第一章_概率空间
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S1 概率与事件
S1 概率与事件
定义1.3
设F 是Ω上的������ 域,定义实值函数������ : F ↦→ [0, 1],若满足: (1) ������ (Ω) = 1; (2) 若������1 , ������2 , · · · ∈ F 且两两互不相交(������������ ������������ = ������, ������ ̸= ������ ), 则 ������ (������1 ∪ ������2 ∪ · · · ) = ������ (������1 ) + ������ (������2 ) + · · · 则称������ 是(Ω, F )上的概率,(Ω, F , ������ )是概率空间(probability space),其 中F 上的集合称为事件(event),������ (������)称为事件������的概率。
例2.1
考虑抛掷一枚硬币其朝上一面是正面还是反面这一随机试验,其样本空 间为Ω = {正面、反面},假设事件������ = {正面}, 令F = {∅, Ω, ������, ������������ }为Ω上的������ 域。定义函数������ : Ω ↦→ ������,满 足������ (������) = 1, ������ (������������ ) = 0,则������ 是一随机变量, 且������ (������ ) = {∅, Ω, ������, ������������ }。
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大纲
第一章 概率空间 第二章 条件数学期望 第三章 随机过程的基本概念和基本类型 第四章 Poisson过程 第五章 离散参数Markov链 第六章 连续时间Markov链 第七章 Brown运动 第八章 鞅
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第一章 概率空间
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S1 概率与事件 S2 随机变量 S3 条件概率与独立性 S4 特征函数和矩母函数
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S1 概率与事件
S1 概率与事件
随机试验: 试验结果事先不能准确预言,具有三个特征:
(1) 可以在相同条件下重复进行; (2) 每次试验结果不止一个,可预先知道试验所有可能结果; (3) 每次试验前不能确定哪个结果会出现。
样本空间: 随机试验所有可能结果组成的集合,记为Ω。 随机事件: 样本空间Ω的子集������称为随机事件,用������、������ 、������ 表示。 注:所谓某个事件在试验中是否出现,当且仅当该事件所包含的某个样 本点是否出现,因此一个事件实际上对应于的一个确定的子集。 事 件 的 概 率 论 运 算 ⇔ Ω子 集 的 集 合 论 运 算 。 由于事件是集合,故集合的运算(并、交、差、上极限、下极限、极限 等)都适用于事件。
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S2 随机变量
S2 随机变量
定义2.2
设������ : Ω ↦→ ������是一随机变量,对∀������ ∈ B (������),可得包含所有{������ ∈ ������ }的 最小 ������ 域,记为������ (������ ),称为随机变量������ 生成的������ 域。
������→∞
同理,若������1 , ������2 , · · · 是一递减事件列,即������1 ⊃ ������2 ⊃ · · · ,则 ������ (������1 ∩ ������2 ∩ · · · ) = lim ������ (������������ ).
������→∞
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随机过程 第一章 概率空间
吴梦云 Email: wu.mengyun@mail.shufe.edu.cn 办公室:统计与管理学院2113 电话:65901432
上海财经大学 统计与管理学院
参考文献
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张波、商豪,《应用随机过程》,人民大学出版社,2012; Brzenzniak、Zastawniak,《Basic Stochastic Processes》,Springer/清华2009; Ross(著)、龚光鲁(译),《Introduction to Probability Models》,人民邮电出版社, 2007; 王军、王娟,《随机过程及其在金融领域中的应用》,清华大学出 版社,2007。
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S2 随机变量
S2 随机变量
定义2.4
定义随机变量������ : Ω ↦→ ������满足: ������ =
������ ∑︁ ������=1
������������ 1������������
其中������1 , · · · , ������������ ∈ ������, ������1 , · · · , ������������ 为两两互不相交事件列(pairwise disjoint events),且������������ ∈ F ,则称������ 为简单函数(阶梯函数step function)。
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相关应用
保险公司的破产问题: 2008年,美国保险巨头AIG陷入了财务困境, 几乎面临破产,因此保险公司的破产问题引起了人们的关注。如何 定量地给出保险公司破产的可能性? → 复合泊松过程 公司的违约问题:自全球金融危机爆发以来,公司违约事件频发, 如何定量的分析公司的违约时间? → 泊松过程 期权定价公式→ 布朗运动
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S2 随机Hale Waihona Puke Baidu量
S2 随机变量
定义2.3
(Ω, F , ������ )是概率空间,集合������ ∈ F 的示性函数(Indicator function)被定 义如下: {︁ , ������ ∈ ������, 1������ = 1 0, ������ ∈ / ������, 1������ 为随机变量。
定理2.1
