exp( u ) 2 2
2
| x | | x | 1 1 x x i i ( ) ( u ) ( ) exp[ ] 2 2h h N N
P k 的期望值为： Ek N
对P的估计：
k ˆ P N
当 N 时， 估计是非 常精确的
概率密度估计
假设p(x)是连续的，且R足够小使得p(x)在R内几乎 没有变化。
令R是包含样本点x的一个区域，其体积为V，设有 N个训练样本，其中有k落在区域R中，则可对概率 密度作出一个估计： k ˆ P p x d x p x V P N R
可以验证： p ˆn x 0
ˆ x x1 d p
n
窗函数的要求
Parzen窗估计过程是一个内插过程，样本xi
距离x越近，对概率密度估计的贡献越大，越 远贡献越小。 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
u 0
u 1 u d
窗函数的形式
方窗函数
1 1, | u | (u ) 2 0.其他
中心在原点的 单位超立方体
Parzen窗估计
落入以X为中心的立方体区域的样本数为：
x xi kn i 1 hn X处的密度估计为：
n
n k / n x x 1 1 n i ˆ p x n V n n V i 1 n h n
估计P(x|ω1)即PN(x) x6 0 1 2 x5 x3 x1 x2 3 4
1
x4 5 6
x
( u ) 解：选正态窗函数
12 exp( u ) 2 2
2
| x | | x | 1 1 x x i i ( ) ( u ) ( ) exp[ ] 2 2h h N N
P k 的期望值为： Ek N
对P的估计：
k ˆ P N
当 N 时， 估计是非 常精确的
概率密度估计
假设p(x)是连续的，且R足够小使得p(x)在R内几乎 没有变化。
令R是包含样本点x的一个区域，其体积为V，设有 N个训练样本，其中有k落在区域R中，则可对概率 密度作出一个估计： k ˆ P p x d x p x V P N R
可以验证： p ˆn x 0
ˆ x x1 d p
n
窗函数的要求
Parzen窗估计过程是一个内插过程，样本xi
距离x越近，对概率密度估计的贡献越大，越 远贡献越小。 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
u 0
u 1 u d
窗函数的形式
方窗函数
1 1, | u | (u ) 2 0.其他
第27章非参数与半参数估计
区 间 半 径 h 定 义 了 “ 在 x0 附 近 邻 域 的 大 小 ” ，称为“带宽” (bandwidth)。 2h 称为“窗宽”(window width)。
5
直方图得不到光滑的密度估计，根本原因在于使用示性函数作 为“权重函数”(weighting function)，以及各组间不允许交叠。 核密度估计法使用更一般的权重函数，并允许各组之间交叠。 核密度估计量为
35 (1 z 2 )3 1( z 1) 32 70 3 (1 z )3 1( z 1) 81
2.3122 — 0.7764
1 exp z 2 2 2
注：其中 为用来计算“Silverman 嵌入估计”的常数。 给定核函数 K () 与带宽 h ，可估计核密度 fˆ ( x0 ) 。在 Stata 中，默 认设置为在等距离的 min(n, 50) 个点来计算 fˆ ( x0 ) ，然后连成光滑的 密度函数。
最优带宽 h* 还取决于密度函数的曲率( f ( x0 ) )。 当密度函数波动较大时，将带来较大偏差，故最优带宽 h* 较小。 由于 依赖于核函数，故最优带宽 h* 也依赖于核函数。 对于不同的核函数分别使用相应的最优带宽，则积分均方误差 IMSE(h* ) 差别不大。
20
能 使 IMSE(h* ) 最 小 化 的 核 函 数 为 “ 伊 番 科 尼 可 夫 核 ” (Epanechnikov)，是 Stata 默认的核函数，但只有微弱优势。 对于最优带宽的选择远比核函数的选择更重要。使用不同核函 数得到的密度估计一般非常接近。 最 优 带 宽 h* 仍 依 赖 于 f ( x0 ) 。 如 果 样 本 来 自 正 态 总 体 ， 则
2
27.2 对密度函数的非参数估计 考虑根据样本数据来推断总体的分布，即密度函数。 如用参数估计法，则先对总体分布的具体形式进行假定。 比如，假设总体服从正态分布 N ( , 2 ) ，然后估计参数 ( பைடு நூலகம் , 2 ) 。 如果真实总体与正态分布相去甚远，则统计推断有较大偏差。 如不假设总体分布的具体形式，则为非参数方法。 最原始的非参数方法是画直方图，即将数据的取值范围等分为 若干组，计算数据落入每组的频率，以此画图，作为对密度函数 的估计。
Teaching Materials of Analog Circuits - chp (7)
circuit would necessitate a large chip area. Also, the
resistor biasing uses coupling and bypass capacitors
§6.1 Current Sources Circuits and its Application
on-chip applications. In general, these op-amps are
designed to drive other CMOS circuits, which form high capacitive loads.
