武汉大学数学物理方法5_7留数奇点分类习题课

dx 2.∫ , 形式不合（ 5、 3、 13） 3 1+ x 0 1 , f ( z) = 3 1+ z 1 ⋅ e i π +32π 3 iπ =e z + 1 = 0 → z = 1 ⋅ e 1 ⋅ e i 53π
iπ 3
∞
0 d ( xe 1 1 ) dx + ∫ dz + ∫ 则∫ 3 3 i2 3 CR R 3π 1 + x 1 + z 1 + ( xe ) 0
3 z
1 1 ⋅ 5 z 1−
1 z5
1 ∞ 3 k ∞ 1 ( ) ⋅ ∑ 5 ( n +1) = ∑ z k=0 z n=0 z 1 3 9 1 1 = [ + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ][ 5 + 10 + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ] z z z z z ∴ resf ( ∞ ) = − C − 1 = 0 ∴
2 2
Q lim z k = ∞
z → kπ
∴ z = ∞ − 非孤立奇。
1 (5) lim z ⋅ sin = 不定值 z →0 z ∴ z = 0为本性奇。 sin 1 1 sin t z lim z ⋅ sin = lim 1 = lim =1 z →∞ t →0 z z →∞ z t ∴ z = ∞为奇
( 5 ) Q z = 0 , ∞ 均不为极点， ∴ 用展开求
∞ 1 ( − 1) k 1 z sin = z∑ ⋅ 2 k +1 z z k = 0 ( zk + 1 )! 1 1 1 = z[ − + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ] 3 z z! z 1 < | z |< ∞
∴ resf ( 0 ) = C − 1 = 0 , resf ( ∞ ) = 0
(3) res [ Γ ( z ), − n ] = lim [( z + n ) Γ ( z )]
z→ −n
( z + n ) Γ ( z + n + 1) = lim z → − n z ( z + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( z + n ) Γ (1) Γ (1) = = − n ( − n + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( − 1) ( − 1) n n! n 1 = ( − 1) n! cos z ( 4 ) res [ ctgz , kπ ] = | z = kπ = 1 sin' z
3、（计算函数）：求例（1）（ − 5）在孤立奇点处函数。 z z （1）res[ ,1] = lim( z − 1) ⋅ =1 z →1 z −1 z −1 z , ∞] = −1 res[ z −1 ∴∞为可去奇函数不一定为0。 ez − 1 d 2 e z − 1 多次用洛 1 （2）res[ 3 ,0] = [ z ⋅ 3 ]z =0 = sin z dz sin z α
1.P108.3(1) P114.3(1) dx I = ∫ 4 , 形式合 (5、 3、 13)， x −1 −∞ z=e
kπ i 24
∞
, (k = 0,1,2,3)
1 ⋅ e iθ = 1 i 0+42π =i 1 1 ⋅ e 4 f ( z ) = 4 , z − 1 = 0. z = i 0+ 4 π iπ 4 z −1 e e 1 ⋅ = = −1 6π 3π i i 4 2 e e 1 ⋅ = = −i
z
iz e iz res [ f ( z ) e ] z = 0 = 2 | =1 2 z =0 ( z + 1) 3π π 3 π ∴I = − + = [1 − ] 4e 2 2 2e 3 sin x 也不是 sin px 的类型。
R
i2 3π
= 2π iresf ( e ) 3 2π 3 Q 此时（ x ⋅ e 3 ） = x 幅角为 2π 整数信， 而围道内又只含一个奇 点。 ∞ 2 1 1 i 3π R → ∞ .(1 − e ) ∫ dx = 2π i 2 | i π 3 z =e 3 1 x 3 z + 0 2π i = i 2π 3e 3
z z z →∞ ∞ 如：（1） : 显然 z = 1为单极，而 = ,z = ∞? z −1 z −1 ∞ ez − 1 0 （2） 3 |z =0 = , z = 0 ? sin z 0 Γ ( z + 1) Γ ( z + 2) Γ ( z + n + 1) (3) Γ( z ) = = = , z z ( z + 1) z ( z + 1) ⋅ ⋅⋅ ( z + n ) z = − n → 单极 （4）ctgz |z =kπ = ∞, z = kπ ? z = ∞ ? (5) z sin 1 |z =0 , z = 0 ? z = ∞ ? z
∑ resf (b ) + resf (∞ ) = 0
k k
∴ 在计算函数之前必须先 判断奇点的类型，若 bk − 极点， 可直接利用极点留数计 算公式计算，若为其它 奇点，则 由留数定义计算。当然 若为非孤立奇，谈不上 留数。
1.如何判断奇点类型： 奇点即不解析之点，初等函数在其定义域内均解析。 ∞ 0 ∴ 我们通常是通过找函数的无定义之点， = ∞， = ， = 等等。 ∞ 0 至于奇点的类型，有些一眼即能看出，有些却不尽然。
| z |= 2
∫
4 1 dz = 2 π i ∑ resf ( z k ) 5 ( z − 3 )( z − 1) k =0
又 resf ( 3 ) +
∑
4
k =0
resf ( z k ) + resf ( ∞ ) = 0
1 1 1 resf ( 3 ) = lim ( z − 3 ) ⋅ = = 5 5 z→ 3 ( z − 3 )( z − 1 ) ( z − 1) 24 α 又在 3 < | z | < ∞ : 1 1 1 1 f (z) = ⋅ = 5 z − 3 ( z − 1) z 1−
I mg = 0 : 单极 z = ± 1 I mg > 0 : 单极 z = i z z ⋅ f (z) = 4 = z −1 1−
1 z3 1 z4
zΒιβλιοθήκη Baidu→ ∞0
3、 13) → ： ∴由(5、 I = 2πiresf (i ) + πi[resf (1) + resf (−1)] 1 1 1 resf (i ) = 4 | z =i = 3 | z = i = − ( z − 1)' 4z 4i 1 1 resf (1) = 3 |z =1 = , 4 4z 1 1 resf (−1) = 3 |z = −1 = − , 4z 4 π 1 ∴ I = 2πi ⋅ (− ) + 0 = − 4i 2
进而由（2）判断是几阶，用法二： e − 1 二次洛必达 Q lim z ⋅ 3 = ∞ z→0 sin z 2 z z ( e − 1) 二次洛必达 2 而 lim z f ( z ) = lim = 1 3 z→0 z→0 sin z 所 z = 0为二阶极点.
