振动理论04(2)-单自由度系统受迫振动

振动理论(4-2)
第四章单自由度受迫振动
陈永强
北京大学力学系
●谐变化的力在谐位移上的功是●
运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹
阻尼振幅⏹
阻尼消耗的功=外力功
⏹
⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅
每周的能量
振幅外力阻尼力0A B C
共振时的放大因子
共振
另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为
瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解
例题
汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。

把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。

假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。

解：rad
具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅
的力
kg
cm
●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动
●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分
的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡
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运动平衡方程
sin
sin
这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅
tan
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进一步，可以写成如下的无量纲关系
tan
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转动失衡受迫振动幅频和相频特性
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●
前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡
⏹
不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹
这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内
⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出
转子失衡
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平衡机
一般来讲，比较长的转子，例如马达
的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽
车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系
列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程
度的失衡
⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平
衡机
⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检
测不平衡力
⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而
确定转子的不平衡量并进行修正
⏹这是一个二自由度问题：转子的平动
和转动是同时发生的
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●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。

常用的方式有
焊接、锡焊、铆接、拧螺钉、配加重块
⏹去重法：即在不平衡方向去处一定的重量。

常用的方式有
：镗削、钻孔、凿削、铣削、磨削等。

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●可以用动平衡的方法消除薄盘的失衡
●圆盘的支撑轴由弹簧约束，可以水平移动。

圆盘按预定速度转动时，标记其振幅和最大运动对应的轮上位置
⏹通过在轴上装置的加速度计和频闪仪完成
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⏹由于初始失衡导致的振幅按比例沿到绘于盘上
⏹在盘上加一个试配重, 由于初始失衡质量和新的配重
导致的新的振幅用向量表示，向量差即表示试配重的影响
⏹把的位置超前, 并把的大小调整为(), 向量
与向量大小相等、方向相反，将为零，从而轮盘平衡。

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例题一个薄圆盘架在弹性支承上。

当以逆时针旋转时，圆盘在距参考标记逆时针方向有最大振幅。

随后，把一个重的试配重加在距参考标记的边缘。

圆盘再次以的速度旋转，在距参考标记逆时针产生新的振幅为。

确定为平衡原圆盘在其边缘应当放置的配重大小。

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●解：下图给出了解的图示。

测出的向量和试配重的位置
示于图(b)。

图(c) 中的向量
为, 角度为107°.
如果向量逆时针旋转
107°, 就会与向量反向.
为了抵消，使其缩短为
= .
因此试配重oz必
须逆时针旋转并大小相
应改为
.
●上面的图解过程可以容易地
用余弦定理求解
●一个平面内的，没有考虑随
轴的平动
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●轴承在高速旋转时有弯曲的趋势，并以某种复杂的方式回旋
●
回旋是指弯曲的轴承与支承中心连线构成的平面的旋转
⏹这一现象可能有各种原因导致，例如质量失衡、轴承中的滞后阻尼，回转力，支承中的流体摩擦，等等。

⏹
轴承的回旋可能与轴承旋转同向或反向，回旋速度可能等于或不等于轴承的旋转速度。

弓形回旋
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●
考虑一对称安装在轴承上的圆盘(质量)，轴承固定在两端的支承上
⏹圆盘的几何中心为，与相距（偏心距）为圆盘的质心⏹两端的支承的中心线与圆盘交于
⏹
轴承的中心用挠度表示
●
假定轴承(即线段)
以常角速度旋转●通常情况下，线段
将以角速度回旋，并且不等于
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S
G
弯曲轴线绕轴线
的转动A
B
轴线弯曲后圆盘绕轴线
的转动
质量中心的加速度：把
沿径向和切向分解
再假定在上作用有粘性阻尼力，径向和切向的运动方程可以分别写为
方程里面涉及到和两个变量，因此是2自由度问题
在稳态的同步回旋问题中，
，并且, 问题会退化为单自由度
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O S G
A
B
在大型气轮机、发电机组和其他一些旋转机械的开车停机过程中，当经过某一个转速附近时，会出现剧烈的振动。

为了保证机器的安全运行，必须迅速越过这个转速。

这个转速在数值上一般非常接近转子横向自由振动的固有频率，称为临界转速
假定回旋的角速度等于旋转的角速度（同步回旋），均假定为常数,; 积分后有，是和间的相位差，也是常数
在稳态的条件下，前述方程可以简化为46
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二式相除，
从速度三角形中还可以发现
代回第一个方程，得到振幅的方程
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由
⏹偏心距线段以相位领先位移线段
⏹该相位差取决于阻尼大小和旋转速度比
弓形回旋的轴内不产生交变应力
⏹转子的离心惯性力对轴承产生交变力，导致支承系统发生
强迫振动，是临界转速附近剧烈振动的原因
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例题
涡轮机在高于临界速度运行时，每次在启动或者停车时，必须穿越危险的共振速度.假定到达临界速度时振幅为, 确定振幅随时间变化的方程.假定阻尼为零. 解按同步回旋考虑，有常数，以及. 因为不是直接求稳态响应而是求振幅的时间函数，必须保留和. 考虑没有阻尼的情形，, 对应的运动方程为
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第二个方程的解为(初始挠度)
对其微分两次，代入第一个方程
因为方程右边为常数，因此的系数必须为零方程其余的部分为
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当, 第一个方程自动满足；第二个仅当
或才能满足。

因此当或共振时，相位角为, 与考虑阻尼的情况相同，但是振幅将线性增大
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●
在很多情况下，动力学系统是由支承点的运动激励的.●现在就支承运动引起的振动问题做一总结。

⏹为支承点的简谐位移⏹为质量的位移，从惯性参考位置开始测量的
考虑阻尼的支承运动
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在变形位置，非平衡力由阻尼和弹簧引起，系统的运动微分方程为
作代换，得
为基础的运动
上面方程的解为
质量的绝对运动由求得。

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采用简谐运动的指数形式
代入运动方程，可得
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稳态振动的振幅和相位可以表示为
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