三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换
一、知识点总结
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin22sin cos ααα=．2
2
2
)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2
222cos2cos
sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒升幂公式2
sin 2cos 1,2cos 2cos 12
2
α
αα
α=-=+
⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=． ⑶2
2tan tan 21tan ααα
=
-． 3、
⇒（后两个不用判断符号，更加好用）
4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =
+，其中tan ϕB
=
A
． 5．（1）积化和差公式
sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -2
1
[cos(α+β)-cos(α-β)]
（2）和差化积公式 sin α+sin β=
2
cos
2
sin
2β
αβ
α-+
sin α-sin β=2
sin
2
cos
2β
αβ
α-+
αααα
ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :
+-±=-±=+±=2
tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan
2
sin :
2
2
2α
α
αααα万能公式+-=+=
cos α+cos β=2cos
2
cos
2β
αβ
α-+ cos α-cos β= -2
sin
2
sin
2β
αβ
α-+
tan α+ cot α=α
αα2sin 2
cos sin 1=
⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2
cos 22
α 1-cos α=2
sin
22
α
1±sin α=(2
cos
2
sin
α
α
±)2
6。

（1）升幂公式 1+cos α=2
cos 22
α 1-cos α=2
sin
22
α
1±sin α=(2
cos
2
sin α
α
±)2
1=sin 2α+ cos 2α
sin α=2
cos
2
sin
2α
α
（2）降幂公式
sin 2α
2
2cos 1α
-=
cos 2
α
22cos 1α
+=
sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 2
1
7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是
2α的二倍；2α是4
α
的二倍； ②2304560304515o o
o
o
o
o
=-=-=；问：=12sin
π ；=12
cos π
； ③ββαα-+=)(；④
)4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+；
⑤)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有： o
o
45tan 90sin cot tan cos sin 12
2
===+=αααα
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用
降幂公式有： ； 。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：
_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α
α
；
____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；
=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；
=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；
=+ααcos sin = ；
=+ααcos sin b a = ；
（其中=ϕtan ；
） =+αcos 1 ；=-αcos 1 ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值
与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o
o ；
=-ααcot tan 。

=9
4cos 92cos 9cos πππ ；
=++75cos 73cos 7cos πππ ；推广：
=++7
6cos 74cos 72cos πππ ；推广：
二、基础训练 1．下列各式中，值为
12的是 A 、1515sin cos B 、221212
cos sin ππ
- C 、2
2251225tan .tan .- D 、30
（答：C ）；
2．已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____（答：725
）； 3．
13
1080
sin sin -的值是______（答：4）；
4．已知0
tan110a =，求0
tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对
2
50(13tan10)+（答：1）；
8．已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)
βα-的值（答：1
8
）
9．已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A
B A B =++，则cos()A B +＝_____（答：2
-）；
10．若3
2
(,)αππ∈为_____（答：sin 2α）
11．
函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：
51212
[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）
12．化简：
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()4
x x x x ππ-+
-+（答：1cos 22x ） 13．若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；
14．当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______(答：3
2
-)；
15．如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= (答：－2)；
16．求值：
=︒+︒
-︒20sin 6420cos 1
20sin 322
2________(答：32) 17．若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，
求βα-的值（答：23
π）.
三、规范解题 1.. 已知α∈(
4π
，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4
π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．
解：∵α－4
π＋4
3π＋β＝α＋β＋2
π
α∈(
4
3,4ππ) β∈(0,1sin 3
11≤-≤
-x )
∴α－
4π∈(0,2π) β＋43π∈(4
3π
,π) ∴sin(α－
4π)＝54
cos(βπ+43)＝－13
12 ∴sin(α＋β)＝－cos[2
π＋(α＋β)]
＝－cos[(α－
4π)＋(βπ+4
3)]＝6556
2.．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-
2
1
cos2α·cos2β. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2
1
·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2
1
(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-2
1 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-2
1
=sin 2β+cos 2β-21=1-21=2
1
. 方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-2
1
cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α·cos2β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2β-cos2β·⎪⎭
⎫
⎝
⎛+αα2cos 2
1sin 2
=2
2cos 1β
+-cos2β·⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα =
2
2cos 1β+-21cos2β=21
. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=2
2cos 1α-·2
2cos 1β-+2
2cos 1α+·2
2cos 1β+-2
1cos2α·cos2β
=4
1(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+
41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-21·cos2α·cos2β=2
1. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21
cos2α·cos2β =cos 2(α+β)-2
1·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)-
21·［2cos 2(α+β)-1］=2
1. 3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；
(1) 求)6
25(
π
f 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值．
解：（1）∵2
3
625cos
2
1
625sin =
=π ∴06
25cos 625sin 625cos 3)625(
2=+-=π
πππf （2）x x x f 2sin 2
1232cos 23)(+-= ∴2
3
4123sin 21cos 23)2
(-
=-+=
ααa f 16sin22－4sinα－11＝0 解得8
5
31sin ±=α ∵0sin ),0(2>∴∈απ 故8
5
31sin +-
=α 4．已知sin 2 2α＋sin 2α cosα－cos2α＝1，α∈(0，2
π
)，求sinα、tanα的值． 解：由已知得
sin 22α＋sin2αcosα－2cos 2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos 2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，2
π) cosα≠0 sinα≠－1
∴2sinα＝1 sinα＝2
1 ∴tanα＝
3
3
5.设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→
→
==，0,αβπ<<<且若45a b →
→
•=，4tan 3
β=，求tan α的值。

【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
4
cos cos sin sin 5
4cos()5
34tan()tan 743tan tan[()]341tan()tan 24
1()43
a b αβαβαβαβππαβαβαββαββααββαββ→
→
•=+=
∴-=
<<<∴-<-<∴∴-
+
-+∴=-+===----⨯又03
sin(-)=-53
tan(-)=-44
又tan =
3
【导引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换 6.已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.
【解题思路】由同角关系求出tan α再求tan 2α；又()βααβ=--结合角β的范围定角。

[解析]（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α=
∴sin 7
tan cos 1ααα=
==22tan tan 21tan
1ααα===--（Ⅱ）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13
cos 14αβ-=，∴()sin αβ-==由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦
()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-1131
7142=⨯=,所以3
πβ=
【导引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

7.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12
f t
g x x f x x f x x π
π=
=⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.
解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x
x
g x x
x
x x
--=+++
2
2
22(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x
x
x x
--=+
1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x
x x x
--=+
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤
∈π∴=-=- ⎥⎝⎦
1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+--
sin cos 2x x =+-
2.4x π⎛⎫+
- ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由1712x ππ≤
＜，得55.443
x πππ
+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
上为增函数，
又5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤
∈π ⎥⎝⎦
），
即1sin()2)23424
x x ππ
-≤+
-≤+--＜，＜，
故g (x )的值域为)
2,3.⎡-⎣。