§6.0 Preview
一、Characteristics Of Analog IC
used for discrete circuits,it is not suitable for integrated
circuits. Resistors require relatively large areas on an
IC compared to transistors; therefore, a resistor-intensive
§6.0 Preview
The 741 is an example of an all-bipolar general-
purpose op-amp.Even though this op-amp is considered
classic, it still provides a good case study in which we perform a detailed analysis to dertimine both the dc and the small signal characteristics of the circuit. All-CMOS Op-amps can be designed for special
resistor biasing uses coupling and bypass capacitors
§6.1 Current Sources Circuits and its Application
on-chip applications. In general, these op-amps are
designed to drive other CMOS circuits, which form high capacitive loads.
§6.0 Preview
一、Characteristics Of Analog IC
used for discrete circuits,it is not suitable for integrated
circuits. Resistors require relatively large areas on an
IC compared to transistors; therefore, a resistor-intensive
§6.0 Preview
The 741 is an example of an all-bipolar general-
purpose op-amp.Even though this op-amp is considered
classic, it still provides a good case study in which we perform a detailed analysis to dertimine both the dc and the small signal characteristics of the circuit. All-CMOS Op-amps can be designed for special
模式识别-非参数估计ppt课件
vn hn
d
Rn
h ． n
x
vn
Applied Pattern Recognition CSE616
17
Parzen窗口法
• 可以证明，满足前述三个条件的等效条件为：
vn 0 • lim n
• limnv n
n
Applied Pattern Recognition CSE616
n
• 将样本归类到
p (X ) P ( n j) 最大的类别中去
Applied Pattern Recognition CSE616
33
Kn近邻法
• Parzen窗口法的估计效果取决于样本总数n及 h ，当n
1
较小时，对 h1 较为敏感，即 ：
h 较 大 容 易 产 生 平 均 性 误 差 1 h 较 小 则 容 易 产 生 噪 声 性 误 差 1
一 维 二 维 其中：v为包含X点的区域 三 维 四 维
Applied Pattern Recognition CSE616
7
非参数估计
K为n个样本中落入体积v的样本数。
故：
k/n p(X) v
表示单位体积内落入x点邻域的样本在总样本中的比例， 可以此来近似样本在X点处的类概率密度值。
Applied Pattern Recognition CSE616
10
非参数估计
Applied Pattern Recognition CSE616
11
非参数估计
• 问题二
• 若样本数n固定， 则当
含任何样本，得出
v 0 时，则会出现x邻域内不包
p (X )0
的错误估计
非参数估计
第p分位数：T (F ) = F−1 ( p) T (F )的估计为 Fˆn−1 ( p)
由于 Fˆn 不可逆，为避免歧义，定义
{ } Fˆn−1 ( p) = inf x : Fˆn (x) ≥ p
Fˆn−1 ( p) 称为样本分位数。
Statistical Inference 7-17
义为
LF
(x)
=
lim
ε→0
T
⎣⎡(1−
ε)
F
+ ε
εδ x
⎤⎦
−T
(F
)
=
lim
ε→0
T
(
Fε
)−T
ε
(
F
)
其中δx 为x处的一个Delta函数，X ~ Fε为F和点x的混合体
