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高二上学期数学竞赛

一、 选择题（每小题 6分,满分 30 分）

2. 设 a, b

R, ab ≠ 0，那么，直线

ax y+b=0 和曲线 bx 2+ay 2=ab 的图形是

y y

y

y

O

O

Ox

O

x

x

x

(A)

(B)

(C)

(D)

2. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于

P,直线 PF 1（F 1为椭圆的

左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为

（

）

1 2 C ．

3 3 1

A ．

B ．

D ．

2

2

2

1

3. 当 0

k

时，方程

1 x

kx 的解的个数是

（

）

2

A ．0

B ．1

C ． 2

D ． 3

4. 若 x 5 ,

2 )

tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是

[

]，则 y= tan( x+

12

3 3

6 6

(A)

12

(B)

11 (C) 11

3 12 3

2

2

(D)

5

6

6

5

5． O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点

P 满足

OP OA

( AB AC ), [0, ), 则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的

（

）

|AB|

|AC|

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

二 .填空题 (每小题 8分,满分 40 分)

6. 不等式 |x|3 2x 2 4|x|+3＜ 0 的解集是 __________

2

2 7. 设 F 1,F 2 是椭圆

x

y

1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且 |PF 1|:|PF 2|=2:1，则△ PF 1F 2

9 4

的面积等于 . __________

2

4x+3＜ 0,x R}, B={ x|x 2

≤0,x R} ．若 A B, 则实数 a 的取值范围

8. 已知 A={ x|x 2(a+7) x+5 是____________.

9. 若方程 2a ·9

sinx

+4a · 3sinx +a –8=0 有解，则 a 的取值范围是 ________. 10. 已知 x,y 都在区间 ( 2,2)内，且 xy ＝ 1，则函数

u= 4

+

9

的最小值是 ________.

4 x 2 9 y 2

三. 解答题 ( 满分 50 分)

1.（本题满分 10 分）有三个城镇，分别位于A， B，C 三点处，且 AB=AC= a，BC=2b. 今

计划合建一个中心院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处，（建立坐标系如图）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小，点 P 应位于何处？

2.（本题满分10 分）已知a,b,c∈ R，函数f(x)= ax2+bx+c.

（1）若a+c=0， f(x)在 [-1,1]上的最大值为2，最小值为5

，证明：a0 且 |

b |<2；2a

（2）若a>0， p、 q 满足p+q=1，且对任意的实数x、 y均有pf(x)+qf(y)≥ f(px+qy)，证明： 0≤ p≤ 1.

3.（本题满分15 分）已知直线l 与圆x2y 22x 0 相切于点T ，且与双曲线

x2y 21相交于A、B两点.若T是线段AB的中点，求直线l 的方程.

4．（本题满分 15 分）已知常数 a>0，向量c=（ 0，a），i=（ 1， 0），经过原点 O 以c+λi 为方向向量的直线与经过定点 A （ 0， a）以i－ 2λc为方向向量的直线相交于点 P，其中

λ ∈ R.试问：是否存在两个定点 E、F，使得 |PE|+|PF|为定值 .若存在，求出 E、F 的坐标；

若不存在，说明理由 .

高二数学竞赛答案

1— 5

BDDCB 。 6.（ -3，

1 2

5

）U （

5 1 ， 3）. 7. 4. 8. [-4, ∞

2

9.[ 8/31, 72/23 ] 10. 12/5

11.本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解

决问题的能力 .满分 10 分.

解：由题设可知， a

b

0, 记 h

a 2

b 2 ,设 P 的坐标为（ 0， y ），则 P 至

三镇距离的平方和为

2

2

2

h 2 2

2

2

f ( y)

2(b

y ) (h

y)

3( y

)

h

2 .

3

h

时 ，函 数 f ( y) 取 得 最 小 值 .

3

所 以， 当 y

答:点 P 的坐标是

(0, 1

a 2

3

b 2 ).

3

b

| ≥ 2，由 a+c=0，得 a=-c ，故 f(x)= ax

12. 分析：（ 1）用反 法。假

a=0 或 |

2

+bx- a.

a

当 a=0 ， f(x)= bx ，是一个 函数，其最大 |b|

，最小 -|b|

，又已知得：

|b|=2 且 -|b|=

5

，矛盾，故 a 0。

2

当 | b

| ≥ 2 ， |- b

| ≥ 1，函数 f(x)

在 [-1,1] 上也是 函数，由上可知矛盾，故

b a

2a

| |<2。

a

0 且 | b

|<2 ；

合以上两种情况，得

a

a

(2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(ax

2

+bx+c)+q(ay 2+by+c)-[a(px+qy)

2

+b(px+qy)+c]

=ap(1-p) 2x 2-2apqxy+aq(1-q)y

2

=apq(x-y) 2≥ 0, 因 a>0,(x-y)

2

≥ 0，所以 pq ≥ 0,p(1-p) ≥ 0，

故 0≤ p ≤ 1.

13.

直 l 与 x 不平行， l 的方程

x ky a 代入双曲 方程

整理得

( k 2 1) y 2

2kay a 2 1 0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分

而 k 2

1 0

，于是

y T

y A

y B

ak

从而

x T

ky T a

a 即 T ( ak 2 , a

)

⋯⋯6分

2

2

k 2 k 2

k 1

1

1 1 k

点 T 在 上

( ak 2 ) 2 ( a 2 ) 2 1 2a 2 0 即 k 2

a

2

①

1 k 1 k k

由 心O(

1,0) . O T l 得 k O T k l 1

k

0 或 k 2

2a 1