z
cos z cos z + sin z (4) lim ctgz = lim = lim =∞ 2 z → kπ z → kπ sin z z → kπ sin z ∴ z = kπ − 极点，试用法三求几阶 。 sin z Q g ( z) = , cos z 2 2 cos z + sin z |kπ = 1 ≠ 0 ∴ g (kπ ) = 0, g ' ( kπ ) = 2 sin z ∴ z k = kπ为单极
z 1 Q lim = lim = 1 如：对于（ 1）： z→∞ z − 1 z→∞ 1 z = 1为单极， ∴ z = ∞ 可去奇， 实际上是用法一。
e −1 e = lim =∞ (2) lim 3 2 z → 0 sin z z → 0 3sin z cos z ∴ z = 0为极点
z z
∫
1 − πi = 2π i ( − ) = 24 α | z |
三、计算实积分（ 119） P113
1 1 2π 1 3.I = ∫ dx = ∫ dx 2 2 0 a + sin x 4 0 a + sin x −1 2 z − z z −1 1 ix 令z = e , 则sin x = = , dx = dz 2i 2iz iz 1 1 1 ∴I = ∫ dz ( z 2 −1) 2 4 | z|=1 a + iz 2
判断奇点的步骤有二： ∞， b − 极 （1）先看 lim f ( z ) = ? 若 lim f ( z ) = 有限， b − 可去 z →b z →b 无限， b − 本性 ( 2)若 b为极点再判断为几阶， 方法又有三： ϕ ( z) f ( z) = m (3 − b) m 若 lim ( z − b) f ( z ) = 非0有限，则 b − m阶极 z →b 1 g ( z) = 以b为 m阶0点 f (z)
二、围道积分： 例： ∫ 1 dz 5 ( z − 3 )( z − 1 ) z = 3 − 阶， z = 1,
5
|z|= 2
(1 ) 被积函奇：
i
0 + 2 kπ z k = 1e , k = 0 ,1, 2 , 3 , 4 5 ( 2 ) 在 | z |< 2 : 只有 z k ( k = 0 , − 4 ) ∴
留数定理＋奇点分类习题课
本章内容小结：见书P119页 本章重点：如何用留数定理计算实积分。 为此需掌握以下三方面内容： 一、计算留数 二、（如何用留数理论）计算围道积分 三、（在以上基础上才谈得上如何用留数理论）计算 实定积分。 本次课将分这三大块来讨论分析习题。
一、计算留数
− C −1 C −1 resf( ∞ ) = 1 Q resf (bk ) = 1 f ( z ) dz f ( z ) dz ∫ ∫ 2πi l 2πi l k 1 d n −1 ⋅ n −1 [( z − bk ) n f ( z )] z = bk , bn − n阶数 特别： resf (bk ) = ! dz （ n − 1） lim ( z − bk ) f ( z ) z →bk = ϕ (bk ) ψ ' (b ) k
iπ 3
∞
1 2π i e i2 π 3 (同除 e ) dx = 3 ∫ i2 π 3 1 3 + x 1 − e 0 2π i − e π = = iπ π 3 e 3 − e − iπ 3 sin 3 2π = 3 3
− iπ
−i 2 π 3
3.P108.4(1) sin x dx, 形式同（ 5、 3、 16） I =∫ 2 2 x( x + 1) 0 1 f ( z) = 2 2 z( z + 1) 奇 : z = 0 − 单极，z = ±i − 二阶，但不在实轴， 在实轴上唯一的单极： z =0
π 2
( 2iz )
z dz =i ∫ 4 2 z − a z (1 + 2a) + 1 | z|=1
令z 4 − 2z 2 (1 + 2a) +1 = 0
2 a a + ± + −4 2 ( 1 ) 4 ( 1 2 ) α 2 = 1+ 2a ± 2 a2 + a 设z = 2
z = ± 1 + 2a ± 2 a2 + a − 单极 ∴奇点： 在 | z |< 1 内：z1,2 = ± 1 + 2a ± 2 a2 + a z 1 1 resf (z1) = 3 |z = z1 = 2 | z = z2 = 4z − 4z(1+ 2a) 4[ z − (1+ 2a)] − 8 a(a +1) 1 1 resf (z2 ) = 2 |z= z2 = 4[ z − (1+ 2a)] − 8 a(a +1) ∴I = i ⋅ 2πi[resf (z1 ) + resf ( z2 )] = π 2 a2 + a
∞
∴I =
∞
∫
0
sin x dx 2 2 x ( x + 1)
e iz e iz π = π res [ , i ] + res [ ,0 ] 2 2 2 2 z ( z + 1) z ( z + 1) 2 res [ f ( z ) e ] z = i
iz
d e 3 2 = [( z − i ) ] =− 2 2 z =i dz z ( z + 1) 4e