X ~ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Fx
概率为1- ε 概率为 ε
影 。 的响 影 方函 响 差数 函 有形 数 关式 越 ）同 大导 ，数 当F相变同成，F表ε 时示，统T计(F函)变数化T 越(F大)的（变与化估率计 Statistical Inference 7-20
Statistical Inference 7-8
EDF的置信区间
Glivenko-Cantelli 定理 如果 X1,...X n ~ F ，则
sup Fˆn (x)− F (x) ⎯P⎯→ 0
x
Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (DKW)不等式 如果 X1,...X n ~ F ，则对任意 ε > 0
函数，在有样本时跳 1/n 。
Statistical Inference 7-6
1
Fˆn (x)是F的一个很好估计？
由于 Fˆn 不可逆，为避免歧义，定义
{ } Fˆn−1 ( p) = inf x : Fˆn (x) ≥ p
Fˆn−1 ( p) 称为样本分位数。
Statistical Inference 7-17
义为
LF
(x)
=
lim
ε→0
T
⎣⎡(1−
ε)
F
+ ε
εδ x
⎤⎦
−T
(F
)
=
lim
ε→0
T
(
Fε
)−T
ε
(
F
)
其中δx 为x处的一个Delta函数，X ~ Fε为F和点x的混合体
X ~ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Fx
概率为1- ε 概率为 ε
影 。 的响 影 方函 响 差数 函 有形 数 关式 越 ）同 大导 ，数 当F相变同成，F表ε 时示，统T计(F函)变数化T 越(F大)的（变与化估率计 Statistical Inference 7-20
Statistical Inference 7-8
EDF的置信区间
Glivenko-Cantelli 定理 如果 X1,...X n ~ F ，则
sup Fˆn (x)− F (x) ⎯P⎯→ 0
x
Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (DKW)不等式 如果 X1,...X n ~ F ，则对任意 ε > 0
函数，在有样本时跳 1/n 。
Statistical Inference 7-6
1
Fˆn (x)是F的一个很好估计？
非参数密度估计和函数估计
h=
4 nσK
K 2 (x)dx [f (x)]2 dx
1 /5
,
(7.6)
但该结果用处并不很大, 因为它依赖于未知密度 f . 注意最优带宽有 h = O(n−1/5 ) , 这种情况 下 MISE = O(n−4/5 ). 该结果显示了随着样本量的增加带宽缩小的速度, 但对给定的数据集 来说它并未指明带宽具体取多少对密度估计是合适的. 下面给出出几种带宽选择策略. 在实 际应用中, 它们的表现随着 f 的性质以及观测数据的不同也有所不同, 通常没有一个绝对最 好的方法. 拇指法则: 简便起见, 我们定义 R(g ) =
fH (x) = 1 n
n i=1
1 K (H−1 (x − xi )). |H|
我们一般都会采用简单的带宽阵或K (·), 比如H = diag{h1 , . . . , hd }.
fH (x) = 1 nh1 · · · hd
n d
Kj
i=1 j =1
xj − xij hj
.
精确地来讲, (7.2) 的估计量称为固定带宽核密度估计, 因为 h 是常数. 上世纪90年代中 期, 有学者亦指出, 如果 h 依 i 而变化, 即所谓的 variable bandwidth, 则有一些很好的性质, 但我们这里不对这种方法给予详细的讨论, 有兴趣的同学可参见著作 Fan and Gijbels (1996). 带宽值的选择对估计量 fh 有很大的影响. 如果 h 太小, 那么密度估计偏向于把概率密度分配 得太局限于观测数据附近, 致使估计密度函数有很多错误的峰值. 如果 h 太大, 那么密度估计 就把概率密度贡献散得太开. 在很大的邻域里求平均会光滑掉 f 的一些重要特征的. 下面一 节讨论如何选取 h.
4 nσK
K 2 (x)dx [f (x)]2 dx
1 /5
,
(7.6)
但该结果用处并不很大, 因为它依赖于未知密度 f . 注意最优带宽有 h = O(n−1/5 ) , 这种情况 下 MISE = O(n−4/5 ). 该结果显示了随着样本量的增加带宽缩小的速度, 但对给定的数据集 来说它并未指明带宽具体取多少对密度估计是合适的. 下面给出出几种带宽选择策略. 在实 际应用中, 它们的表现随着 f 的性质以及观测数据的不同也有所不同, 通常没有一个绝对最 好的方法. 拇指法则: 简便起见, 我们定义 R(g ) =
fH (x) = 1 n
n i=1
1 K (H−1 (x − xi )). |H|
我们一般都会采用简单的带宽阵或K (·), 比如H = diag{h1 , . . . , hd }.
fH (x) = 1 nh1 · · · hd
n d
Kj
i=1 j =1
xj − xij hj
.
