第二讲数形结合思想

|x2－1| x－1
的图像与函数y＝kx的图
像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
1
[思路点拨] (1)将函数的零点转化为两个函数y1＝x 2 与y2＝
12x图像的交点问题求解．
(2)在同一坐标内画出两个函数的图像，利用数形结合求解．
[解析] (1)在同一平面直角坐标系内作
出y1＝x
(2)若讨论x≥2a或x<2a解比较麻烦，可作出函数y1＝|x－2a|
与y2＝12x＋a－1的大致图像，利用数形结合思想求解．
[解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)， y＝x＋1的图像，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．
(2)作出y＝|x－2a|和y＝
1 2
x＋a－1的简图，依题意知应有
利用数形结合解不等式或求参数问题
[例2] (1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
(2)若不等式|x－2a|≥
1 2
x＋a－1对x∈R恒成立，a的取值范围
是________．
[思路点拨] (1)无法直接求解该不等式，可作出函数y1＝
log2(－x)和y2＝x＋1的图像，采用数形结合思想求解．
5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则f(aa)，f(bb)，f(cc)的 大小关系是________． 解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图，而f(xx)的几 何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知 f(a) f(b) f(c) a<b<c. 答案：f(aa)<f(bb)<f(cc)
1 2
与y2＝12x的图像如图1所示，易知，
两函数图像只有一个交点．因此函数f(x)＝
x
1 2
－12x只有1个零点．
图1
(2)函数可表示为
y＝x－＋x1－，1x，>－1或1≤x<x－<11，， 图像为如图2 所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数 图像有两个交点，则k∈(0,1)∪(1,2)．
图2 [答案] (1)B (2)(0,1)∪(1,2)
lg x，x>0， f(x)＝1－x2，函数g(x)＝0，x＝0，
－1x，x<0，
则函数h(x)＝f(x)－g(x)
在区间[－5,5]内的零点的个数是 A．5 C．8
B．7 D．10
()
解析：选 C 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同 一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像，结合图像 得，当x∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.
围为
()
A．(2,3]
B．[4，＋∞)
C．(1,2]
D．[2,4)
解析：选 C 设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则 y1的图像为如右图所示的抛物线．要使对 一切x∈(1,2)，y1<y2恒成立，显然a>1，并 且只需当x＝2时，logax≥1，所以a≤2， 所以1<a≤2.
3．(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是 [3，＋∞)，则a＝________. 解析：f(x)＝|2x＋a|＝2－x＋2xa－，ax，≥x－<－a2，a2. 作出函数图像，由图像知： 函数的单调递增区间为－a2，＋∞，所以－a2＝3， 所以a＝－6. 答案：－6
其应用大致可以分为两种情形：
一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联 系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图 像来直观地说明函数的性质；
二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某 些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的 方程来精确地阐明曲线的几何性质．
3．数形结合的途径
(1)通过坐标系“形题数解”： 借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数．这 一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解 析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解” 时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为 三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
(2)通过转化构造“数题形解”： 许多代数结构都有着相应的几何意义，据此，可以将数与 形进行巧妙地转化．
应用数形结合思想，关键是能做到： (1)由“数”联想到“形”，按照以下训练过程可以提高 识图用图能力：正确画图→快速画草图→看“数”想图； (2)看“图”想“数”，看到一个图形，能联想到它的性 质，以及用“数”如何表示．
（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
（7）构建方程模型，求根的个数； （8）研究图形的形状、位置关系、性质等.
利用数形结合讨论方程的解或图像交点
[例1]
(1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x
1 2
－12x的零点的个数
为Hale Waihona Puke ()A．0B．1
C．2
D．3
(2)(2012·天津高考)已知函数y＝
2a≤2－2a，故a≤12.
[答案] (1)(－1,0) (2)－∞，12
解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系， 那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.
2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范
4.数形结合思想解决的问题常有以下几种： （1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围; （2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； （3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证 明不等式； （5）构建立体几何模型研究代数问题;
(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题 转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要 注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解.
(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数 形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.
1．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，
(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过 数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方 法．
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂 问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象 思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性 与灵活性的有机结合．
(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，