中考数学专题讲义妙用特殊值法

妙用特殊值法、特殊位置法
联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就此展开一下联想吧！
特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论.
做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对）以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论.
此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生.
一、代数类[8]
解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断.
例15－1－1 已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y ＝（ ）
A ．0
B .2
C .5
D .8
交流分享：取y ＝0，x ＝－3带入即可. 因为：由四个选项可知，5－x ＋3y 值为等于0、2、5、8之一，是一个定数，与x 、y 的取值无关，但前提是所选x 、y 的取值满足x －3y ＝－3，所以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试.
技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上.
例15－1－2 化简
2244
xy y x x --+的结果是（ ） A . 2x x + B . 2x x - C . 2y x + D . 2y x - 交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知x ＝1，y ＝2. 最好选两组使分式有意义的数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等.
技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案.
例15－1－3 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋b ＜ab ；②a ＋b ＜b ＋2；③1a b
>；④11a b <中，正确的有（ ）
A .1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项. 如取a ＝－2，b ＝－1.
例15－1－4 某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100, 则调价后该商品价格最高的方案是（ ）
A . 先涨m ％，再降n ％
B . 先涨n ％，再降m ％
C .
D . 先涨2m n +％，再降2
m n +％ 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可. 如m ＝20、n ＝10, m ＝60、n ＝40
例15－1－5 函数y＝ax－a与
a
y
x
=（a≠0）在同一直角坐标中的图像可能是（）
A B C D
交流分享：设a＝1，把函数变成y＝x－1与
1
y
x
=后画出图像，看自己画出的图像哪个选项相符就选取它，如果没有，再设a＝－1再试.
例15-1-6如图15－1－1
，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的
一块绕正方形的中心作0°~90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC
的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的
图像大致是（）
A B C D
交流分享: 显然A与D、E重合时S＝0，A从D到E时S由0变大再变小到0，结论就得到了.
其实在判定运动三角形面积与自变量的关系时，找使中、终三个特殊点，看出它的大小变化，再看三角形的三边，如果三边大小都变，一般是二次函数，如果有一边不变就是一次函数.
提醒：请回味与感悟一下你用特殊值法解题的心得与体会.
15－1－
1
A
B
D
E
·O
体验与感悟15－1
1. 若3a 2－a ＝2，则5＋2a －6a 2＝___________.
2. 已知x ：y ＝5：2，M ＝222xy x y
-，N ＝2222x y x y +-，则M － N ＝____________. 3. 已知0＜a ＜b ＜1，不等式正确的是（ ）
A . a ＜a 2
B . a 2＞b
C . a ＞ab
D . 11a b
< 4. 甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m （m 为正整数）千克米，乙每次买米用去2m 元. 由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元. 那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（ ）
A ．甲比乙便宜
B . 乙比甲便宜
C . 甲与乙相同
D . 由m 的值确定
5. 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）
A B C D
6. 已知函数3y x
=-图像上的三个点A （x 1, y 1）、B （x 2, y 2）、C （x 3, y 3），且x 1＜0＜x 2＜x 3, 则y 1、y 2、y 3,的大小关系是（ ）
A . y 1＜y 2＜y 3
B . y 2＜y 3＜y 1
C . y 3＜y 2＜y 1
D .无法确定
7. 把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，已知点B （a , b ）的坐标满足b ＋2a ＝6, 则
直线AB 是（ ）
A . y ＝－2x －3
B . y ＝－2x ＋3
C . y ＝－2x －6
D . y ＝－2x ＋6
8. 如图15－1－2，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）
A B C D
二、几何类[8]
解法归一：画出符合题意的特殊位置，如在起点、中点、终点的图形，再来求值或推断. 例15－2－1 如图15－2－1，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC
于E ，
23AE EC =.则AB AC =( )
A .13
B . 23
C . 25
D . 35
交流分享：就取AE ＝2，EC ＝3，则DE ＝2，AC ＝5，由相似求得AB 后再求
AB ：AC 的值，或通过相似到处AB ：AC ＝DE ：CE 均可.