精确地来讲, (7.2) 的估计量称为固定带宽核密度估计, 因为 h 是常数. 上世纪90年代中 期, 有学者亦指出, 如果 h 依 i 而变化, 即所谓的 variable bandwidth, 则有一些很好的性质, 但我们这里不对这种方法给予详细的讨论, 有兴趣的同学可参见著作 Fan and Gijbels (1996). 带宽值的选择对估计量 fh 有很大的影响. 如果 h 太小, 那么密度估计偏向于把概率密度分配 得太局限于观测数据附近, 致使估计密度函数有很多错误的峰值. 如果 h 太大, 那么密度估计 就把概率密度贡献散得太开. 在很大的邻域里求平均会光滑掉 f 的一些重要特征的. 下面一 节讨论如何选取 h.
第3章概率密度函数的估计非参数估计
密度的第N次估计：
pˆ N
(x)
kN / N VN
总体分布的非参数估计
p(x)估计值的收敛性讨论
若p^N(x)收敛于p(x)应满足三个条件：
lim V N 0
N
lim
N
kN
lim k N 0 N N
总体分布的非参数估计
两种非参数估计方法
Parzen窗口估计
若hN选太大，则PN(x)估计较平坦，反映不出 总体分布的变化
kN近邻法的思想
体积是数据的函数，而不是样本数N的函数
根据KN选择hN KN是N的函数
kN近邻估计
kN对估计结果的影响
导数不连续
kN近邻估计
K=5
P
P R p(x)dx Prx R
R
p(x)是要求的x的概率密度
概率P是p(x)在区域R上平滑或平均后得到的概率
我们可以通过估计P来估计p(x)的平滑值
总体分布的非参数估计
估计概率P
假 分设 布有 的，N个概样率本密X度=(函x1数, x2是,…p(xxN)。)T都是独立同
需要计算^p(x|ωi)的每个点的值 方法
① 用样本直接去估计类概率密度p(x|ωi)以此来设 计分类器, 如窗口估计
② 用学习样本直接估计后验概率p(ωi|x)作为分类 准则来设计分类器如k近邻法. 本章只考虑第一种方法
总体分布的非参数估计
概率密度函数估计的基本思想
一个随机变量x落在区域R的概率为P
k N
总体分布的非参数估计
估计概率p(x)
密度p(x)的估计:
k pˆ (x) N
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ˆ ( x)是F的一个很好估计？ F n
ˆ ( x) 是一个随机变量：nF ˆ x 服从二项 给定x，F n n 分布 Binomial n, F x
Y I X x ~ Bernoulli F x P Y 1 P X x F x P Y 0 P X x 1 F x
Chp7：非参数估计
CDF估计
点估计 区间估计 点估计 区间估计
统计函数估计
1
Chp7：非参数估计
一个非参数模型的例子：
F SOB =
( x )) dx < ? } {f : ò ( f ⅱ
2
“非参数”并不意味着没有参数，而是指模型不 能参数化（有无限个参数）。
2
非参数化方法
均值： m = ò xdF ( x) 2 2 方差： s = ò ( x - m) dF ( x) 中值： m = F - 1 (1 2)
统计函数的估计：嵌入式估计量(Plug-in Estimator) ˆ = T (F ˆ) q = T ( F )的嵌入式估计量为 q n n ˆ 代替未知的F 插入 F n
Y ~ Bernoulli p P Y 1 p P Y 0 1 p
ˆ x ~ Binomial n, F x 所以 Yi I X i x nF n
ˆ x F n
I X
i 1
n
i= 1
wi ( x) =
å
K h ( x, xi )
x - xi ÷ 1 骣 ç , K h ( x, xi ) = K ç ÷ ç h 桫h ÷
i= 1
常用核函数 K (t ) :
4
CDF估计和统计函数估计
回到最基本状态，无需任何假设
5
(Empirical Distribution Function， EDF)
(
n i= 1
ˆ (x) xdF n Xi ÷ ÷ ÷
