抽象函数常见模型习题归纳(学生版)

抽象函数常见模型习题归纳（学生版）

一，正比例函数型

正比例函数型函数特征式为：()()()y f x f y x f +=+

例1、已知()x f 是定义在R 上的函数，对任意的x 、∈y R 都有()()()y f x f y x f +=+，且当x >0时， ()x f ＜0，()21-=f 。问：当33≤≤-x 时，函数()x f 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

例2、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0， f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

二，一次函数型

一次函数型函数特征式为： ()()()f x y f x f y b +=+-

例1、定义在R 上的函数()x f 满足()()(),0)21(,1=+=++f y f x f y x f 且21>

x 时，()0

例 2、 已知函数)(x f 满足:对任意的R n m ∈,，都有1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时,1)(>x f ，若4)3(=f ,解不等式,02)5(2<--+a a f 。

例3、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，

f （3）＝5，求不等式

的解。 例4、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

三，指数函数型

指数函数型函数特征式为：()()()f x y f x f y +=

例1、定义在R 上的函数()()00,≠=f x f y ，当0>x 时，()1>x f 且对任意R b a ∈,都有()()().b f a f b a f =+

（Ⅰ）求()0f 的值； （Ⅱ）判定函数值的正负；

（Ⅲ）判断()x f 在R 上的单调性； （Ⅳ）若()()122>-x

x f x f ，求x 的取值范围。 例2、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x 和y ，

成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。

例3、是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）＞0，x ∈N ；②

；

③f （2）＝4。同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，如不存在，说明理由。 例4、设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。 （1）证明f ()01=； （2）证明：f x ()在R 上是增函数；

（3）设{}

A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，

B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件。

四，对数函数型

对数函数型函数特征式为：()()()y f x f xy f +=

例1、已知函数()x f 的定义域是（0，+∞），当1>x 时，(),0>x f 且()()()y f x f xy f +=。

（Ⅰ）求()1f ； （Ⅱ）判()x f 在定义域上的单调性； （Ⅲ）如果,1)31(-=f 求满足不等式()2)2

1(≥--x f x f 的x 的范围。 例2、 已知函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足:对任意的()+∞∈,0,y x ，都有)()()(y f x f y x

f -=，

如1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f .

例3、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足

，求： （1）f （1）； （2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。

四，幂函数型

幂函数型函数特征式为：()()()y f x f xy f =

例1、 已知函数)(x f 的定义域为R ，都有)()()(y f x f xy f =且1)1(=-f ，9)27(=f ，当[)1,0∈x 时，[)1,0)(∈x f 。（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）判断并证明)(x f 在[0，+∞）上的单调性；（3）如0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围。

例2、已知函数()x f 对于任意正数x 、y 都有()()()y f x f xy f =且()≠x f 0。当x >1时，()x f <1

（1）判断()x f 的奇偶性

（2）判断()x f 在（0，+∞）上的单调性并说明理由