第8章 三维图像处理技术

称为Jacobi行列式，以纪念首先研究此问题的德国数学家 Jacobi。 由于f(x,y)二维Fourier变换为：
j 2 ( ux vy ) F ( u , v ) f ( x , y ) e dxdy
作变量变换： x=x’cosθ－y’sinθ y=x’sinθ＋ y’cosθ
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图8-1表示了利用能量的透射、发射和反射 的性质，搜集信息的三种方式。透射方式搜集的 信息是反映物体对能量吸收的强弱特性和物体的 性质。能量源通常采用X射线束、电子束、光和 热。发射方式确定物体位置的原理是依据衰变的 正电子在相反方向发射出两束γ射线，通过检测 这两个事件发生的时间来确定原有正电子的湮没 位置。采用能量反射方法可以确定物体表面的特 性，能量源可以是光、电子束或超声波。
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x / x ' x / y ' cos sin J ( x ' , y ' ) 1 y / x ' y / y ' sin cos
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现在，说明Fourier变换重构的理论。假定f(x,y)表 示图像函数，其二维Fourier变换
j 2 ( ux vy ) F ( u , v ) f ( x , y ) e dxdy
图像在x轴上的投影为：
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8.1.2 Fourier变换重构方法
Fourier变换重构图像所依据的原理是，一 个三维（二维）物体的二维（一维）投影的 Fourier变换是精确地等于物体的Fourier变换的 中心截面（中心直线），当投影旋转时，其 Fourier 变换的中心截面（中心直线）随之旋转。 因而重构图像的过程，首先由不同角度位置时的 投影变换构成物体完整的 Fourier 变换，然后， 通过取反Fourier变换重构物体。
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而f(x’, y ’))二维Fourier变换的中心直线F(u ’,0)为：
F ( u ' , 0 )



j 2 u ' x ' f ( x ' , y ' ) e dx ' dy '
所以 G’(u’,0)= F(u’,0)。 由于在二重积分中变量变换时，其积分的改变中遵 照以下形式： 对二重积分：
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图 8-2
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为了采集形成图像的透射数据，X射线源与检测器 安置成一直线，使并行射线为一个图像元素的宽度。 扫描装置的横向部分作线性运动，对148行或更多的行 （每行包括148个元素或更多的元素）逐行查询，在扫 描部件横向运动时148个数据点各自地送入计算机，扫 描部件每横向线性扫描一次之后，射线能源与检测器 的整个几何体旋转预先规定的角度值（例如，角度增 量值为1°），横向的线性扫描运动再重新开始。如果 使 用 180 个 角 度 的 投 影 ， 送 入 计 算 机 的 投 影 数 据 为 180l48 ＝ 26640 。采集的数据信息是在扫描进行的同 时存入计算机内。计算机层折X射线透射图像的信息强 度是可控制的，已经证实，扫描器可以测量百分之几 级别的X射线吸收系数的变化，这相当于脂肪、肌肉和 其他组织之间的微小差别。
f (x, y)dxdy
如果作变换: x=x(ξ,η),y=y(ξ,η) 则可以证明，二重积分改变为：
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f ( x ( , ), y ( , )) J ( , ) d d
其中
x / J ( , ) y / x / y /
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图 8-1
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图像重构在医学上获得的重要应用之一是利 用该技术构造了计算机层析X射线系统(CT)。图82 表示了一个 X射线透射系统的基本部件。在普通 的X射线照片中，如图中示出的大脑血管照片，三 维物体信息是以二维形式迭加在胶卷上，而计算 机层析 X 射线系统所获得的照片是物体的横断面 图像。在该断面内构成的图像矩阵是由预先确定 了大小的正方形元素组成。在计算机层折 X 射线 的脑图像系统中，元素的尺寸是1～3mm的正方形。 生成的矩阵必须包含需要反映的目标。例如在目 标为头部的情况下，可以使用典型的148个元素， 长度近似25cm。
第八章 三维图像处理技术
• • • • 三维图像重构技术 立体投影技术 体视图像显示 光学切片图像
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8.1 三维图像重构技术
8.1.1三维图像重构原理 由物体的一组横断面的投影重构物体的图像是一种 独特的处理问题的方法。在许多应用中，唯有采用这种 方法可以在不损坏物体的条件下，产生物体内部的断面 图像。重构技术已被广泛应用于放射学和核医学、非破 坏性工业测试和数据压缩等许多领域，显示出了它的重 要价值。 图8-1表示三维重构的一般化问题和各种可能的解决 方法。假定嵌入的两个数只能由侧面方向观察，但是， 要确定从顶部观察两个嵌入的数是什么数，如果把物体 切成若干断面，显然可以很容易确定嵌入的两个数字。 但是，在许多情况下采用切片的方法来了解物体内部的 状态是不切实际的。
g x ) f( x ,y ) dy y(

投影的一维Fourier变换为：
j 2 ux j 2 ux G ( u ) g e dx f ( x , y ) e dxdy y y


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