若������ 是一非负的随机变量,则存在非负简单函数列{������������ , ������ ≥ 1},使得
������→∞
lim ������������ = ������
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S2 随机变量
S2 随机变量
定理2.2
设������ 是一随机变量,令������ + = max{������, 0}, ������ − = − min{������, 0}, 则������ + ≥ 0, ������ − ≥ 0, ������ = ������ + − ������ − , |������ | = ������ + + ������ − 。
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S1 概率与事件
S1 概率与事件
例1.1
(1) 令B = {∅, Ω},则B 是一个������ -域。 (2) 考虑抛掷一枚硬币其朝上一面是正面还是反面这一随机试验,其样 本空间为Ω = {正面、反面},假设事件������ = {正面}, 令B = {∅, Ω, ������, ������������ },则B 是一个������ -域。
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预备知识
概率论 微积分 线性代数
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引入
随机变量: 在每次试验的结果中,以一定的概率取某个事先未知,但为确定的 数值。 随机过程: 随着时间或空间变化的多个随机变量。
在一条生产线上,我们对产品逐个检查,以������ (������)表示以一天从开 工(������ = 0)到时刻t累计的次品数。{������ (������), ������ ≥ 0}就是随时间变化的随 机变量,它描述了次品数的累积的过程。 在一个电话交换站里,以������ (������)表示一天从上班(������ = 0)到时刻t为止接 到的呼叫次数,那么{������ (������), ������ ≥ 0}就是随时间变化的随机变量,它描 述了呼叫数的累积的过程。
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S1 概率与事件
S1 概率与事件
定义1.1
设Ω是非空集合,F 是由Ω中若干子集构成的集合族,若满足: (1) Ω ∈ F ; (2) 若������ ∈ F , 则������������ ∈ F ; (3) 若������1 , ������2 , · · · , ∈ F ,则������1 ∪ ������2 ∪ · · · ∈ F . 则称F 是定义在Ω上的������ -域。 如果F 是Ω上的一个������ -域,则 (1) ∅ ∈ F ; (2) 若������1 , ������2 , · · · ∈ F ,则������1 ⋂︀ ������2 ⋂︀ ··· ∈ F.
例1.3
取Ω = [0, 1](单位区间),且������ 域F = B ([0, 1]),对任意区间[������, ������],定义 实值函数������ ([������, ������]) = ������ − ������, 则(Ω, F , ������ ) 构成一概率空间。
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S2 随机变量
S2 随机变量
定义2.1
设F 是Ω上的������ 域,则函数������ : Ω ↦→ ������称为F 可测的,若对∀Borel集 合������ ∈ B (������) 满足{������ ∈ ������ } ∈ F ,则称������ 是概率空间(Ω, F , ������ ) 的一个 随机变量。 事件{������ ∈ ������ }是一缩写,完整写法为 ������ −1 (������ ) = {������ ∈ Ω : ������ (������ ) ∈ ������ }, 称为集合B的逆象(inverse image)。 以上定义中的条件“若对∀Borel集合������ ∈ B (������) 满 足{������ ∈ ������ } ∈ F ”等价于“若∀������ ∈ ������,满 足{������ : ������ (������ ) ≤ ������} ∈ F ”。
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S1 概率与事件
S1 概率与事件
定义1.2
设B 是由Ω的某些子集构成的集合族,一切包含B 的������ 域的交,记 为������ (B ),称为由B 生成������ 域,或称为包含B 的最小������ 域。
例1.2
(1) 若B = {∅, Ω, ������},则������ (B ) = {∅, Ω, ������, ������������ }。 (2) 定义Borel域B = B (������) = ������ ((−∞, ������], ������ ∈ ������),且B (������)是实数集上 包含所有区间(−∞, ������], ������ ∈ ������的最小������ -域。
S1 概率与事件
S1 概率与事件
由概率的定义易知事件的概率由如下性质:
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若������, ������ ∈ F , ������ ⊂ ������ ,则������ (������ − ������) = ������ (������ ) − ������ (������)(可减性)。 若������, ������ ∈ F , ������ ⊂ ������ ,则������ (������ ) ≤ ������ (������)(单调性)。 ⋂︀ ⋃︀ 若������, ������ ∈ F ,则������ (������ ������ ) + ������ (������ ������ ) = ������ (������) + ������ (������ )。 ⋂︀ ∑︀∞ 若������������ ∈ F , ������ ≥ 1,则������ ( ∞ ������=1 ) ≤ ������=1 ������ (������������ )(次������ 可加性)。 若������������ ∈ F ,且������1 , ������2 , · · · 是一递增事件列,即������1 ⊂ ������2 ⊂ · · · ,则 ������ (������1 ∪ ������2 ∪ · · · ) = lim ������ (������������ ).