3.2.2对数函数教案

3.2.2对数函数
【学习要求】
1.理解对数函数的概念;
2.掌握对数函数的性质;
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
【学法指导】
通过画函数y＝log2x和y＝log x的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.对数函数的概念:
函数y＝log a x (a>0,a≠1,x>0) 叫做对数函数.
2.a:
(1)对数函数的定义域是正实数集,即(0,＋∞) ,值域是实数集R;
(2)在定义域内,当a>1 时是增函数, 当0<a<1 时是减函数;
(3)图象都通过点(1,0) .
研一研：问题探究、课堂更高效
探究点一对数函数的概念
问题1在现实生活的细胞分裂过程中,细胞个数y是分裂次数x的指数函数y＝2x,只要知道了x就能求出y.现在反过来研究,知道了细胞个数,如何确定分裂次数？
答：我们将y＝2x写成对数式, 即x＝log2y.
问题2在问题1得出的关系式中,x是y的函数吗？为什么？
答：在关系式x＝log2y中,x是y的函数,因为对于y在正实数集内的每一个确定的值,在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应.根据函数的定义,这个式子确定了正实数集上的一个函数关系,其中y是自变量,x是因变量.
问题3我们把函数x＝log a y(a>0,a≠1)叫做对数函数,但习惯上自变量用x表示,所以这个函数就写成y＝log a x.这样一来,你能给对数函数下一个定义吗？
答：函数y＝log a x(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义域为(0,＋∞),值域是实数集R.
问题4你能说出在指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y中,x,y两个变量之间的相同点及不同点吗？
答：在指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y中,x,y两个变量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数y＝2x里,x 当作自变量,y当作因变量,而在对数函数x＝log2y中,y当作自变量,x是因变量.
问题5函数y＝log a x与函数y＝a x(a>0,a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？
答：对数函数的定义域是指数函数的值域,对数函数的值域是指数函数的定义域.
例1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):
(1)y＝log a x2; (2)y＝log a(4－x).
解：(1)由x2>0,得x≠0,∴函数y＝log a x2的定义域是{x|x≠0};
(2)由4－x>0,得x<4, ∴函数y＝log a(4－x)的定义域是{x|x<4}.
小结：此题主要利用对数函数y＝log a x的定义域(0,＋∞)求解.
跟踪训练1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):
(1)y＝log a(9－x2); (2)y＝log2(16－4x).
解：(1)由9－x2>0,得－3<x<3, ∴函数y＝log a(9－x2)的定义域是{x|－3<x<3}.
(2)由16－4x>0,得4x<16＝42,由指数函数的单调性得x<2, ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.
探究点二对数函数的图象及性质
问题1如何作出函数y＝log2x及y＝log x的图象？
答：作图步骤:
列表描点连线:
问题2观察作出的函数y ＝log 2x 及y ＝log x 的图象,指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？
答：相同性质:两图象都位于y 轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,＋∞),且当x ＝1时,y ＝0.
不同性质:函数y ＝log 2x 的图象是上升的曲线,y ＝log 12
x 的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,＋∞)上是增函数,后者在(0, ＋∞)上是减函数.
问题3 从描出的点及作出的图象中能看出函数y ＝log 2x 及y ＝log 12
x 的图象的对称关系吗？ 答：两个函数的图象关于x 轴对称.
问题4由具体的函数y ＝log 2x 及y ＝log 12
x 的性质,你能抽象出对数函数y ＝log a x (a>0,a≠1,x>0)的哪些性质？ 答：对数函数y ＝log a x(a>0,a≠1)具有下列性质:
(1)对数函数的定义域是正实数集,即(0,＋∞);值域是实数集R;
(2)在定义域内,当a>1时是增函数,当0<a<1时是减函数;
(3)图象都通过点(1,0).
探究点三 对数函数性质的应用
例2(1)比较log 23与log 23.5的大小;
(2)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1),求m 的取值范围.
解：(1)考察函数y ＝log 2x,它在区间(0,＋∞)上是增函数.
∵3<3.5,∴log 23<log 23.5;
(2)考察函数y ＝log 0.7x,它在(0,＋∞)上是减函数.
因为log 0.7(2m)<log 0.7(m －1),
所以2m>m －1>0.由2m>m －1 和m －1>0 得m>1.
小结：比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性;然后比较真数大小,再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的,需要对底数a 进行讨论.
跟踪训练2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log 23.4,log 28.5;(2)log 0.31.8,log 0.32.7;
(3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,a≠1).
解：(1)考察对数函数y ＝log 2x,因为它的底数2>1,
所以它在(0,＋∞)上是增函数,于是log 23.4<log 28.5;
(2)考察对数函数y ＝log 0.3x,因为它的底数0<0.3<1,
所以它在(0,＋∞)上是减函数,
于是 log 0.31.8>log 0.32.7;
(3)当a>1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,
于是log a 5.1<log a 5.9;
当0<a<1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是减函数,
于是log a 5.1>log a 5.9.
例3证明:函数f(x)＝log 2(x 2＋1)在(0,＋∞)上是增函数.
证明：设x 1、x 2∈(0,＋∞),且x 1<x 2,
则f(x 1)－f(x 2)＝log 2(x 21＋1)－log 2(x 22＋1),
∵0<x 1<x 2,∴x 21＋1<x 22＋1.
又∵y ＝log 2x 在(0,＋∞)上是增函数,
∴log 2(x 21＋1)<log 2(x 22＋1),即f(x 1)<f(x 2).
∴函数f(x)＝log 2(x 2＋1)在(0,＋∞)上是增函数.
小结：证明函数的单调性只能利用单调函数的定义,这与判断函数的单调性是有区别的.
跟踪训练3求证:函数f(x)＝log 2x 1－x
在(0,1)上是增函数. 证明：设0<x 1<x 2<1,
则f(x 2)－f(x 1)＝log 2x 21－x 2－log 2x 11－x 1
＝log 2x 2－x 1－x 21
＝log 2x 2x 1·1－x 11－x 2. ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2x 1>1,1－x 11－x 2
>1. 则log 2x 2x 1·1－x 11－x 2
>0, ∴f(x 2)>f(x 1),故函数f(x)在(0,1)上是增函数.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.函数y ＝log 2x －2的定义域是 ( D )
A.(3,＋∞)
B.[3,＋∞)
C.(4,＋∞)
D.[4,＋∞)
解析：由题意得: log 2x －2≥0，x>0 .解得x≥4.
2.已知log a <1,那么a 的取值范围是 ( )
A.0<a<12
B.a>12
C.12<a<1
D.0<a<12
或a>1 解析log a 12<1⇔log a 12
<log a a, (1)当a>1时,函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,
得12
<a,所以a>1; (2)当0<a<1时,函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是减函数,得12>a,所以0<a<12
; 综合(1)、(2)得0<a<12或a>1.
3.函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为________.
解析：利用对数的真数是正数,偶次方根非负解题.
要使函数f(x)＝1－2log 6x 有意义,
则1－2log 6x ≥0和x>0 解得0<x≤ 6.
课堂小结：
1.在对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)中,无论a 取何值,对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)的图象均过点(1,0),函数图象落在第一、四象限,且当0<a<1时函数单调递减,当a>1时函数单调递增.
2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,若“底”的范围不明确,则需分两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.。