弹塑性力学_应变3(oct21)

yz xz xy 2 x ( )2 x x y z y z
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y
2
2 2 x xy x y x 2 y 2 2 2
•应变协调方程 •——圣维南 Venant）方程 （Saint
位移增量是由两部分组成的
转动分量
x
1 w v ( ), 2 y z
y (
1 u w 1 v u ) , z ( ) 2 z x 2 x y
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv z dw y z 0 x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2 1 xy y 2 1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
x
x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
（i)第一式和第二式分别对 （ )第 式和第 式分别对y和 x求二阶偏导数，然 求 阶偏导数 然 后相加可得
(1) (2)
2 y
2 xy 2 x 2 v u 2 ( ) x 2 y xy x y xy
(ii)将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求 一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则
•显然该应变分量没有对应的位移。 •要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满 足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。
（1）应变协调 从几何上讲，若某一始连续的物体按给定的 变状态变形时，能始终保持连续，即不开裂， 又不重叠 则所给的应变是协调的 否则是不 又不重叠，则所给的应变是协调的，否则是不 协调的。
12
2 y
2 2 x xy x 2 y 2 x y
2 2 2 z y yz 2 y z 2 y z
2 x 2 z 2 xz z 2 x 2 x z 2 x ( yz xz xy ) 2 z y z x y x 2 y yz xz xy ( )2 x z z y x y 2 z yz xz xy ( )2 z x y z x y
公式展开
19
du 0 dv z dw y
z 0
x
x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2
1 xy 2
d x
x dx x dy x dz y x z
轮换x , y, z，可得dv，dw 和 dy，dz
u u0 v v0 w w0
0 x
P0 P

x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变， 如变形不满足一定的关系，变形后的单元体 将不能重新组合成连续体 其间将产生缝隙 将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙 或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量 必须满足一定的关系。
2
例如 设 x x, y y, xy xy, z xz yz , 求其位移。 3 解： u 3x u x2 f ( y)
x
x
2
y
v 2y y
v y2 g(x)
xy
v u f ' ( y) g ' ( x) xy x y
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位移的单值连续性
导出
应变协调方程
证明
应变协调是 保证位移单 值连续的必 要条件
在单连通域中 六个应变分量
满足
应变协调方程
积分
单值连续的位移场
证明
应变协调是保 证位移单值连 续的充分条件
14
8. 位移场的单值条件 基本概念
15
证明——应变协调方程是变形连续的必要和 充分条件。 变形连续的物理意义，反映在数学上则要求 变形连续的物理意义 反映在数学上则要求 位移分量为单值连续函数。 目标——如果应变分量满足应变协调方程， 则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求 得单值连续的位移分量。 回顾：全微分和格林公式
对x求导
对y求导
对z求导
两式相加，得：
y z 1 xz xy ( ) z 2 y z y
(1)
公式（1）变为：
x 1 xz xy ( ) x 2 y z
同理，可得：
x 1 yz y z 2 y y x z 1 yz z y 2 z
1 2
1 2
P0 P

P0 P

x
0 y y
P0 P

P0 P

保证单值连 续的条件是 积分与积分 路径无关
z z0
P0 P

z z z dx dy dz z y x
是单值连续 的，则问题 可证。
20
根据格林公式 (3) 的全微分 即 的全微分,即 在 D 内是某一函数
y
1 zy 2
x
刚体转动 位移增量
变形位移增量
微分单元体的刚性转动与协调相关
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位移和转动分量的全微分
d x
x dx x dy x dz x y z
du 0 dv z dw y
z 0
(1)
转动分量
x
1 w v ( ), 2 y z
y (
1 u w 1 v u ) , z ( ) 2 z x 2 x y
22
转动分量
x
1 w v ( ), 2 y z
y (
1 u w 1 v u ) , z ( ) 2 z x 2 x y
3

数学意义： 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述 力学意义 力学意义——变形连续 变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束

（2）由应变场对应于单值连续位移场导出 应变协调方程
4
5

应变协调方程
6

圣维南恒等式
(3.47)
7
(3.47)
应变张量的对称性和连续性，(3.47)式改写成
格林公式- 平面上曲线积分与路径无关的等 价条件 -定理2： 定理2 设D 是单连通域 ,函数 函数 在D 内有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
L Pd x Qd y 0 .
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 L Pdx Qd y 与路径无关, 只与起止点有关.
z y yz 2 y z 2 y z
2 x 2 z 2 xz x 2 x z z 2 2 x ( yz xz xy ) 2 z y z x y x 2 y yz xz xy ( )2 x z z y x y 2 z yz xz xy ( ) 2 z x y z x y
弹塑性力学
教师: 王晓红 办公室：工北 - 316 电话：82903261 电子邮件：wangxh@stu.edu.cn
弹塑性力学
应变理论
1
7.应变协调方程
(3.20)

数学意义 数学意义： 述
几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描
在给定应变后可由几何方程积分求位移 由于方程数目多于未知函数的数目，因此 任意给定应变，不一定有解。
y
1 zy 2
1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
du
u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
16
(3) 的全微分,即
在 D 内是某一函数
d u ( x, y ) P d x Q d y
(4) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
利用位移和转动分量的全微分 回顾：
其中: u(X) 是线元随P点的刚体平移du是Q点相对 于P点的位移增量. 于P点的位移增量
17
观察(3 46）和(3 47a)式： 观察(3.46）和(3.47a)式：

由应变场对应于单值连续位移场导出应变 协调方程
8
综上所述，物体的变形可以用位移矢量场(三 个位移分量)来描述， 也可用应变张量场（六 个应变分量）来描述。 当用位移描述时，只要位移函数连续且存在三 阶以上的连续偏导数，协调方程就自动满足。
对z 求一 阶偏 导
(4)
(5) 对x 求一 阶偏 导
yz x xz xy 2u 2 y z yz
(6) 对y 求一 阶偏 导


11
(iii)对x求一阶偏导数，则

yz
x

xz xy 2u 2 y z yz
对x求一阶偏导数，则
P Q . y x
21
同理，推出dv 和 dw
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第三项重新写为：
y z 1 xz xy ( ) z 2 y z y
d u ( x, y ) P d x Q d y
(4) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
根据格林公式
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
23
根据格林公式
y z 1 xz xy ( ) z 2 y z y
9
当用位移描述时，只要位移函数连续且存在三 阶以上的连续偏导数，协调方程就自动满足。 当用应变描述时，六个应变分量必须首先满足 协调万程，只有从协调的应变场才能积分几何 方程，得到相应的位移场。
(3) 几何方程 位移分量和应变分量之间的关系
(1) (4)
(2)
(5)
(3)
(6)
10

要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个 应变分量必须满足一定的条件。 从几何方程中消去位移分量，