高考数学二轮复习专题四空间几何体

第1讲空间几何体

空间几何体与三视图

[核心提炼]

1．三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．由三视图还原几何体的步骤

一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．

[典型例题]

(1)(2019·温州瑞安七中高考模拟)下列结论正确的是()

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

(2)(2019·杭州市五校联考)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()

【解析】(1)A.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B.如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D.根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D.

(2)

因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为A.

【答案】(1)D(2)A

(1)判断与几何体结构特征有关问题的技巧

把握几何体的结构特征，熟悉空间几何体性质，能够根据条件构建几何模型，从而判断命题的真假，有时也可通过反例对结构特征进行辨析．

(2)已知几何体识别三视图的技巧

已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面的实虚．

[对点训练]

1．(2019·福州市综合质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是()

A．2B．3C．4D．5

解析：选C.由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，易

知四棱锥P-ABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三

角形的个数是4.

2．图①是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥A1­AB1D1

后得到的几何体，将其绕着棱DD 1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为( )

解析：选B.由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB 在正视图中的长为2，棱CC 1在正视图中为虚线，D 1A ，B 1A 在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.

空间几何体的表面积与体积

[核心提炼]

1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝1

2

ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；

(3)S 台侧＝1

2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．

2．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝1

3

Sh (S 为底面面积，h 为高)；

(3)V 台＝1

3

(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)．

[典型例题]

(1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，

则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V

柱体

＝Sh ，其中S 是柱体

的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

(2)(2019·浙江高校招生选考试题)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1

截去部分后，得到如图(2)所示几何体，则该几何体的体积为( )

A.34

B.1724

C.23

D.1

2

(3)(2019·宁波十校联合模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.

【解析】 (1)由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V ＝1

2×(4×3＋2×3

＋6×6)×6＝162.故选B .

(2)把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到几何体的体积：V ＝VABCD ­A 1B 1C 1D 1－VA ­A 1B 1D 1－VB ­A 1B 1C 1＋VN ­A 1B 1M

＝1×1×1－13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1－13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＋13×⎝⎛⎭⎫12×22×22×12＝17

24

.

(3)由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为3，4的直角三角形，高为5的三棱柱，割去一个底面与三棱柱底面相同，高为3的三棱锥，所以该几何体的体积为：1

2×3×4×

5－13×1

2

×3×4×3＝24 cm 3； 表面积为：12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×3＋12×3×4＋5×5＋34×52＝1112＋25

4 3 cm 2.

【答案】 (1)B (2)B (3)24

1112＋253

4

(1)求解几何体的表面积及体积的技巧

①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．

②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状． 第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． 第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解．

[对点训练]

1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )

A.π

2＋1 B.π2＋3 C.3π

2

＋1 D.3π2

＋3