注：在比例问题中特殊值法用的更是广泛.
例15－2－2 如图15－2－2，将一个直角三角形纸片减去直角后得到一个
四边形，则∠1＋∠2＝_____度
交流分享：取两锐角分别是30°、60°即可. 因为既然减法是任意的，又求∠1＋∠2的值，所以它一定是个与剪法无关的定值，否则无法求∠1＋∠2的值.
例15－2－3 如图△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥
AB 于点E . DF ⊥AC 于点F ，BC ＝2，则DE ＋DF ＝_____.
交流分享：当D 在B 时，DE ＝0，DF 就是AC 边上的高；当然D 取在
BC 中点或C 点时亦可得结论.
因为D 是BC 边上任意一点, DE ＋DF 如果不是定值就没法求了，所以
它一定是个定值. 另外通过连接AD 用面积法（或用其他方法）也可证明DE
＋DF 是一个定值，与D 的位置无关.
Hi ！特殊值法咱早就用过！今天起往后，做选择填空题时咱就常用用它如何？
体验与感悟15－2
1. 若1082
x y z ==，则x y z y z ++=+__________. 2. 如图15－2－4，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点（端点除外），则（ ）
3. A . AD ·DB ＜AC ·CB B . AD ·DB ＝AC ·CB C . AD ·DB ＝AC ·CB D . AD ·DB 与AC ·CB 大小关系不确定
3. α为锐角，若tan α＝45
，则si n α＝_______, c os α＝_______. 4. 直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是( ) A . ab ＝h 2 B . a 2＋b 2＝2h 2 C .
111a b h += D . 222111a b h += A C B
D 图15－2－
5. 如图15－2－5将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOC＋∠DOB ＝___.
图15-2-5 图15-2-6 图15-2-7
6. 如图15－2－6，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AC交BD于点O，EM⊥AC于点M, EN⊥BD于点N, 则EM＋EN＝_________.
7. 如图15－2－7，在△ABC中，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B. 已知P、Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ, 在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）
A. 一直增大
B. 一直减小
C.先减小后增大
D.先增大后减少
特殊值法（特殊位置法）不仅仅在解决选择填空题中有用，它对解难题、大题同样有很大帮助，因为它是合情合理推理的一部分.
例15－3－1 在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD. 请推断“BE＋CD＝BC”成立与否.
交流分享：取∠B＝60°、45°各一次，看两次结论是否相同即可. 如果特殊情况结论不一，结论肯定不成立. 此题也可通过严格证明得结论，但有难度.
例15－3－2 如图15－3－1，位于一条大河两侧的A、B两
市准备在河上联合修建一座大桥，请你帮忙确定一下桥的位置
（要求桥与河岸a、b垂直），使得从A到B的行程最短. 要求：
画出图，不写作法.
体验与感悟15－3
1.如图15－3－2，以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系：___________.
图15-3-2 图15-3-3 图15-3-4
2.如图15－3－3，在△ABC 中，a , b , c 分别为∠A , ∠B , ∠C 的对边，若∠B ＝60°, 则c a a b c b
+=++（ ）
A ．12
B ．2 A ．1 A 3.如图15－3－4，一个矩形被两条线段分成了四个小矩形，如果图形⑴、⑵、⑶的面积分别是8、6、5，则阴影的面积是_________.
3.如图15－3－5，矩形的顶点坐标分别为O （0,0）, A （3,0）, B （0,4）, C （3,4）, D 为边OB 的中点. E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，点E 、F 的坐标分别为__________、__________.
5. 如图15－3－6，点P （t , 0）（t ＞0）是抛物线y ＝x 2－tx 与x 轴的交点. 已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1, 0）, B （1,－5）, D （4, 0）, 规定：在矩形ABCD 的
内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”. 若抛物线
将这些“好点”分成数量相等的两部分，则t 的取值范围是
_______________.
提醒：请将一下特殊值法与特殊位置法的妙用吧！仔细体会一下，
你会有不少心得.。