2
)
2
骣 1 1 2 ç = 邋X i - ç ç n i= 1 n 桫
1 n = å (Xi - X n) n i= 1
注意：与样本方差稍有不同。 该估计不是无偏估计
1 S = Xi - X n ) ( å n - 1 i= 1
2 n n 2
所以 ( L ( x ),U ( x )) 为F的1- a非参数置信区间。
10
CDF估计举例
例7.2：神经纤维上相邻脉冲的相隔时间
时间t
95%的置信区间中的参数为： en =
骣2 ÷ 1 log ç = 0.048 11 ÷ ç ÷ ç 桫 2n 0.05
统计函数的估计
统计函数/统计泛函：F的任意函数
可根据下面的步骤构造F的1-α置信区间。
9
EDF置信区间
定义
{ } µ ( x ) + e ,1} U ( x ) = min {F
µn ( x )- e ,0 L ( x ) = max F n
n n
其中
en =
骣 1 2 ÷ log ç ÷ ç ç 桫 2n a÷
则对任意F和所有x
P ( L ( x ) ＃F ( x ) U ( x ), for all x ) ? 1 a
12
嵌入式估计量：线性函数
若对某个函数 r ( x) ，有 T (F ) = ò r ( x) dF ( x) ，则称 T为一个线性函数。 T为一个线性函数：T (aF + bG) = aT (F ) + bT (G ) 该函数的嵌入式估计量为
n 1 µn = r ( x) d F µn ( x ) = T F r (Xi ) å ò n i= 1
n
i
x
7
n
ˆ ( x) F n
是F的一个很好估计？
无偏估计
所以
ˆ ( x)) = F ( x) E (F n
ˆ ( x)) = V (F n MSE = n
F ( x)(1- F ( x))
? 0
F ( x)(1- F ( x))
n ˆ ( x) 揪P? F ( x) 一致估计 Þ F n
14
例：偏度
令m和 s 2分别表示随机变量X的均值和方差，偏度定义为：
E ( X - m) k= = 3 s
3
ò (x -
m) dF ( x )
2 3 2
3
(ò ( x - m) dF ( x))
(
$ Xi - m
表示分布偏离对称的程度。
经验分布函数
ˆ 定义为 令 X1 ,... X n ~ F 为IID，则经验分布函数 F n
ˆ x F n
I X
i 1
n
i
x
n
ì 1 Xi £ x ï ï í ï ï î 0 Xi > x
其中 I ( X i ? x)
称为指示函数（indicator function）。
ˆ ( x) 是基于排序好的样本数据的一个步长 F 注意： n 函数，在有样本时跳 1/n 。 6
? 0
8
EDF的置信区间
Glivenko-Cantelli 定理 如果 X 1 ,... X n ~ F ，则 ˆ ( x)- F ( x) 揪P? 0 sup F
x n
Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (DKW)不等式 如果 X 1 ,... X n ~ F ，则对任意 e > 0 骣 ˆ - 2 ne 2 ÷ Pç sup Fn ( x)- F ( x) > e÷ ? 2e ÷ ç 桫x
一些流行的非参数化方法：
直方图、核密度估计 (密度估计) 样条、小波回归 (回归) 核判别分析、最近邻、支持向量机SVM (分类)
3
非参数化方法
非参数模型有时亦称局部模型（local model）
如：核回归 n
ˆ ( x) = r
å
wi ( x )Yi , K h ( x, xi )
( )
例如：均值
ò xdF ( x) $ = xd F µ ( x) = m ò
m=
n
1 n X nபைடு நூலகம்= å Xi n i= 1
13
例：方差
方差： T (F ) = s = V ( X )=
2
x dF ( x )蝌
2
(
xdF ( x )
)
2
因此 sˆ =
2
ˆ ( x )x dF 蝌 n
2 n